课件20张PPT。第二十一章 一元二次方程
21.1 一元二次方程1.定义
等号两边都是_____,只含有_____未知数(一元),并且未知数的
最高次数是__(二次)的方程.
2.一般形式
__________(a≠0)其中___是二次项,__是二次项系数;___是一
次项,__是一次项系数;__是常数项.整式一个2ax2+bx+c=0ax2abxbc3.一元二次方程的解
使一元二次方程左右两边_____的未知数的值.相等【思维诊断】(打“√”或“×”)
1. +2x-77=0是一元二次方程.( )
2.x2=0是一元二次方程.( )
3.x2-3y+2=0是一元二次方程.( )
4.x2-4x-5=0的二次项系数是0,一次项系数是-4,常数项是-5.
( )
5.x2-2x-3=0的解是3或1.( )×√×××知识点一 一元二次方程的概念及一般形式
【示范题1】下列方程中:① =4;②2x2-3x=5+2x2;③x2=7;
④2x2-y=0;⑤-3x2=0;⑥t2-4t-1=0,哪些是一元二次方程?【思路点拨】【自主解答】①分母中含有未知数,不是整式方程.②整理后方程为-3x-5=0是一元一次方程,④中含有两个未知数,所以①②④均不是一元二次方程.是一元二次方程的有:③⑤⑥.【想一想】
方程ax2+bx+c=0是一元二次方程吗?
提示:不一定.当a≠0时,方程是一元二次方程;当a=0时,方程不是一元二次方程.【微点拨】
1.一元二次方程重实质不重形式,判断一个方程是不是一元二次方程,以化简后的结果为准.
2.一个一元二次方程需满足以下三点:(1)只含有一个未知数.(2)未知数的最高次数是2.(3)整式方程.【方法一点通】
判别一元二次方程的“两方法”
方法一:根据定义:
(1)整式方程,
(2)只含有一个未知数,含未知数的项的最高次数是2.
方法二:化成最简:能化成ax2+bx+c=0(a≠0)的形式.知识点二 一元二次方程的根的判断及应用
【示范题2】(2013·黑龙江中考)若x=1是关于x的一元二次方程x2+3mx+n=0的解,则6m+2n= .【教你解题】【想一想】
若x=-1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根,求代数式2014(a-b+c)的值.
提示:把x=-1代入方程得:a-b+c=0,所以2014(a-b+c) =2014×0=0.【备选例题】(1)已知关于x的方程x2-(2m+1)x-(2m-1)=0有一
个解是1,则m= .
(2)若n(n≠0)是关于x的方程x2+mx+2n=0的根,则m+n=
.
(3)已知关于x的方程x2-4x-p2+2p+2=0的一个根为p,则p=
.
(4)若a是方程x2-x-1=0的一个根,求代数式a3-2a+3的值.【解析】(1)把x=1代入方程,得1-(2m+1)-(2m-1)=0,即m=
答案:
(2)把x=n代入方程得n2+mn+2n=0,即n(n+m+2)=0,
因为n≠0,所以n+m+2=0,即n+m=-2.
答案:-2(3)把x=p代入方程,得p2-4p-p2+2p+2=0,整理得-2p+2=0,所以p=1.
答案:1
(4)把x=a代入方程得a2-a-1=0,即a2-a=1,a2=a+1,所以a3-2a+3=a·a2-2a+3=a(a+1)-2a+3=a2+a-2a+3=a2-a+3=1+3=4.【方法一点通】
一元二次方程的根及应用
1.判断根的方法:分别将未知数的值代入原方程,看左右两边是否相等,相等则是,否则不是.
2.根据方程根的定义,将方程的根代入原方程求解,从而确定某些字母的取值或求出给定代数式的值.温馨提示：
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提技能·题组训练
一元二次方程的概念及一般形式
1.下列方程是一元二次方程的是( )
A.x2-1=y B.(x+2)(x+1)=x2
C.6x2=5 D.x2=
【解析】选C.因为A中含有两个未知数,故它不是一元二次方程;B整理后不含有x的二次项,故它不是一元二次方程;D项中分母中含有未知数,不是整式方程,只有选项C符合一元二次方程的定义.
2.关于x的方程ax2-3x+3=0是一元二次方程,则a的取值范围是( )
A.a>0 B.a≠0 C.a=1 D.a≥0
【解析】选B.由于方程是一元二次方程,所以二次项系数不能为0,即a≠0.
3.方程(m+2)x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程,则( )
A.m=±2 B.m=2 C.m=-2 D.m≠±2
【解析】选B.由一元二次方程的定义可得
解得:m=2.
【互动探究】关于x的方程(m+2)x|m|+3mx+1=0,当m为何值时,它是一元一次方程?
【解析】当m=-2时,原式变为-6x+1=0,是一元一次方程;当m=±1时,原式变为6x+1=0或者-2x+1=0,是一元一次方程.即当m=±1或者m=-2时,关于x的方程(m+2)·x|m|+3mx+1=0是一元一次方程.
【知识归纳】关于x的方程ax2+bx+c=0为一元二次方程、一元一次方程的条件
1.当a≠0时,方程ax2+bx+c=0是一元二次方程.
2.当a=0,b≠0时,方程ax2+bx+c=0是一元一次方程.
注意:当未知数的指数是代数式,未知数的系数含有字母时,一元二次方程需满足指数为2,二次项系数不为0.
4.(2013·洪山区模拟)将一元二次方程-3x2-2=-4x化成一般形式ax2+bx+c=0(a>0)后,一次项和常数项分别是( )
A.-4,2 B.-4x,2 C.4x,-2 D.3x2,2
【解析】选B.把一元二次方程-3x2-2=-4x化成一般形式为:-3x2+4x-2=0,
∵a>0,∴3x2-4x+2=0,
∴一次项和常数项分别是-4x,2.
【易错提醒】解决一元二次方程的二次项、一次项、常数项及系数问题,应该先将方程转化为一般形式以后,再确定.
5.一元二次方程3x2+2x-5=0的一次项系数是 .
【解析】一元二次方程3x2+2x-5=0的一次项系数是2.
答案:2
6.把下列关于x的方程化为一元二次方程的一般形式,再求它的二次项系数、一次项系数及常数项.
(1)(x+2)(x-2)=3x2+2x.
(2)x(x-a)=a(2x2+x).
【解析】(1)去括号得,x2-4=3x2+2x,移项得,-2x2-2x-4=0,即x2+x+2=0,所以二次项系数为1,一次项系数为1,常数项为2.
(2)去括号,移项合并得,(1-2a)x2-2ax=0,所以二次项系数为1-2a,一次项系数为-2a,常数项为0.
【知识归纳】确定一元二次方程的二次项、一次项、常数项及系数的方法
1.一元二次方程中各项系数及常数项,均是相对于一元二次方程的一般形式而言的,所以解答此类问题时,应先将方程化为一般形式.
2.指出各项的系数时,一定要包括各项前面的符号.
3.没有一次项、常数项的方程,对应的一次项系数、常数项都为0.
一元二次方程的根的判断及应用
1.如果2是方程x2-c=0的一个根,那么c的值是( )
A.4 B.-4 C.2 D.-2
【解析】选A.把x=2代入方程,即22-c=0,所以c=4.
2.一元二次方程x(x-1)=2的解是( )
A.x=-1 B.x=-2
C.x=-2或x=1 D.x=2或x=-1
【解析】选D.把x=2代入原方程,左边=右边,所以x=2是原方程的解,同理x=-1也是原方程的解.
3.若a是方程2x2-x-3=0的一个解,则6a2-3a的值为( )
A.3 B.-3 C.9 D.-9
【解析】选C.∵2x2-x-3=0的一个解为x=a,
∴2a2-a=3,
∴6a2-3a=3(2a2-a)=3×3=9.
4.(2013·黔西南中考)已知x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根,则a2+b2+
2ab的值是 .
【解析】把x=1代入方程x2+ax+b=0中,
得1+a+b=0,即a+b=-1,
所以a2+b2+2ab=(a+b)2=(-1)2=1.
答案:1
【互动探究】已知x=-1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根,则a与b的关系是什么?a2-2ab+b2的值为多少?
【解析】把x=-1代入方程x2+ax+b=0中,
得1-a+b=0,即a-b=1,
所以a2-2ab+b2=(a-b)2=12=1.
答:a与b的差是1,a2-2ab+b2的值为1.
5.已知关于x的方程x2-mx+n=0的两个根是0和-3,则m= ,n= .
【解析】把x=0代入方程,得n=0,把x=-3代入方程,得9+3m=0,即m=-3.
答案:-3 0
【知识归纳】一元二次方程的根与方程
1.若a+bx0+c=0,则x=x0是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根.
2.若x=x0是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根,则可得a+bx0+c=0.
6.-4,-3,-2,2,3这些数中,哪些是方程x2-x-6=0的解?
【解析】①把x=-4代入方程,则(-4)2-(-4)-6=14≠0,故-4不是方程的解;
②把x=-3代入方程,则(-3)2-(-3)-6=6≠0,故-3不是方程的解;
③把x=-2代入方程,则(-2)2-(-2)-6=0,故-2是方程的解;
④把x=2代入方程,则22-2-6=-4≠0,故2不是方程的解;
⑤把x=3代入方程,则32-3-6=0,故3是方程的解.
综上可知,-2,3是方程x2-x-6=0的解.
【错在哪？】作业错例 课堂实拍
已知x=1是关于x的方程(1-k)x2+k2x-1=0的根,则常数k的值为( )
A.0 B.1 C.0或1 D.0或-1
(1)找错:从第 步开始出现错误.
(2)纠错:
答案：(1)④.
(2)当k=1时,方程是一元一次方程,当k=0时,方程是一元二次方程,都符合题意,所以k=0或者1.?
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课时提升作业(一)
一元二次方程
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.下列方程中是一元二次方程的是( )
A.x2=12 B.x2-5x=(x-2)2
C.+x-1=0 D.(a-1)x2+bx+c=0
【解题指南】解答本题看三条
1.是否是整式方程.
2.该方程的未知数的最高次数是不是2.
3.二次项的系数不为0.
【解析】选A.选项A符合一元二次方程的定义,是一元二次方程;选项B化简后得x+4=0,是一元一次方程;选项C不是整式方程;选项D当a-1=0时,不是二次方程.
2.方程x(x+1)=3(x+1)的一次项系数是( )
A.1 B.3 C.-2 D.4
【解析】选C.由x(x+1)=3(x+1),
得x2+x=3x+3,
移项,得:x2+x-3x-3=0,
合并同类项,得x2-2x-3=0;
∴一次项系数是-2.
【易错提醒】1.确定方程的各项及系数,容易和多项式混淆,也经常忘记先化成一般形式,出现符号错误.
2.一般情况,二次项的系数应化为正的.
3.已知关于x的方程x2+bx+a=0有一个根是-a(a≠0),则a-b的值为( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
【解析】选A.∵-a(a≠0)是关于x的方程x2+bx+a=0的一个根.将x=-a代入得(-a)2-ab+a=0.
即a(a-b+1)=0.
∵a≠0,∴a-b+1=0,
即a-b=-1.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.若方程kx2+x=3x2+1是一元二次方程,则k的取值范围是 .
【解题指南】本题需要考虑:
(1)方程变形为一般形式.
(2)根据一元二次方程的二次项的系数不能为0,确定k的取值范围.
【解析】整理kx2+x=3x2+1,得(k-3)x2+x-1=0.
∵方程kx2+x=3x2+1为一元二次方程,
∴k-3≠0,即k≠3.
答案:k≠3
5.把方程2(x+2)+8=3x(x-1)化为一般形式 ,其二次项系数为 ,一次项为 ,常数项是 .
【解析】去括号,得2x+4+8=3x2-3x,整理得:-3x2+5x+12=0,即3x2-5x-12=0.所以二次项系数为3,一次项为-5x,常数项为-12.
答案:3x2-5x-12=0 3 -5x -12
【变式训练】求关于x的一元二次方程m2-3mx+m(2x2-1)=(m+1)x(m≠0)的二次项及二次项系数、一次项及一次项系数、常数项.
【解析】m2-3mx+2mx2-m-(m+1)x=0,2mx2+(-3m-m-1)x+m2-m=0,
2mx2+(-4m-1)x+m2-m=0(m≠0).
故二次项是2mx2,二次项系数是2m;一次项是(-4m-1)x,
一次项系数是-4m-1,常数项是m2-m.
6.若x=1是一元二次方程ax2+bx-40=0的一个解,且a≠b,则= .
【解题指南】利用方程的根求代数式值的两个步骤:
(1)将解代入,确定a, b关系.
(2)化简分式,整体代入求值.
【解析】∵x=1是一元二次方程ax2+bx-40=0的一个解,
∴x=1满足一元二次方程ax2+bx-40=0,∴a+b-40=0,即a+b=40.
由于===20.
答案:20
三、解答题(共26分)
7.(8分)证明关于x的方程(a2-8a+20)x2+2ax+1=0无论a取何值,该方程都是一元二次方程.
【证明】∵a2-8a+20=(a-4)2+4≥4,
∴无论a取何值,a2-8a+20≥4,即无论a取何值,原方程的二次项系数都不会等于0,
∴关于x的方程(a2-8a+20)x2+2ax+1=0,无论a取何值,该方程都是一元二次方程.
8.(8分)列方程表示:求三个连续整数,使前两个数的平方和等于第三个数的平方,并将方程化为一般形式.
【解析】设这三个连续整数分别为x-1,x,x+1,
由题意:(x-1)2+x2=(x+1)2,
整理,得x2-4x=0.
【培优训练】
9.(10分)(2013·枣庄中考)先化简,再求值:÷.其中m是方程x2+3x-1=0的根.
【解析】原式=÷=×==.
∵m是方程x2+3x-1=0的根.
∴m2+3m-1=0,
即m2+3m=1,
∴原式=.
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