课件18张PPT。*21.2.4
一元二次方程的根与系数的关系1.一元二次方程根与系数关系的推导
方程ax2+bx+c=0(a≠0),当b2-4ac≥0时,方程的两根是:
x1=____________,x2=____________.
x1+x2=____________+_____________=____.
x1x2=____________·_____________=___.2.一元二次方程根与系数的关系
方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1,x2,则
x1+x2=____;x1x2=___.【思维诊断】(打“√”或“×”)
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系使用的条
件是b2-4ac≥0.( )
2.方程ax2+bx+c=0,若b2-4ac≥0,就能使用根与系数的关系.
( )
3.一元二次方程x2-2x-3=0的两根的和为-2,两根的积为-3.( )
4.一元二次方程2x2-2x-3=0的两根的和为2,两根的积为-3.( )√×××知识点一 利用一元二次方程根与系数的关系求字母系数
【示范题1】(2013·玉林中考)已知关于x的方程x2+x+n=0有两个实数根-2,m.求m,n的值.
【思路点拨】通过两根之和确定m,通过两根之积确定n.【自主解答】∵关于x的方程x2+x+n=0有两个实数根-2,m,
∴ 解得, 即m,n的值分别是1,-2.【想一想】
一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的两根符号相同,那么系数b,c的符号是什么?
提示:两根同正,则c>0,b<0;两根同负,则c>0,b>0.【微点拨】
1.应用一元二次方程根与系数的关系的前提是:方程是一元二次方程,且有实数根.所以必须满足二次项系数a≠0,判别式b2-4ac≥0的条件.
2.关于x的方程x2+px+q=0的两根为x1,x2,则有x1+x2=-p, x1·x2=q.【方法一点通】
用根与系数的关系,求另一根及未知系数的方法
1.当已知一个根和一次项系数时,先利用两根的和求出另一根,再利用两根的积求出常数项.
2.当已知一个根和常数项时,先利用两根的积求出另一根,再利用两根的和求出一次项系数.知识点二 一元二次方程根与系数的关系的综合应用
【示范题2】(2013·眉山中考)已知关于x的一元二次方程x2-x-3=0的两个实数根分别为α,β,则(α+3)(β+3)= .
【教你解题】【想一想】
以x1和x2为根的一元二次方程是什么?
提示:以x1和x2为根的一元二次方程是x2-(x1+x2)x+x1x2=0.【备选例题】(1)已知一元二次方程x2-6x-5=0的两根为a,b,则
= .
(2)若x1,x2是方程x2-2x-5=0的两根,则x12+x22= .
(3)已知a,b是一元二次方程x2-2x-1=0的两个实数根,则代数式
(a-b)(a+b-2)+ab的值等于 .
(4)已知一元二次方程x2-mx+m-2=0的两个实数根为x1,x2,且
x1x2(x1+x2)=3,则m的值是 .【解析】(1)∵a,b是一元二次方程的两根,∴a+b=6,ab=-5,
(2)∵x1,x2是方程x2-2x-5=0的两根,∴x1+x2=2,x1·x2=-5,
x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4+10=14.
(3)∵a,b是一元二次方程x2-2x-1=0的两个实数根,
∴ab=-1,a+b=2,∴(a-b)(a+b-2)+ab=(a-b)(2-2)+ab=0+ab=-1.(4)∵一元二次方程x2-mx+m-2=0的两个实数根为x1,x2,∴b2-4ac=m2-4(m-2)=m2-4m+4+4=(m-2)2+4≥4>0,∴m取任意实数,方程都有解,∴x1+x2=m,x1x2=m-2,代入x1x2(x1+x2)=3得:m(m-2)=3,
整理得:m2-2m-3=0,即(m-3)(m+1)=0,解得:m1=3,m2=-1.
答案:(1)- (2)14 (3)-1 (4)3或-1【方法一点通】
不解方程,利用根与系数的关系求代数式的值的步骤
1.算:计算出两根的和与积.
2.变:将所求的代数式表示成两根的和与积的形式.
3.代:代入求值.温馨提示：
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提技能·题组训练
利用一元二次方程根与系数的关系求字母系数
1.(2013·安顺中考)已知关于x的方程x2-kx-6=0的一个根为x=3,则实数k的值为( )
A.1 B.-1 C.2 D.-2
【解析】选A.方法一:设方程的另一个根为x2,由x1x2=,可得3x2=-6,所以x2=-2;根据x1+x2=-可得:3-2=k,即k=1.
方法二:把x=3代入方程x2-kx-6=0可得:9-3k-6=0,解得:k=1.
2.如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=2,x2=1,那么p,q的值分别是( )
A.-3,2 B.3,-2 C.2,-3 D.2,3
【解析】选A.由题意,得:x1+x2=-p,x1x2=q.
∴p=-(x1+x2)=-3,q=x1x2=2.
3.方程3x2+x+k=0的两根之积为-3,则k的值为 .
【解析】设该方程的两根分别为x1,x2,
因为x1x2===-3,所以k=-9.
答案:-9
4.若方程x2+(m2-1)x+m=0的两根互为相反数,则m= .
【解题指南】解决本题的三个关键:
(1)清楚方程有根的条件.
(2)明白两根互为相反数的意义.
(3)应用根与系数的关系.
【解析】设该方程的两根分别为x1,x2.由于方程的两根互为相反数,所以x1+x2=0,即m2-1=0,所以m=±1.当m=1时,b2-4ac=-4<0,方程没有实数根,故舍去.所以m=-1.
答案:-1
【易错提醒】利用方程根与系数的关系时,方程必须是一元二次方程且必须有实数根.本题计算出m的值后,易忘记判断方程是不是有实数根.
5.(2013·龙岩中考)已知x=3是方程x2-6x+k=0的一个根,则k= .
【解析】设方程另一个根为x1,根据题意得3+x1=6,
所以x1=3,k=3x1=9.
答案:9
6.若关于x的一元二次方程x2-4x+k-3=0的两个实数根为x1,x2,且满足x1=3x2,试求出方程的两个实数根及k的值.
【解析】∵关于x的一元二次方程x2-4x+k-3=0有两个实数根,
∴Δ=16-4×1×(k-3)≥0,解得,k≤7;
由根与系数的关系,得x1+x2=4,x1·x2=k-3,
把x1=3x2代入x1+x2=4得,x1=3,x2=1,
∴k=x1x2+3=3×1+3=6.
故方程两根为x1=3,x2=1,k=6.
一元二次方程根与系数的关系的综合应用
1.若x1,x2是方程x2=4的两根,则x1+x2的值是( )
A.8 B.4 C.2 D.0
【解析】选D.原方程可化为x2-4=0,
∴x1+x2=-=0.
2.(2013·湘潭中考)一元二次方程x2+x-2=0的解为x1,x2,则x1·x2=( )
A.1 B.-1 C.2 D.-2
【解析】选D.根据题意得x1·x2==-2.
3.已知方程x2-5x+2=0的两个解分别为x1,x2,则x1+x2-x1·x2的值为( )
A.-7 B.-3 C.7 D.3
【解析】选D.根据题意可得x1+x2=-=5,x1x2==2,
∴x1+x2-x1·x2=5-2=3.
4.(2013·湖北中考)已知α,β是一元二次方程x2-5x-2=0的两个实数根,则α2+αβ+β2的值为( )
A.-1 B.9 C.23 D.27
【解题指南】利用根与系数的关系,计算出两根的和、两根的积,再把要求值的代数式变形,用两根和与两根积的形式表示出来,整体代入,求出其结果.
【解析】选D.因为α+β=5,αβ=-2,所以α2+αβ+β2=(α+β)2-αβ=25-(-2)=27.
【互动探究】(1)题目条件不变,计算+的值.
(2)题目条件不变,计算α2+β2的值.
【解析】(1)因为α+β=5,αβ=-2,
所以+===-.
(2)因为α+β=5,αβ=-2,
所以α2+β2=(α+β)2-2αβ=25-2×(-2)=29.
5.已知一元二次方程x2-3x-1=0的两个根分别是x1,x2,则x2+x1的值为( )
A.-3 B.3 C.-6 D.6
【解析】选A.∵一元二次方程x2-3x-1=0的两个根分别是x1,x2,
∴x1+x2=3,x1·x2=-1,
∴x2+x1=x1x2·(x1+x2)=-1×3=-3.
【知识归纳】利用根与系数的关系,求代数式的常用变形:
(1)+=(x1+x2)2-2x1x2.
(2)+=.
(3)(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2.
(4)(x1+a)(x2+a)=x1x2+a(x1+x2)+a2.
(5)+x1x2+=(x1+x2)2-x1x2.
6.(2013·泸州中考)设x1,x2是方程x2-3x-3=0的两个实数根,则+的值为
( )
A.5 B.-5 C.1 D.-1
【解析】选B.由根与系数的关系可知x1+x2=3,x1x2=-3,
+==
=-2=-2=-5.
7.已知关于x的一元二次方程x2+3x+1-m=0.
(1)请选取一个你喜爱的m的值,使方程有两个不相等的实数根,并说明它的正确性.
(2)设x1,x2是(1)中所得方程的两个根,求x1x2+x1+x2的值.
【解析】(1)答案不唯一,如取m=4,
则原方程变为x2+3x-3=0.
∵Δ=9+12=21>0,
∴符合方程有两个不相等的实数根.
(2)∵x1+x2=-3,x1x2=-3,
∴x1x2+x1+x2=-3-3=-6.
【错在哪？】作业错例 课堂实拍
x1,x2是方程x2-6x+11=0的两个根,不解方程求+的值.
(1)找错:从第 步开始出现错误.
(2)纠错:___________________________________________________________
___________________________________________________________________.
答案：(1)①
(2)因为b2-4ac=(-6)2-4×1×11=36-44=-8<0,所以方程没有实数根，即x1，x2在实数范围内是不存在的，所以在实数范围内x12+x22的值也不存在
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课时提升作业(六)
一元二次方程的根与系数的关系
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.(2013·鄂州中考)已知m,n是关于x的一元二次方程x2-3x+a=0的两个解,若(m-1)(n-1)=-6,则a的值为( )
A.-10 B.4 C.-4 D.10
【解析】选C.根据题意得:m+n=3,mn=a,
∵(m-1)(n-1)=mn-(m+n)+1=-6,
∴a-3+1=-6,
解得a=-4.
2.(2013·烟台中考)已知实数a,b分别满足a2-6a+4=0,b2-6b+4=0,且a≠b,则+的值是( )
A.7 B.-7 C.11 D.-11
【解析】选A.由题意知a,b是方程x2-6x+4=0的两个根,所以a+b=6,ab=4.所以+====7.
3.(2013·桂林中考)已知关于x的一元二次方程x2+2x+a-1=0有两根为x1,x2,且-x1x2=0,则a的值是( )
A.a=1 B.a=1或a=-2
C.a=2 D.a=1或a=2
【解题指南】解答本题的三个关键:
(1)解方程-x1x2=0,确定x1的值和x1,x2间关系.
(2)利用两根之和是-2,求出方程的两个根.
(3)利用两根之积等于a-1,求出a.
【解析】选D.∵关于x的一元二次方程x2+2x+a-1=0有两根为x1,x2,
∴x1+x2=-2,x1x2=a-1.
∵-x1x2=0,∴x1(x1-x2)=0,
∴x1=0或者x1=x2.
当x1=0时,x1x2=a-1=0,∴a=1;
当x1=x2时,由x1+x2=-2,得x1=x2=-1,
所以x1x2=a-1=1,解得a=2,∴a=1或a=2.
【一题多解】∵关于x的一元二次方程x2+2x+a-1=0有两根为x1,x2,
∴Δ=22-4(a-1)≥0,
解得a≤2,
∵-x1x2=0,∴x1(x1-x2)=0,
若x1=0,代入x2+2x+a-1=0,得a-1=0,
∴a=1;若x1-x2=0,则x1=x2,
∴Δ=22-4(a-1)=0,解得a=2,∴a=1或a=2.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.(2013·南昌中考)若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长,且S△ABC=3,请写出一个符合题意的一元二次方程 .
【解析】∵一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长,且
S△ABC=3,
∴一元二次方程的两个根的乘积为3×2=6,
∴此方程可以为x2-5x+6=0.
答案:x2-5x+6=0(答案不唯一)
5.设α,β是一元二次方程x2+3x-7=0的两个根,则α2+4α+β= .
【解析】∵α,β是一元二次方程x2+3x-7=0的两个根,
∴α+β=-3,α2+3α-7=0,∴α2+3α=7,
∴α2+4α+β=α2+3α+α+β=7-3=4.
答案:4
6.设x1,x2是一元二次方程x2-3x-1=0的两个实数根,则++4x1x2的值为 .
【解析】根据一元二次方程根与系数的关系可知:x1+x2=3,x1x2=-1,
所以++4x1x2=(x1+x2)2+2x1x2=9-2=7.
答案:7
三、解答题(共26分)
7.(8分)已知x1,x2是方程x2+5x=-1的两个实数根.
(1)试求A=x2+x1的值.
(2)试确定x1和x2的符号.
【解析】原方程变形为:x2+5x+1=0
(1)∵x1,x2是x2+5x+1=0的两个实数根,
∴x1+x2=-5,x1·x2=1,
∴A=x2+x1=x1x2(x1+x2)=1×(-5)=-5.
(2)∵x1·x2=1>0,∴x1与x2同号.
又∵x1+x2=-5,∴x1<0,x2<0.
【易错提醒】在使用根与系数的关系时,应注意:
(1)不是一般式的要先化成一般式.
(2)在使用x1+x2=-时,注意“-”不要漏.
8.(8分)(2013·荆州中考)已知:关于x的方程kx2-(3k-1)x+2(k-1)=0.
(1)求证:无论k为何实数,方程总有实数根.
(2)若此方程有两个实数根x1,x2,且|x1-x2|=2,求k的值.
【解析】(1)①当k=0时,方程是一元一次方程,有实数根;
②当k≠0时,方程是一元二次方程,
∵Δ=(k+1)2≥0,
∴无论k为何实数,方程总有实数根.
(2)∵此方程有两个实数根x1,x2,
∴x1+x2=,x1x2=,
∵|x1-x2|=2,∴(x1-x2)2=4,
∴(x1+x2)2-4x1x2=4,
即-4×=4.
解得k=1或k=-.
【培优训练】
9.(10分)(2013·孝感中考)已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+2k=0有两个实数根x1,x2.
(1)求实数k的取值范围.
(2)是否存在实数k使得x1· x2--≥0成立?若存在,请求出k的值;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)∵原方程有两个实数根,
∴[-(2k+1)]2-4(k2+2k)≥0,
∴4k2+4k+1-4k2-8k≥0,
∴1-4k≥0,∴k≤.
∴当k≤时,原方程有两个实数根.
(2)假设存在实数k使得x1·x2--≥0成立.
∵x1,x2是原方程的两根,
∴x1+x2=2k+1,x1·x2=k2+2k.
由x1·x2--≥0,得3x1·x2-(x1+x2)2≥0.
∴3(k2+2k)-(2k+1)2≥0,
整理得:-(k-1)2≥0,
∴只有当k=1时,上式才能成立.
又∵由(1)知k≤,
∴不存在实数k使得x1·x2--≥0成立.
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