课件18张PPT。21.2.1 配 方 法
第2课时1.配方法的定义
通过配成_________形式来解一元二次方程的方法.
2.配方法解一元二次方程的一般步骤
(1)二次项系数为1时.
①移项:使方程左边为_______、_______,右边为_______;
②配方:等号的两边都_________________________;完全平方二次项一次项常数项加上一次项系数一半的平方③直接开平方(降次);
④解_____________.
(2)二次项系数不为1时,先将方程的各项除以___________,
将二次项系数化为1.
3.方程(x+n)2=p的根的情况
(1)当p>0时,方程有_________的实数根,x1=_______,x2=______;
(2)当p=0时,方程有_________的实数根x1=x2=___;
(3)当p<0时,方程___实数根.一元一次方程二次项系数两个不等两个相等无-n【思维诊断】(打“√”或“×”)
1.用配方法解方程x2+2x=2,配方时,方程两边应同时加上1.( )
2.用配方法解方程x2+4x+1=0,经过配方得到(x+2)2=3.( )
3.代数式x2-4x配方后变形为(x-2)2.( )
4.方程2x2+8x=1配方时,等号的两边都需要加上16.( )
5.代数式x2-2x+ 的值一定是个非负数.( )
6.方程(x+3)2=0有一个实数根是-3.( )√√××√×知识点一 用配方法解一元二次方程
【示范题1】用配方法解一元二次方程:3x2-4x+1=0.
【思路点拨】用配方法解此方程,就是要把方程化为(x+h)2=k的形式.需先把二次项系数化为1,再配方.【自主解答】两边都除以3，得
移项，得
配方，得
所以【想一想】
当x为任意实数时,二次三项式x2-6x+c的值都不小于0,那么常数c满足的条件是什么?
提示:c≥9.因为x2-6x+c=(x2-6x+9)+c-9=(x-3)2+c-9,由于x为任意实数时,原式的值都不小于0,因此c-9≥0,所以c≥9.【微点拨】
1.二次项系数不是1时,为了便于配方,方程的两边一般都先除以二次项系数.
2.当二次项系数为1时,方程的两边都加上一次项系数一半的平方.
3.一次项系数的符号决定了左边的完全平方式中是两数差的平方还是和的平方.
4.方程解的情况,取决于p的值.【方法一点通】
用配方法解一元二次方程“五步法”
1.移项:使方程的左边为二次项和一次项,右边为常数.
2.化1:方程的两边同除以二次项系数,把二次项系数化为1.
3.配方:在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方,化成(x+m)2=n的形式.
4.开方:若n≥0,则两边直接开平方得到一元一次方程,若n<0,则原方程无解.
5.求解:解所得到的一元一次方程,得出原方程的解.知识点二 配方法的应用
【示范题2】用配方法求2y2-7y+2的最小值.
【教你解题】【想一想】
你能用配方法解方程(y-3)2-4(y-3)-45=0吗?你的思路是什么?请写出解题过程.
提示:能.思路是:把(y-3)看成一个整体,然后用配方法;解题过程:移项,得(y-3)2-4(y-3)=45,配方,得(y-3)2-4(y-3)+4=45+4,即[(y-3)-2]2=49,从而y-5=±7.解得:y1=12,y2=-2.【备选例题】(1)对于二次三项式x2-10x+36,小聪同学作出如下结论:无论x取什么实数,它的值都不可能等于11.你是否同意他的说法?说明你的理由.
(2)说明代数式-4x2+8x-5的值是正数还是负数,并求出该代数式的最大值或最小值.
(3)小明说,无论x取何实数,代数式x2+y2-10x+8y+42的值总是正数.你的看法如何?请谈谈你的理由.【解析】(1)不同意.∵x2-10x+36=(x-5)2+11;
当x=5时,x2-10x+36=(x-5)2+11=11.
(2)∵-4x2+8x-5=-4(x2-2x)-5=-4(x-1)2-1,
∵(x-1)2≥0,∴-4(x-1)2≤0,
∴-4(x-1)2-1<0.
即:代数式-4x2+8x-5的值是负数,
当x=1时,最大值为-1,无最小值.(3)小明的说法是正确的.此代数式总是正数.
∵x2+y2-10x+8y+42=x2+y2-10x+25+8y+16+1
=(x-5)2+(y+4)2+1;
无论x,y取何值,(x-5)2≥0,(y+4)2≥0,
故(x-5)2+(y+4)2+1≥1>0.
因此代数式的值总是正数.【方法一点通】
用配方法判断代数式最值的方法
把二次三项式配方成a(x+h)2+k的形式:
(1)当a<0时,该二次三项式有最大值k.
(2)当a>0时,该二次三项式有最小值k.温馨提示：
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提技能·题组训练
用配方法解一元二次方程
1.将二次三项式x2-8x+1配方后得( )
A.(x-4)2+15 B.(x-4)2-15
C.(x+4)2+15 D.(x+4)2-15
【解析】选B.∵x2-8x+1=x2-8x+16-16+1,
=(x2-8x+16)-15=(x-4)2-15.
【易错提醒】二次三项式配方时,加上一个数,忘记减去这个数.易和方程配方混淆.
2.将一元二次方程x2-6x-5=0化成(x+a)2=b的形式,则b=( )
A.-4 B.4 C.-14 D.14
【解析】选D.∵x2-6x-5=0,∴x2-6x=5,
∴x2-6x+9=5+9,
∴(x-3)2=14.∴b=14.
3.用适当的代数式填空:
(1)x2+4x+ =(x+ )2.
(2)x2-8x+ =(x- )2.
(3)x2+x+ =(x+ )2.
【解析】(1)x2+4x+4=(x+2)2.
(2)x2-8x+16=(x-4)2.
(3)x2+x+=.
答案:(1)4 2 (2)16 4 (3)
4.将方程x2-12x-13=0化为(x-m)2=n的形式,其中m,n是常数,则m+n= .
【解题指南】本题先配方,根据(x-m)2=n的形式,确定出m,n,然后求出m,n的和.
【解析】x2-12x-13=0,
移项得x2-12x=13,
配方得x2-12x+36=13+36,
(x-6)2=49,∴m=6,n=49,
∴m+n=6+49=55.
答案:55
5.(2013·漳州中考)解方程:x2-4x+1=0.
【解析】x2-4x =-1,
∴x2-4x+4=3,即(x-2)2=3,
∴x-2=±,
∴x1=2+,x2=2-.
6.(2013·山西中考)解方程:(2x-1)2=x(3x+2)-7.
【解析】原方程可化为:
4x2-4x+1=3x2+2x-7.
移项,得x2-6x+8=0,
配方,得(x-3)2=1,
所以x-3=±1,
所以x1=2,x2=4.
7.用配方法解方程:6x2-x-12=0.
【解析】移项得6x2-x=12,
方程两边都除以6,得x2-x=2,
配方,得x2-x+=2+,
即=,
所以x-=或x-=-,
解得x1=,x2=-.
配方法的应用
1.将代数式x2+6x+2化成(x+p)2+q的形式为( )
A.(x-3)2+11 B.(x+3)2-7
C.(x+3)2-11 D.(x+2)2+4
【解析】选B.x2+6x+2=x2+6x+32+2-32=(x+3)2-7.
2.对于任意实数x,代数式x2-6x+10的值是一个( )
A.非负数 B.正数
C.负数 D.整数
【解析】选B.x2-6x+10=x2-6x+9+1
=(x-3)2+1,∵(x-3)2≥0,
∴(x-3)2+1>0,
即代数式x2-6x+10的值是一个正数.
【知识归纳】方程的配方和代数式的配方的区别
(1)方程配方时,等号的两边都加上一个适当的数;代数式配方时,加上一个适当的数,还得减去这个数.(2)若方程的二次项系数不为1,方程的两边可以都除以二次项系数,再配方,而代数式则是先提出二次项的系数,再配方.
3.若x2+4x+y2-2y+5=0,则xy= .
【解析】∵x2+4x+y2-2y+5=x2+4x+4+y2-2y+1
=(x+2)2+(y-1)2=0,
∴x+2=0且y-1=0,
解得:x=-2,y=1,则xy=-2.
答案:-2
4.当x= 时,代数式-x2+4x-3取最大值,最大值是 .
【解析】∵-x2+4x-3=-(x2-4x+4)+1=-(x-2)2+1.
∴当x=2时,代数式-x2+4x-3取最大值,最大值是1.
答案:2 1
5.当y为何值时,代数式4y2-20y+25的值是0.
【解析】由题意得,4y2-20y+25=0,
配方得,(2y-5)2=0,
开方得,2y-5=0.
所以y1=y2=.
即当y=时,代数式4y2-20y+25的值是0.
【变式训练】(1)y为何值时,代数式4y2-20y+25的值是1?
(2)y为何值时,代数式4y2-20y+25的值与-16互为相反数?
【解析】(1)由题意得,4y2-20y+25=1,
配方得,(2y-5)2=1,
开方得,2y-5=±1.
当2y-5=1时,y=3,
当2y-5=-1时,
y=2即当y=3或2时,代数式4y2-20y+25的值是1.
(2)由题意得,4y2-20y+25=16,
配方得,(2y-5)2=16,
开方得,2y-5=±4.
当2y-5=4时,y=,
当2y-5=-4时,y=.
即当y=或时,代数式4y2-20y+25的值与-16互为相反数.
6.(2014·江宁一模)已知:二次三项式-x2-4x+5.证明:无论x取何值,此二次三项式的值都不大于9.
【证明】-x2-4x+5=-(x2+4x)+5=-(x2+4x+4-4)+5=-(x+2)2+9,
∵-(x+2)2≤0,∴-(x+2)2+9≤9,
即:-x2-4x+5≤9,
∴无论x取何值,此二次三项式的值都不大于9.
【错在哪？】作业错例 课堂实拍
用配方法解方程3x2-x-2=0.
(1)找错:从第 步开始出现错误.
(2)纠错: ___________________________________________________________
_________________________________________.
答案：(1)③
(2)配方,得x2-即开方,
得
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课时提升作业(三)
配 方 法(第2课时)
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.若方程9x2-(k+2)x+4=0的左边可以写成一个完全平方式,则k值为( )
A.10 B.10或14
C.-10或14 D.10或-14
【解析】选D.方程的左边9x2-(k+2)x+4变形为:(3x)2-(k+2)x+(±2)2,
∴-(k+2)x=2·3x·(±2)=±12x,即-(k+2)=12或-(k+2)=-12,解得:k=-14或k=10,则k的值为10或-14.
2.用配方法解方程3x2-6x+1=0,则方程可变形为( )
A.(x-3)2= B.3(x-1)2=
C.(3x-1)2=1 D.(x-1)2=
【解析】选D.原方程为3x2-6x+1=0,二次项系数化为1,得x2-2x=-,配方得x2-2x+1=-+1,所以(x-1)2=.
【易错提醒】二次项系数不为1时,在配方的过程中,等号的两边没有除以二次项系数,直接加上了一次项系数一半的平方.
【互动探究】若将题干中常数项1改为b,当b为何值时,方程能用配方法求解?
【解析】方程的两边都除以3得,x2-2x=-,配方得,x2-2x+1=1-,
即(x-1)2=,当3-b≥0时,即b≤3,方程有解.
当b≤3时,方程能用配方法求解.
3.(2014·余姚模拟)已知实数x,y满足+y2-4y+4=0,则x-y等于( )
A.3 B.0 C.1 D.-1
【解题指南】本题涉及的三个重要关系
1.算术平方根的非负性,即≥0;
2.平方式的非负性,即(y-2)2≥0;
3.非负数的和为0.
【解析】选B.+y2-4y+4=+(y-2)2=0,
∵≥0,(y-2)2≥0,
∴=0,(y-2)2=0,
即x-2=0,y-2=0,所以x=y=2,所以x-y=2-2=0.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.(2013·六盘水中考)无论x取任何实数,代数式都有意义,则m的取值范围为 .
【解析】由题意,得x2-6x+m≥0,即(x-3)2-9+m≥0,
则(x-3)2≥9-m.
∵(x-3)2≥0,∴9-m≤0,∴m≥9.
答案:m≥9
【变式训练】(1)若x2-6x+n2是一个完全平方式,则n的值是多少?
(2)若x2-bx+9是一个完全平方式,则b的值是多少?
(3)若ax2-6x+1是一个完全平方式,则a的值是多少?
【解析】(1)x2-6x+n2是一个完全平方式,即x2-6x+n2=(x-3)2,所以n2=9,n=±3.
(2)x2-bx+9是一个完全平方式,
即x2-bx+9=(x±3)2,
所以-b=2×(±3),b=±6.
(3)ax2-6x+1是一个完全平方式,ax2-6x+1=(3x-1)2,所以a=32=9.
5.一个四边形四条边顺次为a,b,c,d且a2+b2+c2+d2=2ac+2bd,则这个四边形是 .
【解析】a2+b2+c2+d2=2ac+2bd,
(a2-2ac+c2)+(b2-2bd+d2)=0,
(a-c)2+(b-d)2=0,
∴a-c=0,b-d=0,
∴a=c,b=d.
∴四边形是平行四边形,
答案:平行四边形
6.2x2-x+3的最小值为 .
【解析】2x2-x+3=2+3
=2+3-2×
=2+3-
=2+2.
∵≥0,
∴2+2≥2,
即2x2-x+3的最小值为2=.
答案:
三、解答题(共26分)
7.(8分)(2013·自贡中考)用配方法解关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0.
【解析】∵a≠0,
∴x2+x+=-+,
∴=.
当b2-4ac≥0时,x+=±,
∴x1=,x2=.
当b2-4ac<0时,方程无实数根.
8.(8分)(2014·大兴一模)证明:不论x取何实数,多项式-2x4+12x3-18x2的值都不会是正数.
【证明】原式=-2x2(x2-6x+9)
=-2x2(x-3)2.
∵-2x2≤0,(x-3)2≥0,
∴-2x2(x-3)2≤0.
∴不论x取何实数,原式的值都不会是正数.
【培优训练】
9.(10分)(2013·达州中考)选取二次三项式ax2+bx+c(a≠0)中的两项,配成完全平方式的过程叫配方.例如
①选取二次项和一次项配方:x2-4x+2=(x-2)2-2;
②选取二次项和常数项配方:x2-4x+2=(x-)2+(2-4)x,或x2-4x+2=(x+)2-(4+2)x;
③选取一次项和常数项配方:x2-4x+2=(x-)2-x2.
根据上述材料,解决下面问题:
(1)写出x2-8x+4的两种不同形式的配方.
(2)已知x2+y2+xy-3y+3=0,求xy的值.
【解析】(1)x2-8x+4=x2-8x+16-16+4
=(x-4)2-12;
x2-8x+4=(x-2)2+4x-8x=(x-2)2-4x.
(2)x2+y2+xy-3y+3=0,
+(y-2)2=0,
x+y=0,y-2=0,
x=-1,y=2,
则xy=(-1)2=1.
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