8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 教学设计（表格式）

8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
一、内容和内容解析
内容：棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积．
内容解析：本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第九章第3节第1课时的内容．本节课主要学习棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的表面积、体积公式及其求法，还有简单组合体的体积的求解.
教材从分析简单几何体的侧面展开图得到了它们的表面积公式，体现了立体问题平面化的解决策略，这是本节课的灵魂，也是立体几何的灵魂，在立体几何中，要注意将立体问题转化为平面几何问题，在教学中应加以重视．
二、目标和目标解析
目标：
（1）通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的求法．
（2）会求棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积．
目标解析：
（1）棱柱、棱锥、棱台都是多面体，它们的表面积就是组成它们的各个面的面积和．而每个面都是平面三角形或四边形或多边形，所以求棱柱、棱锥、棱台的表面积就转化为求平面三角形、四边形或多边形的面积，进一步转化为三角形、矩形、梯形等特殊平面图形的面积.
（2）利用祖暅原理证明柱体和锥体的体积，从运动变化的观点研究棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间的关系，当棱台上底面扩大到与下底面全等时，棱台转化为棱柱；棱台上底面缩小为一个点时，棱台转化为棱锥，这种转化的思想方法值得思考和学习．
（3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实．在本节课的教学中，从运动变化的观点研究棱柱、棱锥、棱台的体积公式变化规律是体验转化、极限等数学思想方法教学的很好机会．
基于上述分析，本节课的教学重点定为：棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积．
三、教学问题诊断分析
1．教学问题一：现在的学生运算能力普遍偏弱，求面积和体积对运算要求又较高，因此，解决运算问题是本节课的第一个教学问题．解决方案：化繁为简，割补法的应用，让学生把主要精力用在观察、发现规律上．
2．教学问题二：棱柱、棱锥、棱台的体积公式是本节课的第二个教学问题．这不仅是本节课的重点，也是教学难点．解决方案：从运动变化的观点研究棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间的关系，当棱台上底面扩大到与下底面全等时，棱台转化为棱柱；棱台上底面缩小为一个点时，棱台转化为棱锥．
3．教学问题三：祖暅原理求体积是第三个教学问题．解决方案：利用多媒体软件形象直观的观察，培养学生的逻辑推理素养和论证能力．
基于上述情况，本节课的教学难点定为：求棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积．
四、教学策略分析
本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．为了让学生通过观察、归纳得到棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积，应该为学生创造积极探究的平台．因此，在教学过程中借助具体实物模型．既可以解决学生的空间想象能力，也可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来．
在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．
在教学过程中，重视棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式的推导，让学生体会到从特殊到一般是数学抽象的基本过程，同时，公式的推导应用其实就是数学模型的建立与应用的典范．因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试．
五、教学过程与设计
教学环节 问题或任务 师生活动 设计意图
创设情境，引入新知 [问题1] 胡夫大金字塔底边原长230米，高146.59米，经风化腐蚀，现降至136.5米，塔的底角为51°51′.假如把建造金字塔的石块凿成平均一立方英尺的小块，平均每块重2.5吨，像一辆小汽车那样大. 如何计算建此金字塔需用多少石块？ [问题2] 如果在金字塔的表面涂上一层保护液以防止风化腐蚀，如何计算保护液的使用量？ 教师1： 提出问题1． 学生1：这就需求出金字塔的体积. 教师2：提出问题2． 学生2：首先计算金字塔地上部分的表面面积之和，然后根据单位面积保护液的使用量来估计其总的使用量. 通过具体实例，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。
探索交流，解决问题 [问题3] 棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？ [问题4] 棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？ [问题5] 棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？ [问题6] 棱柱的体积公式是什么？ [问题7] 棱台的体积公式是什么？ [问题8] 根据台体的特征，如何求台体的体积？ [问题9] 柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？你能用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗？ 教师3：提出问题3． 学生3：侧面展开图是几个矩形，表面积是上下底面面积与侧面展开图的面积的和. 教师4：提出问题4． 学生4：棱锥的侧面展开图是几个三角形。表面积是侧面展开图的面积加上底面积. 教师5：提出问题5． 学生5：侧面展开图为几个梯形，表面积为侧面几个梯形面积的和再加上上下底面面积． 教师6：小结：棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和． 教师7：提出问题6. 学生6：一般棱柱的体积公式也是V = Sh，其中S为底面面积，h为高（即两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离. 教师8：提出问题7. 学生7：棱锥的体积是与它同底同高的棱柱的体积的三分之一。。 棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离 教师9：提出问题8. 学生8：由于棱台是由棱锥截成的，因此可以利用两个锥体的体积差．得到棱台的体积公式。 棱台的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作 垂线，这点与垂足之间的距离. 教师10：提出问题9. 学生9： 教师11：小结： 几何体体积说明棱柱V棱柱＝ShS为棱柱的底面积，h为棱柱的高棱锥V棱锥＝ShS为棱锥的底面积，h为棱锥的高棱台V棱台＝(S′＋＋S)hS′，S分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高
通过思考，得到棱柱、棱锥、棱台的表面积的求法，提高学生的解决问题、分析问题的能力. 通过复习回顾和推导，推出棱柱、棱锥、棱台的体积之间的关系，提高学生的分析、概括问题的能力.
典例分析，举一反三 1.棱柱、棱锥、棱台的表面积 例1.已知正三棱台(由正三棱锥截得的三棱台)的上、下底面边长分别为3 cm和6 cm，高为 cm，求此正三棱台的表面积. 2.棱柱、棱锥、棱台的体积 例2.如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，求三棱锥A1－D1EF的体积. 3.组合体的表面积与体积 例3.如图，某几何体的下部分是长 宽均为8，高为3的长方体，上部分是侧棱长都相等且高为3的四棱锥，求： （1）该几何体的体积； （2）该几何体的表面积. [课堂练习1] 四面体P-ABCD的各棱长均为a，求它的表面积． [课堂练习2] 设四棱锥的底面是对角线长分别为2和4的菱形，四棱锥的高为3，则该四棱锥的体积为________. 教师12：完成例题1. 学生10：如图所示，画出正三棱台ABC－A1B1C1，其中O1，O为正三棱台上、下底面的中心，D，D1分别为BC，B1C1的中点，则OO1为正三棱台的高，DD1为侧面梯形BCC1B1的高，四边形ODD1O1为直角梯形， 所以DD1＝＝＝. 所以此正三棱台的表面积S表＝S侧＋S底＝3××(3＋6)×＋×32＋×62＝(cm2). 教师13：完成例题2. 学生11：由V三棱锥A1－D1EF＝V三棱锥F－A1D1E， ∵S△A1D1E＝EA1·A1D1＝a2， 又三棱锥F－A1D1E的高为CD＝a，∴V三棱锥F－A1D1E＝×a×a2＝a3， ∴V三棱锥A1－D1EF＝a3. 教师14：完成例题3． 学生12：连接，交于点，取的中点，连接，， （1）， ∴ （2）∵，， ∴ ， 教师15：布置课堂练习1、2． 学生13：完成课堂练习，并核对答案． 通过例题，进一步巩固棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式，提高学生的概括问题的能力、解决问题的能力。 通过例题2、3进一步巩固复数的分类和相等，提高学生的概括问题的能力、解决问题的能力。 [课堂练习1] 巩固多面体的表面积． [课堂练习2] 巩固多面体的体积公式.
课堂小结 升华认知 [问题10]通过这节课，你学到了什么知识？ 在解决问题时，用到了哪些数学思想？ [课后练习] 1.长方体同一顶点上的三条棱长分别是2，3，4，则该长方体的表面积是(　　) A.36 B.24 C.52 D.26 2.三棱锥的底面为直角边长分别是2和3的直角三角形，高为4，则该三棱锥的体积为(　　) A.4 B.6 C.12 D.24 3.一个正三棱台的上、下底面边长分别为3和6，侧棱长为2，则其高为(　　) A. B.1 C. D. 4.如图所示，已知正四棱锥的侧棱长为4，底面边长为4，求该四棱锥的体积. 教师16：提出问题10． 学生14： 学生15：学生课后进行思考，并完成课后练习． 答案：1.C 2.A 3.B 4. 师生共同回顾总结．引领学生感悟数学认知的过程，体会数学核心素养． 课后练习是对定理巩固，是对本节知识的一个深化认识，同时也为下节内容做好铺垫．