课件16张PPT。21.2.3
因式分解法1.因式分解法解一元二次方程的一般步骤
(1)移项,将方程的右边化为__.
(2)将方程的左边分解为_________________.
(3)令每个因式等于__,得两个_____________.
(4)解这两个_____________,得方程的两个根.0两个一次因式的积0一元一次方程一元一次方程2.一元二次方程各种解法的特点
(1)配方法要先_____,再_____.
(2)公式法是通过_______推出的求根公式,可把方程的系数直
接代入公式.
(3)因式分解法要先使方程的一边为_____________相乘,另一
边____,再分别使各_________等于0.配方降次配方法两个一次因式为0一次因式【思维诊断】(打“√”或“×”)
1.一元二次方程x(x-1)=0的解是x=0或x=1.( )
2.方程x2=4x的解是x=4.( )
3.方程x(x+2)=3(x+2)左右两边同除以(x+2),得x=3.( )
4.方程(x-2)2=9使用直接开平方法解或使用因式分解法解方程
都比较简单.( )√××√知识点一 用因式分解法解一元二次方程
【示范题1】解方程:2(x-3)=3x(x-3).
【教你解题】【想一想】
若有两个常数a,b,当a,b满足:a+b=p,a×b=q时,方程x2+px+q=0如何用因式分解法求解?
提示:方程x2+px+q=0可化为(x+a)(x+b)=0,所以x1=-a或x2=-b.【备选例题】(1)解方程:(2x+3)2-25=0.
(2)解方程:x(2x-3)=(3x+2)(2x-3).
【解析】(1)由原方程,得[(2x+3)+5][(2x+3)-5]=0,
即(2x+8)(2x-2)=0,所以2x+8=0或2x-2=0,解得x1=-4,x2=1.
(2)由原方程,得x(2x-3)-(3x+2)(2x-3)=0,
左边提公因式得(2x-3)[x-(3x+2)]=0,即(2x-3)(-2x-2)=0,
所以2x-3=0或-2x-2=0,解得x1= ,x2=-1.【方法一点通】
用因式分解法解一元二次方程的步骤
1.移项,将方程的右边化为0.
2.将方程的左边分解为两个一次因式的积.
3.令每个因式等于0,得两个一元一次方程.
4.解这两个一元一次方程,得方程的两个根.知识点二 一元二次方程解法的选择
【示范题2】请选择你认为适当的方法解下列方程.
(1)x2-3x+1=0. (2)(x-1)2=3.
(3)x2=3x. (4)x2-2x=4.
【思路点拨】根据方程特点,选择适当的方法解方程.【自主解答】(1)a=1,b=-3,c=1,由求根公式得
(2)开平方,得x-1=± ,∴x1=1+ ,x2=1- .
(3)移项,得x2-3x=0,
因式分解,得x(x-3)=0,
于是得x=0或x-3=0,∴x1=0,x2=3.
(4)配方,得(x-1)2=5,∴x-1=± ,∴x1=1+ ,x2=1- .【想一想】
张明觉得解方程(x-1)(x+2)=1,最恰当的办法是因式分解法,因为左边不用分解了.你觉得呢?这个题目选择怎样的解法最合适?
提示:张明的想法是错误的.虽然左边不用分解,但等号的右边不是0,不能直接用因式分解的办法求解.原方程可化为:x2+x-3=0,该方程用公式法求解最合适.【微点拨】
1.解方程若没有具体的要求,我们通常选择较简便的方法求解.
2.一般解方程最后的选择是公式法和配方法,因为它们适合任意的一元二次方程.【方法一点通】
解一元二次方程的方法选择
1.若方程为x2=n或者(x+m)2=n(n≥0)型时,用直接开平方法.
2.若方程(或者变形后)右边为0,左边能因式分解时,用因式分解法.
3.若方程右边为0,左边不能因式分解时,选用公式法.
4.若无特殊说明,一般不用配方法.温馨提示：
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提技能·题组训练
用因式分解法解一元二次方程
1.(2013·新疆中考)方程x2-5x=0的解为( )
A.x1=0,x2=-5 B.x=5
C.x1=0,x2=5 D.x=0
【解析】选C.x2-5x=0,x(x-5)=0,∴x=0,x-5=0.
解得x1=0,x2=5.
2.若关于x的一元二次方程的根分别为-5,7,则该方程可以为( )
A.(x+5)(x-7)=0 B.(x-5)(x+7)=0
C.(x+5)(x+7)=0 D.(x-5)(x-7)=0
【解析】选A.由(x+5)(x-7)=0,得x+5=0或x-7=0,
解得:x1=-5,x2=7.
3.方程(x+1)(x-2)=x+1的解是( )
A.2 B.3 C.-1,2 D.-1,3
【解析】选D.因为(x+1)(x-2)=x+1,
所以(x+1)(x-2)-(x+1)=0,
所以(x+1)(x-2-1)=0,
即x+1=0或者x-3=0,
所以x1=-1,x2=3.
4.(2013·天水中考)一个三角形的两边长分别为3和6,第三边的边长是方程(x-2)(x-4)=0的根,则这个三角形的周长是( )
A.11 B.11或13
C.13 D.以上选项都不正确
【解题指南】先求出三角形的第三边,再判断三边是否构成三角形,最后计算出三角形的周长.
【解析】选C.方程(x-2)(x-4)=0,
可得x-2=0或x-4=0,
解得:x=2或x=4,当x=2时,2,3,6不能构成三角形,舍去;
当x=4时,三角形的周长为3+4+6=13.
【互动探究】若将题目中的两边长“3和6”改为“3和4”,则这个三角形的周长是多少?
【解析】方程(x-2)(x-4)=0,可得x-2=0或x-4=0,
解得:x=2或x=4.当x=2时,三角形的周长为2+3+4=9,当x=4时,三角形的周长为3+4+4=11.所以这个三角形的周长为9或11.
【易错提醒】求三角形的周长,首先要判断能否构成三角形.本题易忘记先判断三边是否满足三边关系,能否构成三角形,而直接求三角形的周长.
5.解方程:(2x-1)2-x2=0.
【解析】因式分解,得(2x-1+x)(2x-1-x)=0,
即(3x-1)(x-1)=0,
于是得3x-1=0或x-1=0,
∴x1=,x2=1.
6.解方程(x-2)2=2x-4.
【解析】移项,得(x-2)2-(2x-4)=0,
即(x-2)2-2(x-2)=0.
左边因式分解得,(x-2)(x-2-2)=0,
所以x-2=0或x-4=0,
所以原方程的解为x1=2,x2=4.
一元二次方程解法的选择
1.解方程2(5x-1)2=3(5x-1)的最适当的方法是( )
A.直接开平方法 B.配方法
C.公式法 D.因式分解法
【解析】选D.移项,得2(5x-1)2-3(5x-1)=0,等号的左边有公因式,利用因式分解法最简单.
2.下列方程用因式分解法解较简便的是( )
A.x2+x+1=0 B.x2+2x-4=0
C.(x-3)(x-2)=1 D.5x2=8x
【解析】选D.方程5x2=8x,移项,得5x2-8x=0,因为左边有公因式x,易于因式分解,所以用因式分解法较简便.
【互动探究】(1)题目中的选项C的方程选择哪种解法简便?求出该方程的根.
(2)题目中的选项A,B选择哪种解法简便?说明理由.
【解析】(1)方程(x-3)(x-2)=1变形得,x2-5x+5=0,用公式法较简便,
因为a=1,b=-5,c=5,Δ=(-5)2-4×1×5=5,
所以x=.即x1=,x2=.
(2)选项A里的方程选择公式法,选项B里的方程选择公式法或者配方法.方程x2+x+1=0的左边不易因式分解,一次项系数为奇数,配方也比较麻烦,所以选择公式法;方程x2+2x-4=0的左边不易因式分解,一次项系数为偶数,选择公式法或配方法.
3.解方程2x2-2x-1=0,最简单的方法是( )
A.直接开平方法 B.配方法
C.公式法 D.因式分解法
【解析】选C.等号的左边不易因式分解,配方求解需计算分数也较麻烦,选择公式法比较简单.
4.方程9(x+1)2-4(x-1)2=0正确解法是( )
A.直接开方得3(x+1)=2(x-1)
B.化为一般形式为13x2+5=0
C.分解因式得[3(x+1)+2(x-1)][3(x+1)-2(x-1)]=0
D.直接得x+1=0或x-1=0
【解析】选C.方程的右边为0,左边符合因式分解的平方差公式,所以选择因式分解法比较简单.
5.在下列各题的空格中填写适当的解法.
(1)解方程2x2+5x=0,用 法较简便.
(2)解方程(5x-3)2=7,用 法较简便.
【解析】(1)可以利用因式分解法,(2)可以利用直接开平方法.
答案:(1)因式分解 (2)直接开平方
6.已知代数式2-a与-a2+2a的值互为相反数,则a的值是 .
【解析】∵代数式2-a与-a2+2a的值互为相反数,
∴(2-a)+(-a2+2a)=0,
即(2-a)-a(a-2)=0,
即(2-a)(1+a)=0,
解得a1=2,a2=-1.
答案:2或-1
7.用适当的方法解下列方程:
(1)9(x+2)2=16. (2)(x-1)2-(x-1)=0.
(3)4x2-4x+1=0. (4)(3x-4)2=9x-12.
【解析】(1)(x+2)2=,所以x+2=±,
所以x=-2±,即x1=-,x2=-.
(2)原方程变形为(x-1)(x-1-1)=0,即(x-1)(x-2)=0.
所以x1=1,x2=2.
(3)因为a=4,b=-4,c=1,
所以Δ=b2-4ac=(-4)2-4×4×1=16,
所以x==,即x1=,x2=.
(4)原方程变形为(3x-4)2-3(3x-4)=0,
所以(3x-4)(3x-4-3)=0.
所以3x-4=0或3x-7=0,所以x1=,x2=.
【知识归纳】
1.对于复杂的一元二次方程,一般不急于化为一般形式,应观察其特点,看能否用直接开平方法或因式分解法,若不能,再化为一般形式.
2.在一元二次方程的四种解法中,优先选取顺序依次为:直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法.
【错在哪？】作业错例 课堂实拍
求方程2x(x-3)=7(3-x)的解.
(1)找错:从第 步开始出现错误.
(2)纠错:____________________________________________________________
_______________________________________.
答案：(1)①
(2)移项得，2x(x-3)-7(3-x)=0,即(x-3)(2x+7)=0,所以x-3=0或2x+7=0，所以原方程的解为x1=3,x2=-
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课时提升作业(五)
因式分解法
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.(2013·河南中考)方程(x-2)(x+3)=0的解是( )
A.x=2 B.x=-3
C.x1=-2,x2=3 D.x1=2,x2=-3
【解析】选D.∵(x-2)(x+3)=0,
∴x-2=0或x+3=0,
解得:x1=2,x2=-3.
2.一元二次方程5x(7-x)+14=2x的根是( )
A.- B.7 C.和7 D.-和7
【解析】选D.原方程转化为5x(7-x)+2(7-x)=0,所以(5x+2)(7-x)=0,解得x1=-,x2=7.
【易错提醒】等号两边都含有公因式时,不先移项提公因式,而是两边都除以公因式,造成题目丢根.
3.(2013·铁岭中考)如果三角形的两边长分别是方程x2-8x+15=0的两个根,那么连接这个三角形三边的中点,得到的三角形的周长可能是( )
A.5.5 B.5 C.4.5 D.4
【解题指南】解决本题的三个关键
(1)三角形成立的条件,两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.
(2)三角形的中位线等于第三边的一半.
(3)不等式的性质.
【解析】选A.方程x2-8x=-15,配方,得x2-8x+16=1,
所以x-4=±1,即x1=3,x2=5,则第三边c的范围是:5-3即2则三角形的周长l的范围是:10∴连接这个三角形三边的中点,得到的三角形的周长m的范围是:5故满足条件的只有A.
【变式训练】方程x2-9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰,则这个三角形的周长为( )
A.12 B.12或15
C.15 D.不能确定
【解析】选C.解方程x2-9x+18=0,得x1=3,x2=6.
当腰为3,底为6时,由于3+3=6,不符合三角形的三边关系不能构成三角形;
当腰为6,底为3时,符合三角形的三边关系,所以三角形的周长为6+6+3=15.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.方程x2-6x+9=(5-2x)2的解是 .
【解析】原方程可变形为(x-3)2=(5-2x)2,
即(x-3)2-(5-2x)2=0,
∴(x-3+5-2x)(x-3-5+2x)=0,
即2-x=0,3x-8=0,∴x1=2,x2=.
答案:x1=2,x2=
5.如果(x+y)(x+y-1)=0,那么x+y的值为 .
【解析】因为(x+y)(x+y-1)=0,
所以x+y=0或x+y-1=0,
即x+y=0或x+y=1
答案:0或1
6.实数a,b满足(a+b)2+a+b-2=0,则(a+b)2的值为 .
【解析】设x=(a+b),则原方程变为x2+x-2=0,
解得x1=-2,x2=1.
所以(a+b)2=4或者1.
答案:4或1
三、解答题(共26分)
7.(8分)选择合适的方法解题:
(1)(x-1)2-2(x2-1)=0.
(2)2(t-1)2+t=1.
(3)2x2-3x-5=0.
【解析】(1)原方程变形为(x-1)2-2(x+1)(x-1)=0,左边因式分解得,(x-1)(x+3)=0,所以x-1=0或x+3=0,所以原方程的解为:x1=1,x2=-3.
(2)移项,得2(t-1)2+t-1=0.
左边因式分解得,(t-1)(2t-1)=0,
所以t-1=0或2t-1=0,
所以原方程的解为t1=1,t2=.
(3)a=2,b=-3,c=-5,Δ=(-3)2-4×2×(-5)=49.
所以x==,
所以x1=,x2=-1.
8.(8分)阅读材料:为解方程(x2-1)2-5(x2-1)+4=0,我们可以将x2-1看作一个整体,然后设
x2-1=y…①,
那么原方程可化为y2-5y+4=0,解得y1=1,y2=4.
当y=1时,x2-1=1,∴x2=2,∴x=±;
当y=4时,x2-1=4,∴x2=5,∴x=±,
故原方程的解为x1=,x2=-,x3=,x4=-.
解答问题:
(1)上述解题过程,在由原方程得到方程①的过程中,利用 法达到了解方程的目的,体现了转化的数学思想.
(2)请利用以上知识解方程x4-x2-6=0.
【解析】(1)换元
(2)设x2=y,那么原方程可化为y2-y-6=0,
解得y1=3,y2=-2,
当y=3时,x2=3,∴x=±,
当y=-2时,x2=-2不符合题意,故舍去.
∴原方程的解为:x1=,x2=-.
【互动探究】若将(2)中的方程换为(x2-x)2-4(x2-x)-12=0,请利用换元法求出它的解.
【解析】设y=x2-x,原方程变为y2-4y-12=0.
解这个方程得,y1=6,y2=-2.
当y=6时,x2-x=6,即x2-x-6=0,解得x1=3,x2=-2.
当y=-2时,x2-x=-2,即x2-x+2=0,
由于Δ<0,这个方程无实数根.
所以原方程有两个实数根:x1=3,x2=-2.
【培优训练】
9.(10分)(2013·遵义中考)已知实数a满足a2+2a-15=0,求-÷的值.
【解析】-÷
=-·
=-
=
∵a2+2a-15=0,∴a2+2a+1=16,
∴(a+1)2=16,
∴原式的值为.
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