课件17张PPT。21.2.2
公式法1.根的判别式
式子______叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式,通常用
希腊字母Δ表示它,即Δ=______.
2.根的判别式与方程根的情况
(1)当Δ>0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)有_________的实数根.
(2)当Δ=0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)有_________的实数根.
(3)当Δ<0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)___实数根.b2-4acb2-4ac两个不等两个相等无3.求根公式
当Δ____时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根可写为x=__________
的形式,这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根
公式.
4.公式法
解一元二次方程时,把各_____直接代入_________,直接得出方程
根的方法.≥0系数求根公式【思维诊断】(打“√”或“×”)
1.方程x2+bx+c=0的两个实数根是 ( )
2.方程3x2+2x=1中a,b,c的值分别是a=3,b=2,c=1.( )
3.方程4x2-4x+1=0,由于Δ=0,所以方程只有一个实数根.( )
4.方程ax2+bx+c=0(a≠0),只有当b2-4ac>0时,才有实数根.( )
5.方程ax2+bx+c=0中,当a,c异号时,方程总有两个不相等的实
数根.( )
6.方程2x2=3x-1的根为 ( )××××√×知识点一 用公式法解一元二次方程
【示范题1】(2013·兰州中考)解方程:x2-3x-1=0.
【教你解题】【想一想】
在用公式法求解一元二次方程时,为什么先计算b2-4ac的值,而不是直接代入求根公式计算方程的根?
提示:因为b2-4ac的值与0的关系,决定了方程解的情况.只有当b2-4ac≥0时,方程才有实数根.【备选例题】(1)解方程:x2+x=1.
(2)解方程:3x2-2x-2=0.
【解析】(1)由原方程,得:x2+x-1=0,所以a=1,b=1,c=-1.所以
b2-4ac=12-4×1×(-1)=1+4=5.所以
(2)由方程知:a=3,b=-2,c=-2,所以b2-4ac=(-2)2-4×3×
(-2)=28,
所以【方法一点通】
用公式法解一元二次方程的“四个步骤”
1.把一元二次方程化为一般式.
2.确定a,b,c的值.
3.计算b2-4ac的值.
4.当b2-4ac≥0时,把a,b,c的值代入求根公式,求出方程的两个实数根;当b2-4ac<0时,方程无实数根.知识点二 一元二次方程根的判别式
【示范题2】(2013·北京中考)已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k-4=0有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围.
(2)若k为正整数,且该方程的根都是整数,求k的值.【思路点拨】(1)由于方程是一元二次方程,有两个不相等的实数根,即b2-4ac>0.把a,b,c代入,就得到一个关于k的不等式,求出不等式的解集从而确定出k的范围.
(2)先由(1)确定出k的范围,并找出满足条件的所有k,通过检验得到k的值.【自主解答】(1)Δ=b2-4ac=4-4(2k-4)=20-8k.
∵方程有两个不相等的实根,∴20-8k>0,∴k<
(2)∵k为正整数,∴0一元二次方程x2+2x+2k-4=0的解为x=-1±
∵方程的根为整数,∴5-2k为完全平方数.当k=1时,5-2k=3,不
是完全平方数;当k=2时,5-2k=1,是完全平方数.∴k=2.【想一想】
学习了根的判别式以后,小红认为:当一元二次方程有两个实数根时,Δ的值一定大于0,你觉得呢?
提示:不正确.理由:当Δ=0时,方程也有两个实数根.小红漏掉了Δ=0的情况.【微点拨】1.用根的判别式的前提条件必须是一元二次方程.
2.用根的判别式判断方程根的情况,需先将方程化为一般形式.【方法一点通】
根的判别式的应用
1.直用:不解方程,可以判断方程根的情况.
2.逆用:知道方程根的情况,判断字母系数的取值范围.
3.一元二次方程有实数根,包含有两个相等的实数根和有两个不相等的实数根两种情况.温馨提示：
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提技能·题组训练
用公式法解一元二次方程
1.用公式法解方程6x-8=5x2时,a,b,c的值分别是( )
A.5,6,-8 B.5,-6,-8
C.5,-6,8 D.6,5,-8
【解析】选C.原方程可化为:5x2-6x+8=0,
∴a=5,b=-6,c=8.
2.用公式法解方程4x2-12x=3,得到( )
A.x= B.x=
C.x= D.x=
【解题指南】先把一元二次方程转化为一般形式,确定出a,b,c的值,代入求根公式,求出方程的根.
【解析】选D.由方程4x2-12x=3,得4x2-12x-3=0.
这里a=4,b=-12,c=-3,b2-4ac=(-12)2-4×4×(-3)=192,
所以x===.
【易错提醒】用公式法求一元二次方程的根时,在确定系数a,b,c时,易忘记先把一元二次方程化为一般形式.
3.方程x2+4x+6=0的根是( )
A.x1=,x2= B.x1=6,x2=
C.x1=2,x2= D.x1=x2=-
【解析】选D.∵a=,b=4,c=6,
∴b2-4ac=(4)2-4××6=0,
∴x1=x2==-.
【一题多解】方法一:方程的两边都除以得,x2+2x+6=0,
∴a=1,b=2,c=6,
∴b2-4ac=(2)2-4×1×6=0,
∴x1=x2==-.
方法二:方程的两边都除以得,x2+2x+6=0,
所以x2+2x+()2=0,即(x+)2=0,
所以x1=x2=-.
4.方程(2x+1)(x+2)=6化为一般形式是 ,b2-4ac= ,用求根公式求得x1= ,x2= .
【解析】由方程(2x+1)(x+2)=6,得2x2+5x-4=0,
所以b2-4ac=25-4×2×(-4)=57.
所以x=.即x1=,x2=.
答案:2x2+5x-4=0 57
5.(2013·无锡中考)解方程:x2+3x-2=0.
【解析】∵a=1,b=3,c=-2.
Δ=32-4×1×(-2)=17,
∴x=,∴x1=,x2=.
【知识归纳】公式法与配方法的联系
配方法和公式法是解一元二次方程的两种不同的方法,但二者的联系也比较密切,主要有以下两点:
(1)一元二次方程的求根公式是由配方法解一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0得到的.
(2)两种方法都适用于任意有根的一元二次方程.在具体运用时,公式法可以看作直接运用了配方的结果,显得比配方法简单,所以没有特别要求时,一般运用公式法求解.
6.解方程:2x2-5x=7.
【解析】原方程可化为2x2-5x-7=0,
∴a=2,b=-5,c=-7,
∴b2-4ac=(-5)2-4×2×(-7)=81,
∴x==.∴x1=-1,x2=.
一元二次方程根的判别式
1.(2013·白银中考)一元二次方程x2+x-2=0根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.无实数根 D.无法确定
【解析】选A.因为b2-4ac=12-4×1×(-2)=9>0,
所以这个方程有两个不相等的实数根.
2.(2013·上海中考)下列关于x的一元二次方程有实数根的是( )
A.x2+1=0 B.x2+x+1=0
C.x2-x+1=0 D.x2-x-1=0
【解析】选D.由x2+1=0移项得,x2=-1,所以选项A无实数根,由于(±1)2-4×1×1=-3<0,所以选项B,C均没有实数根,因为(-1)2-4×1×(-1)=5>0,所以选项D有实数根.
【知识归纳】1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),若a,c异号,则方程一定有两个不相等的实数根.
2.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当Δ=0时,方程的两个实根为-.
3.(2013·潍坊中考)已知关于x的方程kx2+(1-k)x-1=0,下列说法正确的是
( )
A.当k=0时,方程无解
B.当k=1时,方程有一个实数解
C.当k=-1时,方程有两个相等的实数解
D.当k≠0时,方程总有两个不相等的实数解
【解析】选C.当k=0时,原方程变形为x-1=0,解为x=1,选项A说法错误;当k=1时,原方程变形为x2-1=0,解为x=±1,选项B说法错误;当k=-1时,原方程变形为x2-2x+1=0,即(x-1)2=0,解为x1=x2=1,选项C说法正确;当k≠0时,Δ=b2-4ac =(1-k)2+4k=(1+k)2≥0,因此该方程有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根,选项D说法错误.
4.(2013·枣庄中考)若一元二次方程x2+2x+m=0有实数根,则m的取值范围是
( )
A.m≤-1 B.m≤1
C.m≤4 D.m≤
【解析】选B.因为一元二次方程有实数根,所以b2-4ac≥0,
所以4-4m≥0.解得m≤1.
5.已知关于x的一元二次方程x2+kx+1=0有两个相等的实数根,则k= .
【解析】∵一元二次方程x2+kx+1=0有两个相等的实数根,且b2-4ac=k2-4×1×1=k2-4,∴k2-4=0.所以k=±2.
答案:±2
6.关于x的一元二次方程x2+x=k2的根的情况是 .
【解析】因为b2-4ac=1+4k2,由于4k2≥0,所以b2-4ac>0.
所以一元二次方程x2+x-k2=0有两个不相等的实数根.
答案:有两个不相等的实数根
【易错提醒】用根的判别式判断方程的解求Δ时,没有把一元二次方程变成一般形式,系数易出现符号错误.
7.当t取什么值时,关于x的一元二次方程2x2+tx+2=0有两个相等的实数根?
【解析】∵一元二次方程2x2+tx+2=0的二次项系数a=2,一次项系数b=t,常数项c=2,∴Δ=t2-4×2×2=t2-16=0,
解得,t=±4,∴当t=4或t=-4时,原方程有两个相等的实数根.
【变式训练】当t取什么值时,关于x的一元二次方程2x2+tx+2=0.
(1)有两个不相等的实数根?
(2)没有实数根?
【解析】∵一元二次方程2x2+tx+2=0的二次项系数a=2,一次项系数b=t,常数项c=2,∴Δ=t2-4×2×2=t2-16.
(1)∵方程有两个不相等的实数根,∴t2-16>0,
解得:t>4,t<-4.
∴当t>4,t<-4时,原方程有两个不相等的实数根.
(2)∵方程没有实数根,∴t2-16<0,
解得:-4∴当-4【错在哪？】作业错例 课堂实拍
关于x的方程m2x2+(2m+1)x+1=0有两个实数根,求m的取值范围.
(1)找错:从第 步开始出现错误.
(2)纠错:___________________________________________________________
_______________________.
答案：(1)①
(2)因为关于x的方程有两个实数根，所以m2≠0，且(2m+1)2-4m2≥0,解得m≥-,且m≠0.所以当m≥-，且m≠0时，方程有两个实数根
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课时提升作业(四)
公 式 法
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.(2013·泰州中考)下列一元二次方程中,有两个不相等的实数根的方程是
( )
A.x2-3x+1=0 B.x2+1=0
C.x2-2x+1=0 D.x2+2x+3=0
【解析】选A.选项A中的b2-4ac>0,所以方程有两个不相等的实数根;选项B中的b2-4ac<0,所以方程没有实数根;选项C中的b2-4ac=0,所以方程有两个相等的实数根;选项D中的b2-4ac<0,所以方程没有实数根.
2.关于x的方程x2+mx-2m2=0的一个根为1,则m的值为( )
A.1 B. C.1或 D.1或-
【解析】选D.把x=1代入方程可得1+m-2m2=0,
∴2m2-m-1=0,m==,
解得m=1或-.
3.(2013·滨州中考)对于任意实数k,关于x的方程x2-2(k+1)x-k2+2k-1=0的根的情况为( )
A.有两个相等的实数根
B.没有实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法确定
【解题指南】解决本题的关键
(1)确定各项的系数.虽然本题含有x2,k2,由于是关于x的方程,我们只把x当作未知数,把k当作常量.对于本题,a=1,b=-2(k+1),c=-k2+2k-1.
(2)计算Δ,并与0相比较得到方程根的情况.
【解析】选C.∵b2-4ac=4(k+1)2-4×(-k2+2k-1)=8k2+8>0,∴这个方程有两个不相等的实数根.
【互动探究】把题干中的一次项系数换为“-2k”,常数项换为“2k-1”,判断关于x的方程的根的情况.
【解析】变化后的方程x2-2kx+(2k-1)=0,b2-4ac=4k2-4(2k-1)=4k2-8k+4=4(k-1)2≥0,
∴方程有两个不相等的实根或两个相等的实根.
【知识归纳】说明Δ的值与0的关系的方法
1.一元二次方程根的情况是由Δ的符号决定的,在判断一元二次方程根的情况时,只要判断出Δ的符号即可.
2.当方程系数中含有字母时,一般利用配方法将b2-4ac化为完全平方式或完全平方式加上(减去)一个常数的形式,利用平方的非负性,说明Δ的值与0的关系(有时还需要对字母进行讨论).
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.(2013·郴州中考)已知关于x的一元二次方程x2+bx+b-1=0有两个相等的实数根,则b的值是 .
【解析】因为一元二次方程有两个相等的实数根,所以b2-4(b-1)=0,
整理得,b2-4b+4=0,所以b=2.
答案:2
5.一元二次方程2x2-3x+1=0的解为 .
【解析】∵a=2,b=-3,c=1,
b2-4ac=(-3)2-4×2×1=1>0,
∴x===,
即x1=1,x2=.
答案:x1=1,x2=
6.关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2+3a-4=0有一个实数根是x=0.则a的值为 .
【解析】把x=0代入方程,得a2+3a-4=0,
所以a=,解得a1=-4,a2=1,当a=1时,方程不是一元二次方程,舍去,所以a=-4.
答案:-4
【易错提醒】在解决此类题目的过程中,容易忽视一元二次方程条件,漏掉二次项系数不为0.
【知识归纳】一元二次方程有实数根的条件
一元二次方程ax2+bx+c=0有实数根的条件是
三、解答题(共26分)
7.(8分)(2013·南充中考)关于x的一元二次方程为(m-1)x2-2mx+m+1=0.
(1)求出方程的根.
(2)m为何整数时,此方程的两个根都为正整数?
【解析】(1)根据题意,得m≠1.Δ=(-2m)2-4(m-1)(m+1)=4,
则x1=,x2=1.
(2)由(1)知,x1==1+,
∵方程的两个根都为正整数,∴是正整数,
∴m-1=1或m-1=2,解得m=2或3.
即m等于2或3时,此方程的两个根都为正整数.
8.(8分)在等腰△ABC中,三边分别为a,b,c,其中a=5,若关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根,求△ABC的周长.
【解析】∵关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根,
∴(b+2)2-4×1×(6-b)=0,
整理得:b2+8b-20=0,
解得:b1=2,b2=-10(舍去),
∵a=5,b=2,△ABC为等腰三角形,∴c=5,
∴△ABC的周长为:5+2+5=12.
【变式训练】已知a,b,c是△ABC的三边长,且方程a(1+x2)+2bx-c(1-x2)=0的两根相等,问△ABC是什么三角形?
【解析】由方程a(1+x2)+2bx-c(1-x2)=0,得a+ax2+2bx-c+cx2=0,整理得,
(a+c)x2+2bx+a-c=0,因为方程有两个相等的根,所以(2b)2-4(a+c)(a-c)
=4b2-4a2+4c2=4(b2-a2+c2)=0,即b2+c2=a2,所以该三角形是直角三角形.
【培优训练】
9.(10分)(2013·杭州中考)当x满足条件
时,求出方程x2-2x-4=0的根.
【解析】解x+1<3x-3得,x>2;
解(x-4)<(x-4)得,x<4.
所以2方程x2-2x-4=0,由于a=1,b=-2,c=-4,
b2-4ac=4+16=20,
∴x==1±,
∴x1=1+,x2=1-,
∵2<<3,而2∴x=1+.
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