2021级入学摸底考试
数学试题
考试时间：90分钟 试题满分：120分
一.选择题（共15小题，每小题5分，共75分，每道小题只有一个正确选项）
1．如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后落入的球袋是（ ）
A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋
【解答】解：如图所示：
，
该球最后落入的球袋是4号袋，
故选：D．
2．有理数a在数轴上的位置如图所示，下列各数中，在0到1之间的是（ ）
①﹣a﹣1，②|a+1|，③2﹣|a|，④|a|．
A．②③④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④
【解答】解：①根据数轴可以知道：﹣2＜a＜﹣1，
∴1＜﹣a＜2，
∴0＜﹣a﹣1＜1，符合题意；
②∵﹣2＜a＜﹣1，
∴﹣1＜a+1＜0，
∴0＜|a+1|＜1，符合题意；
③∵﹣2＜a＜﹣1，
∴1＜|a|＜2，
∴﹣2＜﹣|a|＜﹣1，
∴0＜2﹣|a|＜1，符合题意；
④∵1＜|a|＜2，
∴＜|a|＜1，符合题意．
故选：D．
3．将抛物线y＝2x2﹣4x+1向下平移2个单位，再向右平移3个单位，则平移后抛物线的函数表达式为（ ）
A．y＝2（x+2）2+1 B．y＝2（x﹣4）2+1
C．y＝2（x+2）2﹣3 D．y＝2（x﹣4）2﹣3
【解答】解：抛物线y＝2x2﹣4x+1可化y＝2（x﹣1）2﹣1，
将抛物线y＝2x2﹣4x+1向下平移2个单位，再向右平移3个单位，
则平移后的抛物线解析式为y＝2（x﹣1﹣3）2﹣1﹣2，即y＝2（x﹣4）2﹣3，
故选：D．
4．已知M＝3x2﹣x+3，N＝2x2+3x﹣1，则M、N的大小关系是（ ）
A．M≥N B．M＞N C．M≤N D．M＜N
【解答】解：M＝3x2﹣x+3，N＝2x2+3x﹣1，
∵M﹣N＝（3x2﹣x+3）﹣（2x2+3x﹣1）＝3x2﹣x+3﹣2x2﹣3x+1＝x2﹣4x+4＝（x﹣2）2≥0，
∴M≥N．
故选：A．
5．已知一元二次方程x2﹣10x+24＝0的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为（ ）
A．6 B．10 C．12 D．24
【解答】解：方程x2﹣10x+24＝0，
分解得：（x﹣4）（x﹣6）＝0，
可得x﹣4＝0或x﹣6＝0，
解得：x＝4或x＝6，
∴菱形两对角线长为4和6，
则这个菱形的面积为×4×6＝12．
故选：C．
6．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（ ）
①△ABE的面积＝△BCE的面积；
②∠AFG＝∠AGF；
③∠FAG＝2∠ACF；
④AF＝FB．
A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．③④
【解答】解：∵BE是△ABC的中线，
∴AE＝CE，
∴△ABE的面积等于△BCE的面积，故①正确；
∵AD是△ABC的高线，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ABC+∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAD＝90°，
∴∠ABC＝∠CAD，
∵CF为△ABC的角平分线，
∴∠ACF＝∠BCF＝∠ACB，
∵∠AFC＝∠ABC+∠BCF，∠AGF＝∠ACF+∠CAD，
∴∠AFC＝∠AGF＝∠AFG，
故②正确；
∵∠BAD+∠CAD＝∠ACB+∠CAD＝90°，
∴∠BAD＝∠ACD，
∴∠BAD＝2∠ACF，
即∠FAG＝2∠ACF，故③正确；
根据已知条件无法证明AF＝FB，故④错误，
故选：C．
7．函数的定义域是R，则m的取值范围是（ ）
A．m≠4 B．m＜0或 C． D．[3，+∞）
【解答】解：函数的定义域是R，
则mx2+4mx+3≠0恒成立；
当m＝0时，化为3≠0恒成立；
当m≠0时，应满足△＜0，
即16m2﹣12m＜0，解得0＜m＜；
综上知，m的取值范围是0≤m＜．
故选：C．
8．已知方程组与方程组的解相同，则a，b的值分别为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：解方程组得：，
∵方程组与方程组的解相同，
∴把代入方程组得：，
解得：，
故选：C．
9．集合A＝{x|x＜﹣1或x≥3}，B＝{x|ax+1≤0}，若B A，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C．（﹣∞，﹣1）∪[0，+∞） D．
【解答】解：∵B A，
∴①当B＝ 时，即ax+1≤0无解，此时a＝0，满足题意．
②当B≠ 时，即ax+1≤0有解，当a＞0时，可得x≤，
要使B A，则需要，解得0＜a＜1．
当a＜0时，可得x≥，
要使B A，则需要，解得≤a＜0，
综上，实数a的取值范围是[﹣，1）．
故选：A．
10．图中的式子是按规律排列的一列等式，按规律写出用含n（n为自然数）的式子表示的第n个等式是（ ）
A．n（n+1）（n+2）（n+3）+1＝[n（n+3）+1]2
B．n（n+1）（n+2）（n+3）+1＝[n（n+2）+2]2
C．（n﹣1）n（n+1）（n+2）+1＝[n（n+2）﹣2]2
D．（n﹣1）n（n+1）（n+2）+1＝[n（n+1）﹣1]2
【解答】解：通过观察所给式子，第n个式子的左边＝（n﹣1）n（n+1）（n+2），
∵0×1×2×3+1＝12＝（1×2﹣1）2
1×2×3×4+1＝52＝（2×3﹣1）2
2×3×4×5+1＝112＝（3×4﹣1）2
3×4×5×6+1＝192＝（4×5﹣1）2
……
（n﹣1）n（n+1）（n+2）＝[n（n+1）﹣1]2，
∴（n﹣1）n（n+1）（n+2）＝[n（n+1）﹣1]2，
故选：D．
11．将n个边长都为2的正方形按如图所示的方法摆放，点A1，A2，…，An，分别是正方形对角线的交点，则2021个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为（ ）
A．1 B．2020 C． D．
【解答】解：如图，过正方形ABCD的中心O作OM⊥CD于M，作ON⊥BC于N，
则∠EOM＝∠FON，OM＝ON，且∠EMO＝∠FNO＝90°，
∴△OEM≌△OFN（ASA），
则四边形OECF的面积就等于正方形OMCN的面积，
则OMCN的面积是1，
∴得阴影部分面积等于正方形面积的，即是1，
∴则2021个正方形重叠形成的重叠部分的面积和＝2020×1＝2020cm2，
故选：B．
12．设计如图的四个电路图，则能表示“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件的一个电路图是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：选项A中，开关A闭合是灯炮B亮的充分不必要条件，
选项B中，开关A闭合是灯泡B亮的充要条件，
选项C中，开关A和开关C都闭合时灯泡B才亮，
选项D中，开关A闭合是灯泡B亮的既不充分也不必要条件，
故选：C．
13．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是（ ）
A．18 B．15 C．12 D．8
【解答】解：将台阶展开，如图，
因为AC＝3×3+1×3＝12，BC＝9，
所以AB2＝AC2+BC2＝225，
所以AB＝15，
所以蚂蚁爬行的最短线路为15．
故选：B．
14.如图，棱长为5的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，则这个又孔正方体的表面积（含孔内各面）是（ C ）
A. 258 B. 234
C. 222 D. 210
改为求体积了
A. 125 B. 95
C. 101 D. 89
15．如图．在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为（0，3），点C坐标为（2，0），点B为线段OA上一个动点，则AB+BC的最小值为（ ）
A． B．5 C．3 D．5
【解答】解：如图，在x轴上取点D（﹣3，0），连接AD，
过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AD于F，
∵tan∠DAO＝＝，
∴∠DAO＝30°，∠ADO＝60°，
∴EB＝AB，
∴AB+BC＝EB+BC≥CF，
∵CD＝OD+OC＝3＝5，
∴CF＝CDsin60°＝，
∴AB+BC的最小值为．
故选：A．
二.填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
16．用“＜”或“＞”填空：3108 ＞ 2144．
【解答】解：∵3108＝33×36＝2736，
2144＝24×36＝1636，
∴2736＞1636，
∴3108＞2144．
故答案为：＞．
17. 若对任意x＞0，恒成立，则a的取值范围是________．
解答：
【解析】
又
∴
∴
18．已知t为常数，函数y＝|x2﹣2x﹣t|在0≤x≤3上的最大值为2，则t＝ 1 ．
【解答】解：记g（x）＝x2﹣2x﹣t（0≤x≤3），则y＝f（x）＝|g（x）|（0≤x≤3），
f（x）图象是把函数g（x）图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方得到的，其对称轴为x＝1，
则f（x）最大值必定在x＝3或x＝1处取得．
（1）当在x＝3处取得最大值时，f（3）＝|32﹣2×3﹣t|＝2，
解得t＝1或5，
检验：t＝5时，f（0）＝5＞2不符，t＝1时符合．
（2）当最大值在x＝1处取得时，f（1）＝|12﹣2×1﹣t|＝2，
解得t＝1或﹣3，
f（0）＝3＞2不符，t＝1符合．
总之，t＝1时符合．
故答案为：1．
19．[x]表示不大于x的最大整数，如：[0.5]＝0，，＝ 671 ．
【解答】解：∵[x]表示不大于x的最大整数，
∴＝＝＝0，
＝＝＝0，
……，
＝＝＝0，
＝＝＝1，
＝＝＝1，
……，
＝＝＝1，
＝＝＝1，
∴从到都等于0，从到都等于1；
∵从1342到2012共671个，
∴++……++＝671；故答案为：671．
三.解答题（共3小题，其中20题5分，21,22题各10分）
20.若集合A=，B=，且，求实数x.
解：由题设知，∴，故或
即或或，但当时，不满足集合A的条件。
∴实数x的值为或。
21. 如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在x轴上，OC在y轴上，OA＝8，OC＝4，点D是BC边上的动点（不与B，C重合），反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点D，且与AB交于点E，连接OD，OE，DE．
（1）若△CDO的面积为4，
①求k的值；
②点P在x轴上，当△ODE的面积等于△ODP的面积时，试求点P的坐标；
（2）当点D在BC边上移动时，延长ED交y轴于点F，连接AC，判断四边形AEFC的形状，并证明你的判断．
【解答】解：（1）①∵△CDO的面积为4，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点D，
∴k＝2×4＝8；
②∵OC＝4，△CDO的面积为4，
∴CD＝2，
∵D，E都在反比例函数y＝的图象上，
∴S△COD＝S△AOE＝4，
∵OA＝8，
∴AE＝1，
∴S△ODE＝4×＝15，
∵点P在x轴上，
∴设P（x，0），
∴S△ODP＝＝15，
解得：x＝，
∴或（），
（2）连接AC，四边形AEFC是平行四边形，理由如下：
由题意得：D（），E（），
设EF的函数解析式为：y＝ax+b，
则，
解得：，
∴OF＝，
∴CF＝OF﹣4＝，
又∵CF∥AE，
∴四边形AEFC是平行四边形．
22．如图，抛物线的开口向下，与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于点C．已知C（0，4），顶点D的横坐标为﹣，B（1，0）．对称轴与x轴交于点E，点P是对称轴上位于顶点下方的一个动点，将线段PA绕着点P顺时针方向旋转90°得到线段PM．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点M落在抛物线上时，求点M的坐标；
（3）连接BP并延长交抛物线于点Q，连接CQ．与对称轴交于点N．当△QPN的面积等于△QBC面积的一半时，求点Q的横坐标．
【解答】解：（1）∵顶点D的横坐标为﹣，
∴设抛物线解析式为：，
代入点C和点B的坐标可得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为：；
（2）∵抛物线的对称轴为直线x＝，与x轴的一个交点坐标B为（1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点A的坐标为（﹣4，0），且E的坐标为（，0），
∵线段PA绕着点P顺时针方向旋转90°得到线段PM，
∴PA＝PM，∠APM＝90°，
过M作MF⊥DE于F，如图1，
∴∠AEP＝∠PFM＝90°，
∴∠APE+∠MPF＝∠APE+∠PAE＝90°，
∴∠PAE＝∠MPF，
在△APE与PMF中，
，
∴△APE≌△PMF（AAS），
∴AE＝FP＝，PE＝MF，
设P（﹣，n），
则PE＝MF＝n，
∴，
∵点M落在抛物线上，
∴，
∴或，
∴M（1，0）或（﹣3，4）；
（3）∵＝﹣x2﹣3x+4，
∴可设Q（m，﹣m2﹣3m+4），
设直线BQ为：y＝k（x﹣1），
代入点Q得，k（m﹣1）＝﹣m2﹣3m+4，
∴k＝﹣m﹣4，
∴直线BQ为：y＝（﹣m﹣4）x+m+4，
同理，直线CQ为：y＝﹣（m+3）x+4，
令x＝﹣，则y＝（﹣m﹣4）x+m+4＝，
∴P（，），
同理，N（，），
∴PN＝﹣m﹣，
∴S△QPN＝＝，
设直线BQ与y轴交于G点，如图2，
令x＝0，则y＝（﹣m﹣4）x+m+4＝m+4，
∴G（0，m+4），
∴CG＝4﹣m﹣4＝﹣m，
∴S△BCQ＝S△BCG+S△QCG＝＝，
∴s△QPN＝，
∴，
∴，
∴Q点的横坐标为．2021级入学摸底考试
数学试题
考试时间：90分钟 试题满分：120分
一.选择题.（共15小题，每小题5分，共75分,每道小题只有一个正确选项）
1．如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后落入的球袋是（ ）
A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋
2．有理数a在数轴上的位置如图所示，下列各数中，在0到1之间的是（ ）
①﹣a﹣1，②|a+1|，③2﹣|a|，④|a|．
A．②③④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④
3．将抛物线y＝2x2﹣4x+1向下平移2个单位，再向右平移3个单位，则平移后抛物线的函数表达式为（ ）
A．y＝2（x+2）2+1 B．y＝2（x﹣4）2+1 C．y＝2（x+2）2﹣3 D．y＝2（x﹣4）2﹣3
4．已知M＝3x2﹣x+3，N＝2x2+3x﹣1，则M、N的大小关系是（ ）
A．M≥N B．M＞N C．M≤N D．M＜N
5．已知一元二次方程x2﹣10x+24＝0的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为（ ）
A．6 B．10 C．12 D．24
6．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（ ）
①△ABE的面积＝△BCE的面积；
②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④AF＝FB．
A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．③④
7．函数的定义域是R，则m的取值范围是（ ）
A．m≠4 B．m＜0或 C． D．[3，+∞）
8．已知方程组与方程组的解相同，则a，b的值分别为（ ）
A． B． C． D．
9．集合A＝{x|x＜﹣1或x≥3}，B＝{x|ax+1≤0}，若B A，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C．（﹣∞，﹣1）∪[0，+∞） D．
10．图中的式子是按规律排列的一列等式，按规律写出用含n（n为自然数）的式子表示的第n个等式是（ ）
A．n（n+1）（n+2）（n+3）+1＝[n（n+3）+1]2
B．n（n+1）（n+2）（n+3）+1＝[n（n+2）+2]2
C．（n﹣1）n（n+1）（n+2）+1＝[n（n+2）﹣2]2
D．（n﹣1）n（n+1）（n+2）+1＝[n（n+1）﹣1]2
11．将n个边长都为2的正方形按如图所示的方法摆放，点A1，A2，…，An，分别是正方形对角线的交点，则2021个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为（ ）
A．1 B．2020
C． D．
12．设计如图的四个电路图，则能表示“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件的一个电路图是（ ）
A． B． C． D．
13．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是（ ）
A．18 B．15 C．12 D．8
14.如图，棱长为5的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，则这个有孔正方体的表面积（含孔内各面）是（ C ）
A. 258 B. 234
C. 222 D. 210
15．如图．在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为（0，3），点C坐标为（2，0），点B为线段OA上一个动点，则AB+BC的最小值为（ ）
A． B．5 C．3 D．5
二.填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
16．用“＜”或“＞”填空：3108 2144．
17. 若对任意x＞0，恒成立，则a的取值范围是________．
18．已知t为常数，函数y＝|x2﹣2x﹣t|在0≤x≤3上的最大值为2，则t＝ ．
19．[x]表示不大于x的最大整数，如：[0.5]＝0，，＝ ．
三.解答题（共3小题，其中20题5分，21,22题各10分）
20.若集合A=，B=，且，求实数x.
21. 如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在x轴上，OC在y轴上，OA＝8，OC＝4，点D是BC边上的动点（不与B，C重合），反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点D，且与AB交于点E，连接OD，OE，DE．
（1）若△CDO的面积为4，
①求k的值；
②点P在x轴上，当△ODE的面积等于△ODP的面积时，试求点P的坐标；
（2）当点D在BC边上移动时，延长ED交y轴于点F，连接AC，判断四边形AEFC的形状，并证明你的判断．
22．如图，抛物线的开口向下，与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于点C．已知C（0，4），顶点D的横坐标为﹣，B（1，0）．对称轴与x轴交于点E，点P是对称轴上位于顶点下方的一个动点，将线段PA绕着点P顺时针方向旋转90°得到线段PM．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点M落在抛物线上时，求点M的坐标；
（3）连接BP并延长交抛物线于点Q，连接CQ．与对称轴交于点N．当△QPN的面积等于△QBC面积的一半时，求点Q的横坐标．
