课件20张PPT。21.3 实际问题与一元二次方程
第1课时1.传播类问题中的数量关系
假设有a人带病,一人一轮传染b人,一轮传染后有___人被传染,
此时患病人数为_______人;两轮传染后,又有________人被传染,
共有_______人患病.
2.增长(降低)率问题中的数量关系
第一年(月或者季节等)的数(产量或者价格等)为a,年增长(降
低)率为b,则一年后的数为_______,两年后的数为_______.aba(1+b)ab(1+b)a(1+b)2a(1+b)a(1+b)23.数字问题中的等量关系
一个两位数,若个位数字为a,十位数字为b,则这个两位数是
______.10b+a【思维诊断】(打“√”或“×”)
1.某商品原价为180元,连续两次提价后售价为300元,若每次提
价的百分率都是x,则可列方程180(1+x%)=300.( )
2.有一人患了流感,经过两轮传染后共有100人患了流感,那么
每轮传染中平均一个人传染的人数为9.( )
3.某药品经过两次降价,每瓶零售价由100元降到81元,已知两
次降价的百分率相同,则两次降价的百分率为10%.( )×√√知识点一 “传播”类问题
【示范题1】(2013·襄阳中考)有一人患了流感,经过两轮传染后共有64人患了流感.
(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人?
(2)如果不及时控制,第三轮将又有多少人被传染?【思路点拨】传染源为1人,每个人会传染x个人,所以第一轮传染后共有(1+x)人患了流感;两轮传染后共有1+x+(1+x)x人患流感.【自主解答】(1)设每轮传染中平均一个人传染了x个人,由题意,得1+x+x(1+x)=64,解得x1=7,x2=-9(不合题意,舍去).
答:每轮传染中平均一个人传染了7个人.
(2)7×64=448(人).
答:又有448人被传染.【想一想】
若a人患流感,每轮传染b人,则n轮传染后共有多少人患病?
提示:n轮传染后共有a(1+b)n人患病.【微点拨】
1.传播类问题包括细胞分裂、信息传播、疾病传染等问题.
2.解出方程后,考虑所解的根是否符合实际情况.【方法一点通】
列一元二次方程解应用题的“六个步骤”
1.审:理解题意,明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系.
2.设:根据题意,可直接设未知数,也可间接设未知数.
3.列:根据题中的等量关系,用含所设未知数的代数式表示其他未知量,从而列出方程.
4.解:准确求出方程的解.
5.验:检验所求出的根是否符合方程和实际问题.
6.答:写出答案.知识点二 增长(降低)率问题
【示范题2】(2013·广东中考)雅安地震牵动着全国人民的心,某单位开展了“一方有难,八方支援”赈灾捐款活动.第一天收到捐款10000元,第三天收到捐款12100元.
(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同,求捐款增长率.
(2)按照(1)中收到捐款的增长速度,第四天该单位能收到多少捐款?【教你解题】【想一想】
增长率和降低率在取值方面有什么特点?
提示:增长率大于0,降低率大于0且小于1.【备选例题】(1)(2012·娄底中考)为解决群众看病贵的问题,有关部门决定降低药价,对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元,设平均每次降低的百分率为x,则下面所列方程正确的是( )
A.289(1-x)2=256 B.256(1-x)2=289
C.289(1-2x)=256 D.256(1-2x)=289(2)(2013·青岛中考)某企业2010年底缴税40万元,2012年底缴税48.4万元,设这两年该企业缴税的年平均增长率为x,根据题意,可得方程 .【解析】(1)选A.一次降价后的价格是289(1-x),两次降价后的价格是289(1-x)2,故根据题意得289(1-x)2=256.
(2)依题意,2011年所缴税额为40+40x=40(1+x),2012年所缴税额为40(1+x)+40(1+x)·x=40(1+x)2=48.4.
答案:40(1+x)2=48.4【方法一点通】
增长率(或降低率)问题的规律
1.增长率问题:设基数为a,平均增长率为x,则一次增长后的值为a(1+x),两次增长后的值为a(1+x)2,依次类推,n次增长后的值为a(1+x)n.
2.降低率问题:设基数为a,平均降低率为x,则一次降低后的值为a(1-x),两次降低后的值为a(1-x)2,依次类推,n次降低后的值为a(1-x)n.温馨提示：
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提技能·题组训练
“传播”类问题
1.2014年1月份某国发生禽流感的养鸡场共100家,后来2、3月份发生禽流感的养鸡场共250家.设2、3月份平均每月禽流感的感染率为x,依题意列出的方程是( )
A.100(1+x)2=250
B.100(1+x)+100(1+x)2=250
C.100(1-x)2=250
D.100(1+x)2+100=250
【解题指南】先分别计算出2、3月份感染禽流感的厂家,再根据2、3月份发生禽流感的养鸡场共250家列出方程.
【解析】选B.2月份禽流感感染厂家为100(1+x),3月份禽流感感染厂家为100(1+x)2,所以100(1+x)+100(1+x)2=250.
2.如图是某月的日历表,在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数(如6,7,8,13,14,15,20,21,22).若圈出的9个数中,最大数与最小数的积为192,则这9个数的和为( )
A.32 B.126 C.135 D.144
【解析】选D.根据图象可以得出,圈出的9个数,最大数与最小数的差为16,设最小数为x,则最大数为x+16,根据题意得x(x+16)=192,
解得:x1=8,x2=-24(不合题意舍去),
故最小的三个数为:8,9,10,
下面一行的数字分别比上面三个数大7,即为15,16,17,
第3行三个数分别比上一行三个数大7,即为22,23,24,
故这9个数的和为8+9+10+15+16+17+22+23+24=144.
3.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、分支和小分支总数是91,每个支干长出的小分支数目是( )
A.8 B.9 C.10 D.11
【解析】选B.设每个支干长出的小分支的数目是x个,根据题意列方程得:x2+x+1=91,
解得:x=9或x=-10(不合题意,应舍去),∴x=9.
4.一个数字和为10的两位数,把个位与十位数字对调得到一个新两位数,这两个数之积是2296,则这个两位数为( )
A.28 B.82 C.28或82 D.不确定
【解析】选C.设个位数字为x,则十位数字为(10-x),则[10(10-x)+x][10x+
(10-x)]=2296,化简得:x2-10x+16=0,解得:x1=2,x2=8.所以这个两位数为28或者82.
【知识归纳】数字问题
(1)最高位上的数字只能是1～9之间的任意整数,每个数位上的数字不可能是分数或者负数.
(2)若三个连续整数,一般设中间一个为x,其余两个分别为(x-1),(x+1).
(3)若三个连续偶数,一般设中间一个为2x,其余两个分别为(2x-2),(2x+2).
(4)若三个连续奇数,一般设为(2x-3),(2x-1),(2x+1).
5.某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有81台电脑被感染,请你用学过的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?
【解析】设平均一台电脑会感染x台电脑,由题意:
(1+x)2=81,解得x=8或者-10(不合题意,舍去).
答:每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑.
【互动探究】在题干不变的情况下,(1)若病毒得不到有效控制,3轮感染后,被感染的电脑会不会超过700台?(2)n轮感染后,被感染的电脑有多少台?
【解析】(1)3轮感染后,被感染的电脑有81×9=729,729>700.
(2)n轮感染后,被感染的电脑有9n台.
【知识归纳】两轮传播问题需要注意的问题及传播模式
两轮传播问题需要找清每一轮传播的传播源的数量及每一个传播源传给下一轮的数量.
传播问题在实际生活中普遍存在,有一定的模式:若传播速度为x,传播前基数是a,传播两次后是b,则a(1+x)2=b,x的值应取正值.
增长(降低)率问题
1.(2013·湛江中考)由于受H7N9禽流感的影响,今年4月份鸡的价格两次大幅下降,由原来每斤12元,连续两次降价a%后售价下调到每斤5元,下列所列的方程中正确的是( )
A.12(1+a%)2=5 B.12(1-a%)2=5
C.12(1-2a%)=5 D.12(1-a2%)=5
【解析】选B.第一次下调后的价格为12(1-a%)元,第二次下调后为12(1-a%)(1-a%)元,所以本题选B.
2.(2013·安徽中考)目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系.某校去年上半年发给每个经济困难学生389元,今年上半年发放了438元,设每半年发放的资助金额的平均增长率为x,则下面列出的方程中正确的是( )
A.438(1+x)2=389 B.389(1+x)2=438
C.389(1+2x)=438 D.438(1+2x)=389
【解析】选B.由于每半年发放的资助金额的平均增长率为x,则去年下半年发放的资助金额为389(1+x)元,今年上半年发放的资助金额为389(1+x)2元,根据相等关系“今年上半年发放了438元”,可建立一元二次方程389(1+x)2=438.
3.(2013·新疆中考)2009年国家扶贫开发工作重点县农村居民人均纯收入为2027元,2011年增长到3985元,若设年平均增长率为x,则根据题意可列方程为 .
【解析】若每年的增长率为x,
则由题意可得:2027(1+x)2=3985.
答案:2027(1+x)2=3985
4.(2013·巴中中考)某商场2月份的营业额为400万元,3月份的营业额比2月份增加10%,5月份的营业额达到633.6万元.求3月份到5月份营业额的月平均增长率.
【解题指南】解答本题的三个关键
1.如何计算3月份的营业额.
2.弄清3月份到5月份的营业额的月平均增长率是不是10%.
3.5月份的营业额是在几月份的基础上平均增长到633.6万元.
【解析】设3月份到5月份营业额的月平均增长率为x,
根据题意得:400(1+10%)(1+x)2=633.6,
解得:x1=0.2=20%,x2=-2.2(不合题意,舍去).
答:3月份到5月份营业额的月平均增长率为20%.
5.某玩具店购进一种儿童玩具,计划每个售价36元,能盈利80%.在销售中出现了滞销,于是先后两次降价,售价降为25元.
(1)求这种玩具的进价.
(2)求平均每次降价的百分率.(精确到0.1%)
【解析】(1)设这种玩具进价为x元,
则x(1+80%)=36,解得x=20.
答:这种玩具的进价为20元.
(2)设平均每次降价的百分率为y,则36(1-y)2=25,
解得y1≈16.7%,或y2≈183.3%(不合题意,舍去).
答:平均每次降价的百分率为16.7%.
【错在哪？】作业错例 课堂实拍
某渔船出海捕鱼,2011年平均每次捕鱼量为10吨,2013年平均每次捕鱼量为8.1吨,求2011年到2013年每年平均每次捕鱼量的年平均下降率.
(1)找错:从第 步出现错误.
(2)纠错:
答案：(1)③
(2)由于年平均下降率不能大于1,故x=1.9不合题意,应舍去,所以x=0.1.答:2011年到2013年每年平均每次捕鱼量的年平均下降率为10%.
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课时提升作业(七)
实际问题与一元二次方程(第1课时)
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.(2013·兰州中考)据调查,2011年5月兰州市的房价均价为7600元/m2,2013年同期达到8200元/m2,假设这两年兰州市房价的年平均增长率为x,根据题意,所列方程为( )
A.7600(1+x%)2=8200
B.7600(1-x%)2=8200
C.7600(1+x)2=8200
D.7600(1-x)2=8200
【解析】选C.2012年的房价为7600×(1+x)元/m2,2013年的房价为
7600×(1+x)(1+x)=7600×(1+x)2元/m2,即所列的方程为7600×(1+x)2=8200.
2.(2013·黔西南中考)某机械厂7月份生产零件50万个,第三季度生产零件196万个,如果每月的增长率x相同,则( )
A.50(1+x2)=196
B.50+50(1+x2)=196
C.50+50(1+x)+50(1+x)2=196
D.50+50(1+x)+50(1+2x)=196
【解题指南】解答本题的两个关键
1.理解第三季度生产量的含义.
2.根据增长率的知识,分别列出8月、9月份的产量.
【解析】选C.∵每月的增长率相同,∴8月份生产零件50(1+x)万个,9月份生产零件50(1+x)2万个,∵第三季度生产零件196万个,
∴50+50(1+x)+50(1+x)2=196.
【易错提醒】解答此类题目,理解题意是关键,本题容易把第三季度产量当成9月份的产量列方程,得50(1+x)2=196.
3.大成游乐园规定:如果一个人参加游戏,则给这个人一个奖品;如果两个人参加游戏,则给每人两个奖品;如果三个人参加游戏,则给每个人三个奖品;…如果设x个人参加游戏,给出奖品一共有36个,则参加游戏的人数为( )
A.4 B.6 C.8 D.10
【解析】选B.根据题意列方程得,x2=36,
解得x1=6,x2=-6(不合题意,舍去).
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.(2013·宜宾中考)某企业5月份的利润是25万元,预计7月份的利润将达到36万元.设平均月增长率为x,根据题意所列方程是 .
【解析】根据题意可得:
25(1+x)2=36.
答案:25(1+x)2=36
【互动探究】(1)请计算出平均月增长率x的值?
(2)按照这个速度发展,此企业8月份的利润为多少?
【解析】(1)因为25(1+x)2=36,所以1+x=±1.2,所以x1=0.2,x2=-2.2(不合题意,舍去).即平均月增长率为20%.
(2)36×(1+0.2)=43.2(万元).即按照这个速度发展,此企业8月份的利润为43.2万元.
5.(2013·哈尔滨中考)某商品经过连续两次降价,销售单价由原来的125元降到80元,则平均每次降价的百分率为 .
【解析】设平均每次降价的百分率为x,根据题意得125(1-x)2=80,解得x=0.2=20%或x=1.8(不符题意,舍去).
答案:20%
【易错提醒】由于列出的方程是一元二次方程,一般情况有两个解,得到的解需和实际情况相吻合.这类题目容易忘记检验.
6.两个连续奇数的平方和为202,则这两个奇数是 .
【解析】设两个奇数为(2x+1)和(2x-1),由题意得:
(2x+1)2+(2x-1)2=202,解得:x1=5,x2=-5;所以这两个奇数是9,11或者-9,-11.
答案:9,11或者-9,-11
三、解答题(共26分)
7.(8分)某生物实验室需培育有益菌.现有60个活体样本,经过两轮培植后,总和达24000个,其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌.
(1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌?
(2)按照这样的分裂速度,经过三轮培植后有多少个有益菌?
【解析】(1)设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出x个有益菌,根据题意得60(1+x)2=24000,
解得x1=19,x2=-21(不合题意,舍去).
答:每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出19个有益菌.
(2)经过三轮培植后,得60(1+19)3=60×203=480000.
答:经过三轮培植后共有480000个有益菌.
8.(9分)广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售,由于国务院有关房地产的新政策出台后,购房者持币观望,房地产开发商为了加快资金周转,对价格经过两次下调后,决定以每平方米4860元的均价开盘销售.
(1)求平均每次下调的百分率.
(2)某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房,开发商给予以下两种优惠方案以供选择:①打9.8折销售;②不打折,一次性送装修费每平方米80元,试问哪种方案更优惠?
【解析】(1)设平均每次下调的百分率为x,
则6000(1-x)2=4860,
解得:x1=0.1,x2=1.9(舍去),
∴平均每次下调的百分率为10%.
(2)方案①可优惠:
4860×100×(1-0.98)=9720(元),
方案②可优惠:100×80=8000(元),
∴方案①更优惠.
【知识归纳】列一元二次方程解应用题的几点注意事项
(1)在一道应用题中,有时候有几个未知量,应恰当地选择其中一个用字母x表示,将其他的用含x的代数式表示出来.
(2)审题过程只能在草纸上进行,书面格式中主要有设、列、解、答.
(3)列方程时,方程两边是同一类型的量,并且单位要一致.
(4)设和答必须写清楚单位.
【培优训练】
9.(9分)2011年底某市汽车拥有量为100万辆,而截至2013年底,该市的汽车拥有量已达到144万辆.
(1)求2011年底至2013年底该市汽车拥有量的年平均增长率.
(2)该市交通部门为控制汽车拥有量的增长速度,要求到2014年底全市汽车拥有量不超过155.52万辆.预计2014年底报废的汽车数量是2013年底汽车拥有量的10%,求2013年底至2014年底该市汽车拥有量的年增长率要控制在什么范围才能达到要求.
【解析】(1)设2011年底至2013年底该市汽车拥有量的年平均增长率为x,根据题意,得100(1+x)2=144,
解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不合题意,舍去),
答:2011年底至2013年底该市汽车拥有量的年平均增长率为20%.
(2)设2013年底至2014年底该市汽车拥有量的年增长率为y,根据题意,得
144(1+y)-144×10%≤155.52,
解得y≤0.18.
答:2013年底至2014年底该市汽车拥有量的年增长率不能超过18%才能达到要求.
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