新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市2022-2023学年高二下学期7月期末考试数学试卷（Word版含答案）

乌鲁木齐市2022-2023学年高二下学期7月期末考试
数学（问卷）
一、选择题（每小题4分，共60分）
1．某厂家为了解顾客对改进后产品的满意度，随机调查了相同数量的男、女顾客，经统计有的男顾客“不满意”，有的女顾客“不满意”，若有的把握认为性别与对产品是否满意有关，则调查的总人数可能为
参考公式：，其中．附表：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A．150 B．170 C．240 D．260
2．从6名大学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人，组成4人知识竞赛代表队，则不同的选法共有
A．15种 B．180种 C．360种 D．90种
3．已知某离散型随机变量服从的分布列如图，则随机变量的方差等于
A． B． C． D．
4．同时抛掷2枚质地均匀的硬币4次，设2枚硬币均正面向上的次数为，则的数学期望是
A． B． C． D．
5．变量x，y的散点图如图，那么x，y之间的样本相关系数最接近的值是
A．1 B．﹣0.5 C．0 D．0.5
6．某校有2000人参加某次考试，其中数学成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计显示数学成绩80分到100分之间的人数为800人，则此次考试成绩优秀（高于120）的人数占总人数的比例为
A． B． C． D．
7．设集合，为自然数集，则中元素的个数为
A．2 B．3 C．4 D．5
8．若随机变量，，若，则
A． B． C． D．
9．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”，合称“六艺”.“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学.某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每次讲一艺.讲座次序要求“数”不在第一次也不在第六次，“礼”和“乐”不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（ ）
A．480种 B．336种 C．144种 D．96种
10．2023年1月至4月，曲靖市辖区内长期没有下雨，4月份处于严重干旱状况，广大市民必须加强节约用水意识，家家户户都要节约用水.为了督促市民节约用水，曲靖市水务投资公司对居民生活用水实行阶梯水价制度进行收费，其收费标准如下：一户居民每月用水量不超过15吨时，收费单价为3.5元/吨；超过15吨但不超过20吨时，超出15吨部分的收费单价为4.75元/吨；超过20吨时属于严重超标，超出20吨部分的收费单价为6元/吨.某学生社团对某生活区的住户进行用水量调查，该生活区的某单元内居住着3户人家，每户月用水量严重超标的概率均为且相互独立，该单元有至少两户人家月用水量严重超标的概率为，当时，
A． B． C． D．
11．在某研究所做的一次实验中，得到了大量实验数据，剔除掉一些不合理数据后，得到了四组数据，，，，则由这四组数据，可以得到与之间的回归方程为
A． B．
C． D．
12．投掷两枚质地均匀的骰子，记偶数点朝上的骰子的个数为，则的分布列为
A．
X 1 2
P
B．
X 0 1
P
C．
X 0 1 2
P
D．
X 0 1 2
P
13．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，记录每次得到的点数，甲表示事件“第一次点数为奇数”，乙表示事件“第一次点数为偶数”，丙表示事件“两次点数之和为6”，丁表示事件“两次点数之和为7”，则
A．甲与乙相互独立 B．甲与丙相互独立
C．甲与丁相互独立 D．乙与丙相互独立
14．篮子里装有2个红球，3个白球和4个黑球．某人从篮子中随机取出两个球，记事件“取出的两个球颜色不同”，事件“取出一个红球，一个白球”，
A． B． C． D．
15．图书馆的书架有三层，第一层有3本不同的数学书，第二层有5本不同的语文书，第三层有8本不同的英语书，现从中任取一本书，共有（ ）种不同的取法.
A．120 B．16 C．64 D．39
二、填空题(每小题4分，共20分)
16．4封信随机投入A，B，C三个空邮箱，则邮箱A的信件数X的数学期望 ．
17．若
则
18．将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，以表示没有出现连续3次正面的概率.给出下列四个结论：
①；②；③当时，；④.
其中，所有正确结论的序号是 .
19．从编号为1~5号的球中随机抽取一个球，记编号为i，再从剩下的球中取出一个球，记编号为j，在的条件下，的概率为 ．
20．若身高x（单位:m）与体重y（单位:kg）之间的回归直线方程为（），样本点的中心为，当身高为1.7m时，预计体重为 kg.
三、解答题（共70分，请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效。）
21．（1）解不等式；
（2）求证：①，
②．
22．2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策.为了解适龄民众对放开生育二胎政策的态度，某市选取70后80后作为调查对象，随机调查了100位，得到数据如下表
生二胎 不生二胎 合计
70后 30 15 45
80后 45 10 55
合计 75 25 100
（1）根据调查数据，判断是否有以上把握认为“生二胎与年龄有关”，并说明理由:
参考数据：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
2.702 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
（参考公式：）
（2）以这100人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率估计概率，若从该市70后公民中（人数很多）随机抽取3位，记其中生二胎的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.
23．某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，人工栽培和野生植物数量不断增加.为调查该地区某种植物的数量，将其分成面积相近的150个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取15个作为样区，调查得到样本数据（，2，…，15），其中和分别表示第i个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种植物的数量，并计算得，，，，.
(1)求该地区这种植物数量的估计值（这种植物数量的估计值等于样区这种植物数量的平均数乘以地块数）；
(2)求样本（，2，…，15）的相关系数（精确到0.01）；
(3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种植物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.
附：相关系数，.
24．某市教育行政部门为了了解在校学生某一学年体育课时间与期末体育测试成绩的关系，现随机抽取了8所学校进行调研，得到8所学校该学年学生体育课时间平均值x(单位：小时)以及期末体育测试成绩得分平均值y(单位：分)，数据如下表：
学校编号 1 2 3 4 5 6 7 8
学生体育课时间平均值x (单位：小时) 100 95 93 83 82 75 70 62
学生体育成绩平均值y (单位：分) 86.5 83.5 83.5 81.5 80.5 79.5 77.5 76.5
（1）已知x与y之间具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；
（2）下一学年该市教育部门准备从8所学校中抽取2所进行体育观摩教学，求抽取的2所学校学生体育课时间平均值都超过80小时的概率.
参考公式：，；
参考数据：，.
25．春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速免费政策” ．某路桥公司为了解春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速收费点发现大年初三上午9：20~10：40这一时间段内有600辆车通过，将其通过该收费点的时刻绘成频率分布直方图．其中时间段9：20~9：40记作区间，9：40~10：00记作，10：00~10：20记作，10：20~10：40记作，例如：10点04分，记作时刻64．
(1)估计这600辆车在9：20~10：40时间段内通过该收费点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
(2)为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取5辆，再从这5辆车中随机抽取3辆，则恰有1辆为9：20~10：00之间通过的概率是多少？
乌鲁木齐市2022-2023学年高二下学期7月期末考试
数学答案
1．C
【分析】根据题意画出列联表，计算，即可求解.
【详解】设男、女顾客各有人，根据题意画出列联表，如下图：
满意 不满意 合计
男顾客
女顾客
合计
所以，因为有的把握认为性别与对产品是否满意有关，
所以，解得，所以总人数可能为：.
故选：C.
2．B
【分析】先从6名大学生中选出队长1人，副队长1人，再从剩下的4人选2人，问题得以解决．
【详解】先从6名大学生中选出队长1人，副队长1人，再从剩下的4人选2人，故有种， 故本题选B．
【点睛】本题考查排列、组合的应用，注意要先有顺序选取，再进行组合．解决此类问题的关键是判断问题与顺序有没有关系．
3．B
【详解】试题分析：由分布列可知
考点：分布列期望方差
点评：分布列中各随机变量概率和为1，求期望方差只需将数据代入相应的公式即可，需要学生熟记公式
4．A
【分析】利用二项分布求解即可
【详解】∵一次同时抛掷2枚质地均匀的硬币，恰好出现2枚正面向上的概率为，
∴，∴.
故选A.
【点睛】求离散型随机变量期望的一般方法是先求分布列，再求期望.如果离散型随机变量服从二项分布，也可以直接利用公式求数学期望.
5．C
【分析】利用相关系数的概念即得.
【详解】因为r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关程度越强，r的绝对值越接近于0，表明两个变量的线性相关程度越弱，由题图知x，y之间没有线性相关关系，
所以r的绝对值最接近于0.
故选：C.
6．D
【分析】由题知数学成绩80分到100分之间的人数占比为，进而根据正态分布的对称性求解.
【详解】解：因为数学成绩80分到100分之间的人数为800人，
所以，数学成绩80分到100分之间的人数占比为，
因为数学成绩近似服从正态分布，
所以，
所以，考试成绩优秀（高于120）的人数占总人数的比例为.
故选：D
7．D
【分析】求出中一元二次不等式的解集确定出，找出与的交集，即可作出判断．
【详解】解：
解得
即中有个元素，
故选：
【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题．
8．A
【分析】根据二项分布列式，计算出，然后利用正态分布的特点计算的值.
【详解】由题意，，解得，则，所以.
故选：A.
9．B
【分析】根据给定条件，求出“数”不在第一次也不在第六次的不同次序数，去掉其中的“礼”和“乐”相邻的不同次序数即可计算作答.
【详解】依题意，“数”不在第一次也不在第六次的不同次序数有：，
“数”不在第一次也不在第六次时，“礼”和“乐”相邻的不同次序数有：，
所以所求“六艺”讲座不同的次序数共有：.
故选：B
10．A
【分析】设事件为：该单元有2户人家月用水量严重超标，事件为：该单元有3户人家月用水量严重超标，求出，可得，将各选项代入验证可得答案；
或者，令，求出方程的根可得答案.
【详解】设事件为：该单元有2户人家月用水量严重超标，事件为：该单元有3户人家月用水量严重超标，则，
即，
将各选项代入验证发现，唯有满足要求，故A正确；
或者，令，整理为：，
所以或，因为，所以.
故选：A.
11．B
【分析】根据线性回归直线方程必过样本中心点，排除部分选项，再根据与呈正相关求解.
【详解】由四组样本数据，可得样本中心点为.
线性回归直线方程必过样本中心点，
排除选项C、D，
又与呈正相关，
.
故选：B
【点睛】本题主要考查线性回归分析，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
12．C
【分析】根据离散型随机变量的分布列，即可写出答案.
【详解】因为每枚骰子偶数点朝上的概率为，且相互独立，的取值可能为0，1，2.
，，，
所以的分布列为：
X
P
故选：C.
13．C
【分析】利用相互独立的乘法公式对各个选项进行判断即可.
【详解】由题可知P（甲）=P（乙），丙事件：点数之和为6的所有可能情况为（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），
丁事件：点数之和为7的所有可能情况为（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1），所以P（丙），P（丁）．
因为甲和乙是对立事件，所以P（甲乙）=0，故A错误；
P（甲丙）P（甲）P（丙），故B错误；
P（甲丁）==P（甲）P（丁），故C正确；
P（乙丙）P（乙）P（丙），故D错误．
故选：C
14．B
【详解】试题分析：事件A的选法有种，事件B的选法有，所以．故选B．
考点：条件概率
点评：求条件概率，只要算出事件B和事件A的数量，然后求出它们的商即可．
15．B
【分析】根据分类加法计数原理，即可得出结论．
【详解】解：由于书架上有本书，
则从中任取一本书，共有16种不同的取法．
故选：B．
【点睛】本题考查分类加法计数原理的应用，属于基础题．
16．
【分析】根据已知，利用二项分布以及二项分布的期望公式计算求解.
【详解】4封信随机投入A，B，C三个空邮箱，每封信投入邮箱A的都是，
所以邮箱A的信件数，所以邮箱A的信件数X的数学期望.
故答案为：.
17．
【详解】在中，令得，令得，，二式相减得，所以，故答案为.
【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.
18．①③④
【分析】由的对立事件概率可得和，可判断①②，再由第n次分正反面，依次讨论前n-1的正反及前n-2次，从而得到概率的递推关系，可判断④，由及，可得，从而可判断③.
【详解】当时，，①正确；
当时，出现连续3次正面的情况可能是：正正正反、正正正正、反正正正，
所以，②错误；
要求，即抛掷n次没有出现连续3次正面的概率，
分类进行讨论，
若第n次反面向上，前n-1次未出现连续3此正面即可；
若第n次正面向上，则需要对第n-1进行讨论，依次类推，得到下表：
第n次 n-1次 n-2次 概率
反面
正面 反面
正面 正面 反面
所以，④正确；
由上式可得
，
所以，
又，满足当时，，③正确.
故答案为：①③④.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是找到第n次和第n-1和第n-2次的关系，通过分类讨论及列表格的形式得到，属于难题.
19．/0.4
【分析】根据事件A以及AB包含的基本事件个数，即可利用条件概率的定义求解.
【详解】设事件A：，事件B：，则事件AB：，则事件A包含的基本事件有,故，事件AB包含的基本事件有，则，从而,
故答案为：
20．72.5
【分析】将样本中心点代入方程得到，再取计算得到答案.
【详解】将样本中心点代入方程得到，故，故，
当时，.
故答案为：.
【点睛】本题考查了回归方程和估计，意在考查学生的应用能力.
21．（1）；（2）①证明见解析；②证明见解析.
【分析】(1)根据给定条件利用组合的意义及组合数计算公式化简不等式，再解不等式即可.
(2)利用组合数计算公式变形，计算推理作答.
【详解】(1)在不等式中，0≤m-1≤8，且0≤m≤8，m∈N，即有1≤m≤8，m∈N，
原不等式化为：，即，解得，则m=7或8，
所以不等式的解集为.
(2)①，
所以成立；
②因，
，
所以成立.
22．（1）有%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”；（2）分布列见解析，期望为.
【分析】（1）根据的列联表，计算的值，与比较作出结论；
（2）先求出该市70后“生二胎”的概率，再判断服从二项分布，列出分布列，代入公式求解数学期望即可.
【详解】（1）由列联表得，的观测值，所以有90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”；
（2）由已知的该市70后“生二胎”的概率为，并且，所以，，其分布列如下：
0 1 2 3
23．(1)
(2)
(3)分层抽样，理由见解析
【分析】（1）根据求出样本平均数，再乘以地块数可得出结果；
（2）根据题中所给数据，代入，可得出结果；
（3）由（2）知各样区的这种植物数量与植物覆盖面积有很强的正相关性可知，各地块间这种植物数量差异也很大，适合采用分层抽样.
【详解】（1）由已知得样本平均数，
从而该地区这种植物数量的估计值为，
（2）样本（，2，…，15）的相关系数
.
（3）分层抽样：根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对150个地块进行分层抽样.
理由如下：由（2）知各样区的这种植物数量与植物覆盖面积有很强的正相关.由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种植物数量差异也很大，采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种植物数量更准确的估计.
24．（1）；（2）.
【分析】（1）根据题中所给的公式和数据，结合平均数的计算公式进行求解即可；
（2）运用列举法，结合古典概型的计算公式进行求解即可.
【详解】解：（1）由题意，.
.
.
所以，故线性回归方程为.
（2）从8所学校中任选两校，基本事件为：
(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(1，7)，(1，8)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(2，7)，(2，8)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(3，7)，(3，8)，(4，5)，(4，6)，(4，7)，(4，8)，(5，6)，(5，7)，(5，8)，(6，7)，(6，8)，(7，8)，共有28种结果.
选取的学校中体育课时间平均值超过80小时的基本事件为：
(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共有10种.
所以选取的2所学校学生体育课时间平均值都超过80小时的概率为.
25．(1)
(2)
【分析】（1）运用频率分布直方图中平均数公式计算即可.
（2）运用分层抽样比计算各段所抽取的车辆数，再运用列举法求古典概型的概率即可.
【详解】（1）这600辆车在时间段内通过该收费点的时刻的平均值为，即：10点04分.
（2）由题意知，时间段内抽取车辆数为，分别记为：，，
时间段内抽取车辆数为，分别记为：，，
时间段内抽取车辆数为，记为：，
所以从这5辆车中随机抽取3辆的基本事件有：，，，，，，，，，共10个，
恰有1辆为之间通过的基本事件有：，，，，，共有6个，
所以恰有1辆为之间通过的概率为.