2022-2023学年山东省济南市章丘区七年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年山东省济南市章丘区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
2. 年月日，中国国家航天局、国家原子能机构联合宣布，我国研究团队首次在月球上发现新矿物，并命名为“嫦娥石”，“嫦娥石”也是人类发现的第六种月球新矿物，其单晶颗粒的粒径只有米大小，数据用科学记数法可表示为( )
A. B. C. D.
3. 小明在镜中看到对面电子时钟的示数如图所示，这现在的实际时间为( )
A. ： B. ： C. ： D. ：
4. 小明家和小红家到学校的直线距离分别是和那么小明和小红两家的直线距离不可能是( )
A. B. C. D.
5. 下列说法正确的是( )
A. 天气预报说章丘区明天降水概率非常大，则明天章丘区会下雨是必然事件
B. 某彩票中奖率为，小明买了张这种彩票，前张都没有中奖，则最后一张中奖的概率仍为
C. 任意抛掷一枚图钉次，针尖全部向上，则抛掷一枚图钉针尖向上为必然事件
D. 射击运动员射击一次只有种可能的结果：中靶或脱靶，所以他中靶的概率为
6. 如图，点，，，在同一直线上，，，如果根据“”判断≌，那么需要补充的条件是( )
A. B. C. D.
7. 下列各式不能用平方差公式计算的是( )
A. B.
C. D.
8. 如图，将一纸条沿折痕折叠，的对应线段与相交于点则下列条件中，不足以证明的是( )
A. B.
C. D.
9. 如图所示，在中，，以为圆心，以任意长度为半径作弧，与，分别交于点、，在分别以、为圆心，以大于长度为半径作弧，两弧相交于点，作射线，再分别以、为圆心，以大于长度为半径作弧，两弧分别在线段的上方和下方相交于点、，作直线，通过作图发现，射线和直线恰好相交于边上一点，则的度数为( )
A. B. C. D.
10. 甲乙两地相距，一辆货车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，两车同时出发，中途不停留，各自到达目的地后停止，已知货车的速度为，轿车的速度为，设货车行驶时间为小时，两车间距离为千米，则下列图象中可以反映变量与之间关系的是( )
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. ______ ．
12. 若，则 ______ ．
13. 将一副三角尺按照如图方式摆放，其中有一个角为的直角三角形的长直角边与等腰直角三角形的斜边平行，则的度数为______ ．
14. “红灯停，绿灯行，黄灯亮了等一等”，某路口交通信号灯设计如下：每次红灯时间为秒，绿灯时间为秒，黄灯时间为秒，如此循环往复，则某人驾车行驶至该路口，按照交通规则，需要停车等待的概率为______ ．
15. 如图，在中，，是的垂直平分线，分别交，于点，若，，则的周长是______ ．
16. 如图所示，中，，且，，分别为边，边上的高，，相交于点，连接，则下列结论中：
垂直平分；
图中有个等腰三角形；
≌；
的长度恰与的周长相等；
如图，若点是高上一个动点，点是边上一个动点，连接，，则的最小值等于的长度其中正确的是______ 只填序号．
三、解答题（本大题共10小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
计算：
；
18. 本小题分
先化简，再求值：，其中，．
19. 本小题分
已知：如图，，和互余，于点求证：．
20. 本小题分
如图，在正方形网格中，是格点三角形．
画出，使得和关于直线对称；
请在直线上找一点，使点到，两点的距离相等；
连接，，求的面积．
21. 本小题分
一个不透明的口袋中装有个红球，个黄球，个白球，这些球除颜色外其他均相同，从中任意摸出一个球求摸到的球是白球的概率；
小明又向这个口袋中放入了个同样规格的球，若放入前后摸到白球的概率不变则新放入的个小球中有多少个白球？
22. 本小题分
如图所示，小安同学为电力公司设计了一个安全用电的标识，点、、、在同一条直线上，且，，．
求证：；
若，，求的度数．
23. 本小题分
如图，当弹簧受到重力的作用时会伸长，某学习小组用实验的方式研究了一个弹簧的长度与所挂物体重量之间的关系，并对每组数据进行了记录：
物体的重量
弹簧的长度
上表所表示的变量之间的关系中，自变量是______ ，因变量是______ ；
当弹簧不悬挂重物时长度为______ ，物体重量每增加，弹簧长度增加______ ；
直接写出与的关系式：______ ；
当所挂物重为时，弹簧的长度为______ ；
这根弹簧的弹性限度即弹簧最长可以被拉长到的长度，超过这个长度，弹簧将失去弹性为，则在弹性限度之内，该弹簧最多可以挂多重的物体？
24. 本小题分
在同一平面内，两条直线有平行和相交两种位置关系．
如图所示，，点为直线下方的一点，连接、，线段与直线相交于点，试探究、、之间的数量关系．
小明的解答过程如下：
解：，理由如下：
已知，
______ ，
又，
______ ，即 ______ ．
在中，______ ，即．
等量代换．
如图所示，，当点移动到、之间时，中结论是否仍成立，若成立，请说明理由；若不成立，请写出、、之间的数量关系，并证明针对这个问题，小明、小亮、小颖三位同学各自提出了自己的解题思路：
小明：可以连接，利用平行线的性质和三角形内角和定理解决问题；
小亮：可以延长，交于点，同样利用平行线的性质和三角形内角和定理也可解决问题；
小颖：我过点做了一条与平行的直线，也能做出来．
请从上述三种思路中选择一种，完成解答．
如图所示，与相交于点，点为内部一点，连接、，请直接写出、、与间的数量关系．
25. 本小题分
将完全平方公式：进行适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例如：若，，求的值．
解：，，即：．
又，．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
若，，则的值为______ ；
拓展：若，试求的值；
应用：如图，在长方形中，，，点，是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积之和．
26. 本小题分
如图，，，，，，求的长度；
如图，，，，探索、、的数量关系，并证明；
如图，在中，，，，，，则 ______ 用关于、的代数式表示
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、，故此选项正确；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项错误；
D、，故此选项错误；
故选：．
直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则分别化简得出答案．
此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．
2.【答案】
【解析】解：．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
3.【答案】
【解析】解：是从镜子中看，
对称轴为竖直方向的直线，
的对称数字是，镜子中数字的顺序与实际数字顺序相反，
这时的时刻应是：．
故选：．
关于镜子的像，实际数字与原来的数字关于竖直的线对称，根据相应数字的对称性可得实际时间．
考查镜面对称，得到相应的对称轴是解决本题的关键；若是竖直方向的对称轴，数的顺序正好相反．
4.【答案】
【解析】解：以小明家、小红家以及学校这三点来构造三角形，设小明家与小红家的直线距离为，根据题意得：
，
解得：，
当小明家、小红家以及学校这三点共线时，
或者，
综上的取值范围为：，
据此可知杨冲家、李锐家的距离不可能是．
故选：．
根据三角形的三边关系分析即可．
本题考查了三角形的三边关系，两点间的距离，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：天气预报说章丘区明天降水概率非常大，则明天章丘区会下雨是随机事件，此选项不符合题意；
B.某彩票中奖率为，小明买了张这种彩票，前张都没有中奖，则最后一张中奖的概率仍为，此选项符合题意；
C.任意抛掷一枚图钉次，针尖全部向上，则抛掷一枚图钉针尖向上为随机事件，此选项不符合题意；
D.射击运动员射击一次只有种可能的结果：中靶或脱靶，所以他中靶的概率为不正确，中靶与不中靶不是等可能事件，此选项不符合题意；
故选：．
直接利用概率的意义分别分析得出答案．
此题主要考查了概率的意义，正确理解概率的意义是解题关键．
6.【答案】
【解析】解：需要补充的条件是，
在和中，
，
≌．
故选：．
利用全等三角形的判定方法，“”即角边角对应相等，只需找出一对对应角相等即可，进而得出答案．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、添加时注意：、不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
7.【答案】
【解析】解：，因此选项A不符合题意；
B.，因此选项B符合题意；
C.，因此选项C不符合题意；
D.，因此选项D不符合题意；
故选：．
根据平方差公式、完全平方公式的结构特征逐项进行判断即可．
本题考查平方差公式、完全平方公式，掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．
8.【答案】
【解析】解：，
，故A选项不符合题意；
B.由翻折可知：，
，
，
，故B选项不符合题意；
C.由翻折可知：，
，
，
，
，故C选项不符合题意；
，
，
，
不平行，故D选项符合题意；
故选：．
根据翻折的性质和平行线的判定逐一进行判断即可．
本题考查了翻折变换折叠问题，平行线的判定，解决本题的关键是掌握折叠的性质．
9.【答案】
【解析】解：由作图可知：为的平分线，为线段的垂直平分线，
，，
，
，
，
，，
，
．
故选：．
由作图可知：为的平分线，为线段的垂直平分线，进而可得，，再根据等腰三角形的性质得，据此可得出，然后再利用三角形的内角和定理即可求出的度数．
此题主要考查了基本尺规作图，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等，解答此题的关键是熟练掌握尺规作图：作已知角的平分线和作已知线段的垂直平分线，理解线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
10.【答案】
【解析】解：两车相遇时间为：小时，
轿车到底甲地的时间为：小时，此时两车间距离为千米，
货车到达乙地的时间为：小时，
所以可以反映变量与之间关系的是选项C．
故选：．
根据题意可分别求出两车相遇的时间、轿车到底甲地的时间以及货车到达乙地的时间，进而得出答案．
本题考查了函数的图象，解答本题的关键是仔细审题，将实际与函数图象结合起来，分段看图象．
11.【答案】
【解析】解：
．
故答案为：．
逆向也要积的乘方运算法则计算即可．
本题考查了积的乘方，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
12.【答案】
【解析】解：，
，，
，
故答案为：．
根据多项式乘多项式确定、的值，再代入计算即可．
本题考查多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的计算方法是正确解答的前提．
13.【答案】
【解析】解：依题意得：，，，，
，
，
．
故答案为：．
首先根据题意得出，，，，然后由平行线的性质得，进而得，最后再利用三角形的内角和定理可求出的度数．
此题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握两直线平行同位角相等，三角形的内角和等于．
14.【答案】
【解析】解：由题意可知，需要停车等待的时间为红灯和黄灯亮的时间，
所以某人驾车行驶至该路口，按照交通规则，需要停车等待的概率为：．
故答案为：．
根据概率的求法，找准两点：全部情况的总数；符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
15.【答案】
【解析】解：垂直平分线分别交，于点、，
，
，
，
周长．
故答案为：．
由的垂直平分线分别交、于点、，易得的周长．
此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
16.【答案】
【解析】解：，是边上的高，
垂直平分；故正确；
，，
，
，
，，，
．
≌，故正确；
≌，
，
，，
、、都是等腰三角形，故正确；
，，
≌，
；
垂直平分，，
，
的周长，
即的周长；故正确；
如图，连接、，
垂直平分，
，
，
当与重合时，最短，且的最小值等于的长度，故正确，
故答案为：．
由，是边上的高可判定；由题意易得，，可证明≌，则可判定正确；由得，又有，，因此可判定正确；易得结合，则有，则可判定；连接、，则，，当与重合时，最短，即可判定，从而可完成解答．
本题是三角形的综合，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，垂线段最短等知识，灵活运用它们是解题的关键．
17.【答案】解：
．
．
【解析】根据零次幂法则，负整数指数幂法则，有理数的乘方法则化简，再合并计算可得结果；
根据多项式除以单项式法则计算即可．
此题主要是考查了实数的运算，整式的运算，能够熟练运用零次幂法则，负整数指数幂法则，有理数的乘方法则，多项式除以单项式法则是解题的关键．
18.【答案】原式
，
当，，
原式．
【解析】直接利用整式的乘法运算法则化简，进而把已知数据代入得出答案．
此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
19.【答案】证明：，
，
，
又和互余，即，
，
又已知，
，
．
【解析】先由，得和互余，再由已知，，和互余，所以得，从而证得．
此题考查的知识点是平行线的判定，关键是由及三角形内角和定理得出和互余．
20.【答案】解：如图所示，即为所求；
如图所示，点即为所求；
的面积．

【解析】根据轴对称变换的性质结合网格即可求解；
作的垂直平分线交直线于点，则点即为所求；
根据割补法求解即可．
本题考查了轴对称变换的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理等知识，熟练掌握各性质定理是解题的关键．
21.【答案】解：根据题意分析可得：口袋中装有个红球，个黄球，个白球，
故摸到白球；
设新放入的个小球中有个白球，
根据题意得：，
解得：，
经检验是方程的解，
所以新放入的个小球中有个白球．
【解析】直接利用概率公式求解即可；
根据白球的概率公式得到相应的方程，求解即可．
本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
22.【答案】证明：，
即，
，
，
在和中，
，
≌，
，
；
解：，，
，
．
【解析】由，可求得，由，得，利用可证明≌，得，再利用平行线的判定可证明；
结合利用三角形的内角和定理即可解决问题．
本题主要考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
23.【答案】所挂物体的重量 弹簧的长度
【解析】解：上表所表示的变量之间的关系中，自变量是所挂物体的重量，因变量是弹簧的长度，
故答案为：所挂物体的重量，弹簧的长度；
由表格可知，当时，，
即当弹簧不悬挂重物时长度为，
由表格可知，物体的重量每增加，弹簧长度增加，
故答案为：，；
与的关系式为：，
故答案为：；
当所挂物重为时，弹簧的长度为：，
故答案为：；
令，则，
解得，
所以在弹性限度之内，该弹簧最多可以挂重的物体．
根据自变量和因变量的定义解答即可；
由时的值可得弹簧不悬挂重物时的长度，由表格中的数据变化可得物体的重量每增加，弹簧长度增加；
根据中的结论可得与的关系式；
把代入中的关系式即可得出结果；
令，根据关系式即可求出的值，从而得出结论．
本题考查了函数关系式，自变量和因变量，读懂图表数据，并从表格中得出正确结论是解题的关键．
24.【答案】两直线平行，内错角相等 等量代换 三角形内角和定理
【解析】解：，理由如下：
已知，
两直线平行，内错角相等，
又，
等量代换，
即．
在中，三角形内角和定理，
即．
等量代换．
故答案为：两直线平行，内错角相等；等量代换，，三角形内角和定理；
中结论是不成立，，证明如下：
选择小明的思路，连接，如图，
，
，
即，
，
；
选择小亮的思路，延长，交于点，如图，
，
，
，
；
选择小颖的思路，过点作，如图，
则，
，，
，
；
，理由如下：
延长交于点，如图，
，，
．
由平行线的性质得，再证，然后由三角形内角和定理得，即可得出结论；
小明的思路，连接，由平行线的性质得，再由三角形内角和定理得，即可得出结论；
小亮的思路，延长，交于点，由平行线的性质得，再由三角形的外角性质得，即可得出结论；
小颖的思路，过点作，由平行线的性质得，，再由三角形的外角性质的，即可得出结论；
延长交于点，由三角形的外角性质得，，即可得出结论．
本题是三角形综合题目，考查了三角形内角和定理、三角形的外角性质以及平行线的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握三角形的外角性质和平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
25.【答案】
【解析】解：，
，即：，
又，
，
；
故答案为：．
，
，即：，
又，
，
．
，，，
，，
，
，即：，
，
长方形的面积为，
，
，
图中阴影部分的面积之和为：．
先由得，再将代入即可求出的值；
先由得，进而得：，再将代入即可求得的值；
先由已知得，，则，即，进而得，然后根据长方形的面积为得，据此可求出，据此即可得出答案．
此题主要考查了完全平方公式的应用，解答此题的关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征：，，及变式，，．
26.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
的长度为．
，
证明：，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
．
如图，在上取一点，连接，使，
，，
，
，
，
，，
在和中，
，
≌，
，，
，，
，
，
故答案为：．
由，得，因为，所以，而，即可证明≌，得，，则；
由，得，则，因为，所以，而，即可证明≌，得，，则，所以；
在上取一点，连接，使，则，所以，则，因为，所以，而，即可证明≌，所以，，则，所以，于是得到问题的答案．
此题重点考查等角的补角相等、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
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