课件18张PPT。21.2 解一元二次方程
21.2.1 配 方 法
第1课时1.降次的思想
“降次”,实质上是把一元二次方程转化为两个_________方程来解决.一元一次2.方程x2=p的根的情况
(1)当p>0时,根据平方根的定义,方程有_________的实数
根,x1=_____,x2=____;
(2)当p=0时,方程有_________的实数根,x1=x2=__;
(3)当p<0时,因为任意实数x,都有x2___0,所以方程___实数根.两个不等两个相等0≥无3.方程(mx+n)2=p的情况
形如(mx+n)2=p(p≥0)的一元二次方程,两边直接开平方得mx+n
=_____,移项得:mx=_______,系数化为1得,________.【思维诊断】(打“√”或“×”)
1.方程x2=22的解是x=2.( )
2.方程x2=9的解是x=±3.( )
3.方程(x-1)2=4的解是3和-1.( )
4.方程(x-2)2=-3能用直接开平方法求解.( )
5.方程x2-2x+1=3能用直接开平方法求解.( )
6.方程x2=a有两个不相等的实数根.( )×√√×√×知识点一 用求平方根的方法解一元二次方程
【示范题1】求下列一元二次方程的解:
(1)64x2=49. (2)9x2-25=0. (3)16(x-2)2=25.
【思路点拨】先把方程适当变形,变为x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)的形式,利用平方根的意义,求出方程的解.【自主解答】(1)两边同除以64,得x2=
根据平方根的意义,得x=± ,所以x1= ,x2=- .
(2)移项得9x2=25,两边同除以9,得x2=
根据平方根的意义,得x=± ,所以x1= ,x2=- .
(3)两边同除以16,得(x-2)2= ,根据平方根的意义,
得x-2=± ,所以x-2= ,x-2=- ,所以【想一想】
一元二次方程ax2=b在什么情况下有解?说明ax2=b解的情况.
提示:当a,b同号或者b为0时方程有解.当a,b同号时,x2= ,
x= ;当a,b异号时, <0,由于任何数的平方都是非负数,
此时方程无解;当b=0时,x2=0,x1=x2=0.【微点拨】
1.形如x2=p或(mx+n)2=p的一元二次方程,只有当p≥0时,才有解.
2.一元二次方程x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)总有两个根.【方法一点通】
用求平方根的方法解一元二次方程的一般步骤
1.把方程适当变形,变为x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)的形式.
2.方程的两边开平方.
3.求出方程的解.知识点二 变形后用直接开平方法解一元二次方程
【示范题2】解下列方程:(1)x2+2x+1=3.(2)4y2-12y+9=16.【教你解题】【想一想】
两边都含有未知数的方程,例如:(2x-3)2=(3x-2)2怎么求解?
提示:用直接开平方法求解.(2x-3)2=(3x-2)2,两边开平方得2x-3=±(3x-2),解得x1=-1,x2=1.【备选例题】(1)方程m2-4m+4=5的根是什么?
(2)方程16x2+24x+9=25的两个根具有什么样的关系?
【解析】(1)m2-4m+4=5,得m-2=± ,即m=2± ,所以
m1=2+ ,m2=2- .
答:方程m2-4m+4=5的根是m1=2+ ,m2=2- .
(2)16x2+24x+9=25,得4x+3=±5,即x= ,所以x1= ,x2=-2.
由于 ×(-2)=-1,所以方程16x2+24x+9=25的两个根互为负倒数.【方法一点通】
直接开平方法解一元二次方程“三步法”温馨提示：
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提技能·题组训练
用求平方根的方法解一元二次方程
1.方程x2=16的解是( )
A.x=±4 B.x=4 C.x=-4 D.x=16
【解析】选A.根据平方根的意义,得x=±4.
2.方程y2=(-5)2的解是( )
A.y=5 B.y=-5 C.y=±5 D.y=±
【解析】选C.由y2=(-5)2,得y2=25,根据平方根的定义,得y=±5.
【易错提醒】由于方程左右两边的形式相同,容易出现y=-5,遗漏y=5的情况.
3.方程(x-2)2=9的解是( )
A.x1=5,x2=-1 B.x1=-5,x2=1
C.x1=11,x2=-7 D.x1=-11,x2=7
【解析】选A.两边开平方得,x-2=±3,解得x1=5,x2=-1.
【一题多解】解答此类题目,亦可用代入验证的办法.把x=5代入方程,(5-2)2=9;把x=-1代入方程,(-1-2)2=9.所以方程(x-2)2=9的解是5和-1.
4.若方程x2=m的解是有理数,则实数m不能取下列四个数中的( )
A.1 B.4 C. D.
【解析】选D.解方程x2=m,得x=±;∵方程x2=m的解是有理数,∴m是完全平方数,所以1,4,都满足方程的解为有理数,符合要求.
5.方程(x-1)2-2=0的根是 .
【解析】方程(x-1)2-2=0,变形得:(x-1)2=2,解得:x=1±.
答案:x=1±
6.一元二次方程2x2-6=0的解为 .
【解析】移项得2x2=6,系数化为1得x2=3,根据平方根的意义,得x=±.
答案:±
7.解一元二次方程(2x-1)2-16=0.
【解析】移项,得(2x-1)2=16,
直接开平方,得2x-1=±4,解得x1=,x2=-.
变形后用直接开平方法解一元二次方程
1.一元二次方程x2-x+=0的根是( )
A.x1=,x2=- B.x1=2,x2=-2
C.x1=x2=- D.x1=x2=
【解析】选D.原方程可化为=0,根据平方根的意义,得x1=x2=.
2.一元二次方程9x2-6x+1=4的解是( )
A.x1=1,x2=-2 B.x1=-,x2=2
C.x1=1,x2=- D.x1=-1,x2=
【解题指南】解答本题的三个步骤:
①把方程化为左平方,右常数的形式;
②两边开平方等号右边取正负;
③得到两个方程,并分别求出它们的解.
【解析】选C.原方程可化为:(3x-1)2=4,直接开平方得:
3x-1=±2,即3x-1=2或者3x-1=-2,
解得:x1=1,x2=-.
3.方程x2-8x+16=3的解是 .
【解析】原方程可化为(x-4)2=3,根据平方根的意义,得x-4=±,所以x1=4+,x2=4-.
答案:x1=4+,x2=4-
4.当a为何值时,代数式9a2-24a+16的值是0.
【解析】由题意:9a2-24a+16=0,即(3a-4)2=0,
所以3a-4=0,所以a1=a2=.
5.解下列方程:
(1)x2-4x+4=7. (2)9x2+12x+4=9.
【解析】(1)原方程可化为(x-2)2=7,根据平方根的意义,
得x-2=±,所以x1=2+,x2=2-.
(2)原方程可化为(3x+2)2=9,根据平方根的意义,得3x+2=±3,所以x1=,x2=-.
【知识归纳】可以用直接开平方法求解的方程的特点
如果一个一元二次方程的左边可以化为含有未知数的完全平方式,而右边是一个非负数的形式,根据平方根的定义,可以用直接开平方法求解.
6.用恰当的方法解方程.(3x-2)2=(x+4)2
【解析】根据平方根的意义,得:3x-2=x+4或3x-2=-(x+4),
解得:x1=3,x2=-.
【错在哪？】作业错例 课堂实拍
解方程16y2-40y+25=72.
(1)找错:从第 步开始出现错误.
(2)纠错:___________________________________.
答案：(1)②
(2)4y-5=±7,即4y=5±7.所以y1=3，y2=-
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课时提升作业(二)
配 方 法(第1课时)
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.(2013·威海中考)已知关于x的一元二次方程(x+1)2-m=0有两个实数根,则m的取值范围是( )
A.m≥- B.m≥0
C.m≥1 D.m≥2
【解析】选B.(x+1)2-m=0,(x+1)2=m,
∵一元二次方程(x+1)2-m=0有两个实数根,∴m≥0.
【易错警示】解答含有字母系数的形如a(x+1)2-m=0的一元二次方程,常常忘记考虑a,m的情况,直接开平方求出根.
【互动探究】若将题目变为:(1)求当m≥0时,关于x的一元二次方程(x+1)2-m=0的解的情况?
(2)求当m<0时,关于x的一元二次方程(x+1)2-m=0的解的情况?
【解析】(1)移项得,(x+1)2=m,由于m≥0,所以x+1=±,x=-1±.此时方程有两个实数根.
(2)移项得,(x+1)2=m,由于m<0,任何实数的平方都不为负数,所以此时方程没有实数解.
2.(2013·丽水中考)一元二次方程(x+6)2=16可转化为两个一元一次方程,其中一个一元一次方程是x+6=4,则另一个一元一次方程是( )
A.x-6=-4 B.x-6=4
C.x+6=4 D.x+6=-4
【解析】选D.(x+6)2=16,两边直接开平方得:x+6=±4,则:x+6=4,x+6=-4.
3.若一元二次方程a(x-b)2=7的两根为±,其中a,b为两常数,则a+b的值为( )
A. B. C.3 D.5
【解题指南】解答本题的三个关键
1.用直接开平方法求出一元二次方程的两个根.
2.根据给出的和解出的根的情况,确定出a,b.
3.计算出a,b的和.
【解析】选B.a(x-b)2=7,两边同时除以a得(x-b)2=,两边直接开平方可得x-b=±,则x=b±,因为两根为±,
∴a=4,b=,∴a+b=4=.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.如果x=4是一元二次方程x2-3x=a2的一个根,那么常数a的值是 .
【解析】把x=4代入x2-3x=a2,
得42-3×4=a2,
即a2=4,所以a=±2.
答案:±2
5.如果方程2(x-3)2=72,那么,这个一元二次方程的两根是 .
【解析】两边除以2得(x-3)2=36,开平方得x-3=±6,
即x=3±6,解得:x1=9,x2=-3.
答案:x1=9,x2=-3
6.在实数范围内定义一种运算“﹡”,其规则为a﹡b=a2-b2,根据这个规则,求方程(x-2)﹡1=0的解为 .
【解题指南】解决本题需要下面三个步骤
1.清楚规则运算的意义.
2.根据运算顺序,得到一元二次方程.
3.求出一元二次方程的解.
【解析】∵a﹡b=a2-b2,∴(x-2)﹡1=(x-2)2-12,
解方程(x-2)2-12=0,即(x-2)2=1,
∴x-2=±1,∴x1=1,x2=3.
答案:x1=1,x2=3
三、解答题(共26分)
7.(8分)解下列方程:
(1)(x+)(x-)=20.
(2)3(x-5)2-75=0.
【解析】(1)x2-5=20,x2=25,解得x=±5,
所以x1=5,x2=-5.
(2)移项得3(x-5)2=75,
∴(x-5)2=25,∴x-5=5或x-5=-5.
解得x1=10,x2=0.
8.(8分)已知一元二次方程x2-4x+1+m=5请你选取一个适当的m的值,使方程能用直接开平方法求解,并解这个方程.
(1)你选的m的值是 .
(2)解这个方程.
【解析】(1)8(答案不唯一)
(2)当m=8时,方程为x2-4x+1+8=5,
即x2-4x+4=0,(x-2)2=0,
开方得x-2=0,即x1=x2=2.
【培优训练】
9.(10分)如图所示,正方形ABCD的面积为48cm2,正方形EFGH与正方形ABCD有同一个中心,且BC∥EF,若阴影面积是正方形ABCD面积的一半,求小正方形EFGH的边长x为多少cm?
【解析】大正方形面积为48cm2,小正方形面积为x2cm2.
阴影面积为24cm2,即48-x2=24.
所以x2=24,解得x1=2,x2=-2(舍去).
所以x=2,即小正方形EFGH的边长为2cm.
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