课件20张PPT。21.3 实际问题与一元二次方程
第2课时1.面积类问题中的数量关系
(1)如图①所示的矩形ABCD长为a,宽为b,空白部分宽均为x,则
阴影的面积可表示为_____________.(a-2x)(b-2x)(2)如图②,外侧矩形长与宽分别为mx,nx,里侧矩形的长与宽
分别为my,ny.空白部分的上下宽都为a,左右宽都为b.则
b=________,a=________,b∶a=_____.m∶n2.利润问题中的数量关系
(1)利润=售价-_____.(2)利润率=利润÷_____.
(3)总利润=每件利润×_______=总收入-_______.
3.体育比赛场次类问题的数量关系
(1)m支球队,单循环比赛,共需进行__________场比赛.
(2)m支球队,双循环比赛,共需进行_______场比赛.进价进价销售量总支出m(m-1)÷2m(m-1)【思维诊断】(打“√”或“×”)
1.菱形的面积等于底×这边上的高.( )
2.菱形的面积等于对角线的积.( )
3.10元一件的商品9折卖出,则该件商品的售价是19元.( )
4.如图,邻边不等的矩形花圃ABCD,它的一边AD利用已有的围墙,
另外三边所围的栅栏的总长度是6 m.若矩形的面积为4 m2,则
AB的长度是1m或2m.( )√×××知识点一 面积类问题
【示范题1】(2013·衢州中考)如图,在长
和宽分别是a,b的矩形纸片的四个角都剪
去一个边长为x的正方形.
(1)用含a,b,x的代数式表示纸片剩余部分的面积.
(2)当a=6,b=4,且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时,求正方形的边长.【思路点拨】(1)阴影部分的面积等于长方形的面积减去四个边长为x的正方形的面积.(2)根据剪去部分的面积等于剩余部分的面积,列出关于x的一元二次方程,把a,b代入求出x.【自主解答】(1)面积=ab-4x2.
(2)根据题意可得:ab-4x2=4x2
整理得:8x2=24,解得x=± .∵x>0,∴正方形的边长为 .【想一想】
示范题1中的问题,用含a,b,x的代数式表示纸片剩余部分的面积,还有别的解决方法吗?
提示:有.可用切割的办法,把图形分成3个矩形求解,例如,分成一个长为a、宽为b-2x的矩形和两个长为a-2x、宽为x的矩形.【微点拨】
1.在面积问题中,有时候可直接利用面积公式作为相等关系,有时需要利用面积的和或者差作为相等关系.
2.复杂图形,可通过平移的办法,使图形转化为规则图形.【方法一点通】
求解面积问题的方法
1.规则图形,套用面积公式列方程.
2.不规则图形,采用割补的办法,使其成为规则图形,根据面积间的和、差关系求解.知识点二 商品销售及其他类问题
【示范题2】(2013·淮安中考)小丽为校合唱队购买某种服装时,商店经理给出了如下优惠条件,如果一次性购买不超过10件,单价为80元;如果一次性购买多于10件,那么每增加1件,购买的所有服装的单价降低2元,但单价不得低于50元,按此优惠条件,小丽一次性购买这种服装付了1200元,请问她购买了多少件这种服装?【思路点拨】确定优惠条件 → 设未知数 → 列、解方程
→检验、作答
【自主解答】因为80×10=800(元)<1200元,所以小丽买的服装数大于10件,设她购买了x件这种服装,根据题意,得x[80-2(x-10)]=1200,解得x1=20,x2=30.
因为1200÷50=24<30,所以x2=30,不合题意,舍去.
答:她购买了20件这种服装.【想一想】
某种商品平均每天能售出a,而当售价每降价b时,平均每天就能多售出c,设售价降价x时,平均每天销量为y,则y与x的关系是什么,如何表示?
提示:销量是降价的一次函数:y=a+c× .【备选例题】(2012·山西中考)山西特产专卖店销售核桃,其进价为每千克40元,按每千克60元出售,平均每天可售出100千克,后来经过市场调查发现,单价每降低2元,则平均每天的销售可增加20千克,若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元,请回答:
(1)每千克核桃应降价多少元?
(2)在平均每天获利不变的情况下,为尽可能让利于顾客,赢得市场,该店应按原售价的几折出售?【解析】(1)设每千克核桃应降价x元.
根据题意,得(60-x-40) =2240,
化简,得x2-10x+24=0,解得x1=4,x2=6.
答:每千克核桃应降价4元或6元.
(2)由(1)可知每千克核桃可降价4元或6元.因为要尽可能让利
于顾客,所以每千克核桃应降价6元.此时,售价为:60-6=
54(元), ×100%=90%.
答:该店应按原售价的九折出售.【方法一点通】
解答商业利润问题的“两点注意”
1.理清利润、成本和其他费用之间的关系,用数学语言描述等量关系,再列方程,求出解后进行实际意义的验证.
2.充分利用题目中的已知条件,挖掘隐含条件,考虑实际问题中取值的意义.温馨提示：
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提技能·题组训练
面积类问题
1.某学校准备修建一个面积为200m2的矩形花圃,它的长比宽多10m,设花圃的宽为xm,则可列方程为( )
A.x(x-10)=200 B.x(x+10)=200
C.2x+2(x-10)=0 D.2x+2(x+10)=200
【解析】选B.∵花圃的长比宽多10m,花圃的宽为xm,∴长为(x+10)m,∵花圃的面积为200m2,∴可列方程为x(x+10)=200.
2.在一幅长80cm,宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂图,如图所示,如果要使整个挂图的面积是5400cm2,设金色纸边的宽为xcm,那么x满足的方程是( )
A.x2+130x-1400=0 B.x2+65x-350=0
C.x2-130x-1400=0 D.x2-65x-350=0
【解析】选B.由题意,挂图的长为(80+2x)cm,宽为(50+2x)cm,所以(80+2x)(50+2x)=5400,即x2+65x-350=0.
3.长方形的长比宽多4cm,面积为60cm2,则它的周长为 .
【解析】设长方形的宽为xcm,其长为(x+4)cm.由题意,得(x+4)x=60,解得:x1=6,x2=-10(不合题意,舍去),所以该长方形的周长为2×(6+6+4)=32(cm).
答案:32cm
4.如图,在一块长为22m,宽为17m的矩形地面上,要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行),剩余部分种上草坪,使草坪面积为300m2.若设道路宽为xm,则根据题意可列方程为 .
【解析】设道路的宽应为xm,把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边,则剩下的草坪是一个长方形,其长为(22-x),其宽为(17-x),由题意得:(22-x)(17-x)=300.
答案:(22-x)(17-x)=300
5.如图,在宽为20 m,长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分),余下的部分种上草坪.要使草坪的面积为540 m2,求道路的宽.
(部分参考数据:322=1024,522=2704,482=2304)
【解析】方法一:利用平移,原图可转化为右图,设道路宽为x米,
根据题意得:(20-x)(32-x)=540.
整理得:x2-52x+100=0.
解得:x1=50(舍去),x2=2.
答:道路宽为2米.
方法二:利用平移,原图可转化为右图,设道路宽为x米,根据题意得:20×32-(20+32)x+x2=540.
整理得:x2-52x+100=0.
解得x1=2,x2=50(舍去).
答:道路宽是2米.
【知识归纳】数形结合,平移转化
这类题目体现了数形结合的思想,需利用平移把不规则的图形变为规则图形,进而可列出方程,求出答案.另外还要注意解的合理性,从而确定取舍.
商品销售及其他类问题
1.一个小组若干人,新年互送贺卡,若全组共送贺卡72张,则这个小组共( )
A.12人 B.18人 C.9人 D.10人
【解析】选C.设这个小组共有x人,那么x(x-1)=72,即x2-x-72=0,解得x1=9,x2=-8(舍去),所以这个小组共有9人.
2.某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元,为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出2件.若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?
【解析】设每件衬衫应降价x元,由题意,得(40-x)(20+2x)=1200,
解方程得,x1=10,x2=20.因为要尽量减少库存,所以x=20.
答:每件衬衫应降价20元.
【互动探究】若把上面的问题换为:某商店购进一种商品,单价30元,试销中发现这种商品每天的销售量p(件)与每天的销售价x(元)满足关系:p=100-2x,若商店每天销售这种商品要获得200元的销售利润,那么每件商品的售价应为多少元?每天要售出这种商品多少件?
【解析】根据题意得:(x-30)(100-2x)=200,整理得:x2-80x+1600=0,∴(x-40)2=0,∴x=40,∴p=100-2x=20(件).
答:每件商品的售价应定为40元,每天要销售这种商品20件.
3.某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡,一种贺年卡平均每天可售出500张,每张盈利0.3元,为了尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,调查发现,如果这种贺年卡的售价每降低0.1元,那么商场平均每天可多售出100张,商场要想平均每天盈利120元,每张贺年卡应降价多少元?
【解析】设每张贺年卡应降价x元,
则(0.3-x)=120,
解得:x=0.1或x=-0.3(舍去).
答:每张贺年卡应降价0.1元.
【错在哪？】作业错例 课堂实拍
有一块长80cm,宽60cm的薄钢片,在四角上截去四个相同的小正方形,然后做成底面积为1500cm2的没有盖的长方体盒子,求截去的小正方形的边长.
(1)找错:从第 步开始出现错误.
(2)纠错:
答案：(1)④步
(2)当x=55时,80-2x=-30<0,60-2x=-50<0,不符合题意,舍去;当x=15时,80-2x=50>0,60-2x=30>0,符合题意,所以x=15.答:截去的小正方形的边长为15cm.
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课时提升作业(八)
实际问题与一元二次方程(第2课时)
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.(2013·昆明中考)如图,在长为100m,宽为80m的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路,剩余部分进行绿化,要使绿化面积为7644m2,则道路的宽应为多少米?设道路的宽为xm,则可列方程为( )
A.100×80-100x-80x=7644
B.(100-x)(80-x)+x2=7644
C.(100-x)(80-x)=7644
D.100x+80x=356
【解题指南】这类问题的特点是,绿化面积仅与路的宽度有关,而与路的位置无关,为了计算方便,可分别将路沿东西方向和南北方向平移(最好是靠一边).
【解析】选C.设道路的宽为xm,则把两条道路“平移”得到的矩形的长为(100-x)m,宽为(80-x)m,根据题意,可列方程为(100-x)(80-x)=7644.
【知识归纳】图形的面积转化
平移转化是列一元二次方程解决面积类应用题常用的方法,其核心思想是将不在一起的几块图形通过平移转化为一块规则的图形,通过面积列出一元二次方程.如图(1)所示的矩形长为b,宽为a,阴影道路的宽为x,则4块空白部分面积的和可以转化为(a-x)(b-x),如图(2).
2.要组织一次篮球联赛,赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场),计划安排21场比赛,则参赛球队的个数是( )
A.5个 B.6个 C.7个 D.8个
【解析】选C.设有x个队,每个队都要赛(x-1)场,但两队之间只有一场比赛,x(x-1)÷2=21,
解得x=7或-6(舍去).
3.(2013·济南中考)如图,小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端,绳子末端刚好接触到地面,然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处,发现此时绳子末端距离地面2m.则旗杆的高度(滑轮上方的部分忽略不计)为( )
A.12 m B.13 m C.16 m D.17 m
【解题指南】解决本题的三个关键
(1)根据题意作出示意图.
(2)把问题转化为直角三角形和矩形问题.
(3)利用勾股定理解题.
【解析】选D.如图所示,作BC⊥AE于点C,则BC=DE=8m,设AE=xm,则AB=xm,AC=(x-2)m,在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,即(x-2)2+82=x2,解得x=17.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.(2013·南京中考)已知如图所示的图形的面积为24.根据图中的条件,可列出方程: .
【解题指南】解决本题的关键
(1)将图形补成一个正方形.
(2)利用面积间的关系列出方程.
【解析】可以利用将图形补全成一个大正方形的方法,确定大正方形的边长为x+1,补全的小正方形面积为1,从而可以列出方程(x+1)2-1=24.也可以利用分割的方式列出其他形式的方程.
答案:答案不唯一,如(x+1)2=25
5.如图,已知矩形ABCD中,AB=1,在BC上取一点E,沿AE将△ABE向上折叠,使B点落在AD上的F点,若四边形EFDC与矩形ABCD相似,则AD= .
【解析】设AD=x,∵AB=1,∴FD=x-1,FE=1,
∵四边形EFDC与矩形ABCD相似,∴=,即=,解得x1=,x2=(负值舍去),经检验x=是原方程的解.
答案:
6.将进价40元的商品按50元出售时,一月能卖500个.已知该商品每涨价2元,其月销量就减少20个,为减少库存,且保证每月8000元利润,售价应定为 .
【解析】设售价应定为x元,由题意(x-40){500-[(x-50)÷2]×20}=8000,整理得:x2-140x+4800=0,解得x=60或x=80.为减少库存,售价应定为60元.
答案:60元
【互动探究】若题目题干部分不变化,把“为减少库存”换为“若成本不高于10000元”问售价应定为多少元,此时应进货多少个?
【解析】设售价应定为x元,则销售量是500-(x-50)÷2×20=500-10(x-50).
则由题意:(x-40)×[500-10(x-50)]=8000,
解得x=60或x=80,
由于40×[500-10(x-50)]≤10000,
解得x≥75,因此x=80.此时销售量是200个.
所以售价应定为80元,此时应进货200个.
三、解答题(共26分)
7.(8分)(2013·泰安中考)某商店购进600个旅游纪念品,进价为每个6元,第一周以每个10元的价格售出200个;第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个,但商店为了适当增加销量,决定降价销售(根据市场调查,单价每降价1元,可多售出50个,但售价不得低于进价),单价降低x元销售一周后,商店对剩余旅游纪念品清仓处理,以每个4元的价格全部售出,如果这批旅游纪念品共获利1250元,问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元?
【解析】由题意得,
200×(10-6)+(10-x-6)(200+50x)+(4-6)[600-200-(200+50x)]=1250,
整理得x2-2x+1=0,解得x=1,
∴10-1=9.
答:第二周的销售价格为9元.
8.(8分)(2013·连云港中考)小林准备进行如下操作实验:把一根长为40cm的铁丝剪成两段,并把每一段各围成一个正方形.
(1)要使这两个正方形的面积之和等于58cm2,小林该怎么剪?
(2)小峰对小林说:“这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2”,他的说法对吗?请说明理由.
【解析】(1)设其中一个正方形的边长为x cm,则另一个正方形的边长为(10-x)cm.
由题意得x2+(10-x)2=58,
解得x1=3,x2=7.
4×3=12,4×7=28.
所以小林应把铁丝剪成12cm和28cm的两段.
(2)假设能围成.由(1)得,x2+(10-x)2=48,化简得x2-10x+26=0.
因为b2-4ac=(-10)2-4×1×26=-4<0,所以此方程没有实数根.
所以小峰的说法是对的.
【变式训练】(1)用20cm长的铁丝能否折成面积为30cm2的矩形,若能够,求它的长与宽;若不能,请说明理由.
(2)相同长度的铁丝,折成矩形和正方形,哪个的面积大?
【解析】(1)不能,理由:设矩形的长为x cm,则宽为(10-x)cm,由题意(10-x)x=30,即x2-10x+30=0,因为b2-4ac=(-10)2-4×1×30=-20<0,所以此方程没有实数根.即不能折成面积为30cm2的矩形.
(2)若铁丝的长度为l,设矩形的长为x,则宽为,其面积为x=-x2+x
即当x=,折成正方形时,面积最大.
【培优训练】
9.(10分)王伟准备用一段长30m的篱笆围成一个三角形形状的小圈,用于饲养家兔.已知第一条边长为am,由于受地势限制,第二条边长只能是第一条边长的2倍多2m.
(1)请用a表示第三条边长.
(2)问第一条边长可以为7m吗?为什么?请说明理由,并求出a的取值范围.
(3)能否使得围成的小圈是直角三角形形状,且各边长均为整数?若能,说明你的围法;若不能,请说明理由.
【解析】(1)第一条边为a,第二条边为2a+2,第三条边为30-a-(2a+2)=28-3a.
(2)不可以是7 m.理由:∵a=7时,2a+2=16,28-3a=7,即第一条边为7,第二条边为16,第三条边为7.
又∵7+7<16,不满足三角形三边之间的关系,∴不能构成三角形.
根据三角形的三边不等关系,得
2a+2-a<28-3a<2a+2+a,解得
(3)能围成直角三角形形状且各边长均为整数.
当28-3a是最长边时,a2+(2a+2)2=(28-3a)2,解得a1=5,a2=39(不合题意,舍去),所以三边分别是5,12,13.当2a+2是最长边时,a2+(28-3a)2=(2a+2)2,由于解不是整数,舍去.所以能围成直角三角形形状,三边分别是5,12,13.
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