7.2.2 复数的乘、除运算 教学设计

复数的乘除运算 教学设计
教学目标
1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算，培养数学运算的核心素养；
2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律，提升数学运算的核心素养。
教学重难点
1.重点：掌握复数的乘法和除法运算；
2.难点：复数的除法运算
教学过程
（一）新知导入
1. 创设情境，生成问题
两个实数的积、商是一个实数，那么两个复数的积、商是怎样的？怎样规定两个复数的乘除运算，才能使在复数集中的乘法、除法与原实数集中的有关规定相容？复数的加减运算把i看作一个字母，相当于多项式的合并同类项，那么复数乘法是否可以像多项式乘法那样进行呢？
问题　多项式(a＋b)(c＋d)的运算结果是什么？
提示　(a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd
2.探索交流，解决问题
【问题1】设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)类比两个多项式相乘，应如何规定两个复数相乘？
[提示]两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．即z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.
【问题2】复数的乘法满足交换律和结合律吗？
[提示]　满足．　　　
【问题3】设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z的共轭复数等于什么？z是一个怎样的数？
[提示]　＝a－bi，z＝a2＋b2是一个实数．
（二）复数的乘除运算
1.复数的乘法运算
(1)复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)
＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
(2)复数乘法的运算律
对任意复数z1，z2，z3∈C，有
交换律 z1·z2＝z2·z1
结合律 (z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)
乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3
（3）例题讲解
【例1】计算（1 2i）（3+4i）( 2+i) 【例2】计算（3 4i）（3+4i）
解：（1 2i）（3+4i）( 2+i) 解：（3 4i）（3+4i）
=(11 2i)( 2+i); =3×3+3×4i 4×3i 4i×4i;
= 20+15i. =9+16
=25.
猜想：两个共轭复数相乘（a bi）（a+bi），结果是一个怎样的数？有何计算技巧？
（a bi）（a+bi）=
【变式】计算（12 5i）（12+5i）
=
=
（三）、复数的除法运算
猜想：实数的除法是乘法的逆运算，那么该如何定义复数的除法呢？
试试自己猜测，复数的除法法则：
(1+2i)÷(3+4i)
=(1+2i)×===
注：分母是虚数，怎样变成实数呢？类比“分母有理化”，分子分母同时乘以分母的共轭复数。
（1）、复数除法法则
复数除法的实质就是分母实数化的过程，这与实数的除法有所不同
设z1＝a＋bi，,z2＝c＋di(c＋di≠0))，
则 ＝＝＝＋i.
复数的除法的实质是分母实数化.若分母为a＋bi型，则分子、分母同乘a－bi；若分母为a－bi型，则分子、分母同乘a＋bi.
（2）、典型例题
【例3】计算：（1）;(2)
解：
===i
===1-i
（3）、当堂检测
计算(1) i（2 i）(2+i); （2） .
解：（1） i（2 i）(2+i)=i()=5i;
（2） ===1+3i
通过反复运算，让学生不断熟悉对复数乘除法法则的运用。
（六）、课堂小结
1、复数的乘法法则： (a+bi)(c+di)=(ac bd)+(ad+bc)i（a,b,c,d∈R）.
2、 运算律：交换律 z1·z2＝z2·z1
结合律 (z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)
分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3
3、复数的除法法则：＝＝＋i