5.1.1 任意角 课件（共38张PPT）

(共38张PPT)
5.1.1 任意角
1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角.
2.理解象限角的概念.（重点）
3.理解并掌握终边相同的角的概念，能熟练写出终边相同的角所组成的集合.（重点、难点）
学习目标
1
自主学习
一. 任意角
1.角的概念：
角可以看成平面内一条 绕着它的端点 所成的 .
2.角的表示：
如图所示：角α可记为“α”或“∠α”或“∠AOB”，始边： ，终边： ，顶点 .
射线
旋转
图形
OA
OB
O
名称 定义 图示
正角 一条射线绕其端点按 方向旋转形成的角
负角 一条射线绕其端点按 方向旋转形成的角
零角 一条射线 做任何旋转形成的角
3.角的分类：
逆时针
顺时针
没有
二.　角的加法与减法
设α，β是任意两个角， 为角α的相反角.
(1)α＋β：把角α的 旋转角β.
(2)α－β：α－β＝ .
－α
终边
α＋(－β)
三.　象限角
把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与 重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的 在第几象限，就说这个角是第几_______；如果角的终边在 ，就认为这个角不属于任何一个象限.
原点
终边
象限角
坐标轴上
思考　“锐角”“第一象限角”“小于90°的角”三者有何不同？
答案　锐角是第一象限角也是小于90°的角，而第一象限角可以是锐角，也可以是大于360°的角，还可以是负角，小于90°的角可以是锐角，也可以是零角或负角.
四.　终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝___________
______________，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.
k·360°，k∈Z}
{β|β＝α＋
思考　终边相同的角相等吗？相等的角终边相同吗？
答案　终边相同的角不一定相等，它们相差360°的整数倍；相等的角终边相同.
1.第二象限角是钝角.(　　)
2.终边与始边重合的角为零角.(　　)
3.终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍.(　　)
×
√
×
小试牛刀
2
经典例题
例1　 (多选)下列说法，不正确的是
A.三角形的内角必是第一、二象限角
B.始边相同而终边不同的角一定不相等
C.钝角比第三象限角小
D.小于180°的角是钝角、直角或锐角
题型一 任意角的概念
√
解析　A中90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故A不正确；
B中始边相同而终边不同的角一定不相等，故B正确；
C中钝角是大于－100°的角，而－100°的角是第三象限角，故C不正确；
D中零角或负角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故D不正确.
√
√
总结：理解与角的概念有关问题的关键
正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可.
跟踪训练　经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是
A.60°，720° B.－60°，－720°
C.－30°，－360° D.－60°，720°
√
解析　钟表的时针和分针都是顺时针旋转，因此转过的角度都是负的，
故钟表的时针和分针转过的角度分别是－60°，－720°.
例2　在0°~360°范围内，找出与-950°12′角终边相同的角，并判定它是第几象限角。
题型二 终边相同角的表示
解　
总结：终边相同的角的表示
(1)终边相同的角都可以表示成α＋k·360°(k∈Z)的形式.
(2)终边相同的角相差360°的整数倍.
例3　写出终边在y轴上的角的集合。
例4　写出终边在直线y=x上的角的集合S.S中满足不等式-360°≤β<720°的元素β有哪些？
解析　答案见课本P171页例3
跟踪训练　(1)若角2α与240°角的终边相同，则α等于
A.120°＋k·360°，k∈Z B.120°＋k·180°，k∈Z
C.240°＋k·360°，k∈Z D.240°＋k·180°，k∈Z
√
解析　角2α与240°角的终边相同，
则2α＝240°＋k·360°，k∈Z，
则α＝120°＋k·180°，k∈Z.
(2)下列角的终边与37°角的终边在同一直线上的是
A.－37° B.143° C.379° D.－143°
√
解析　与37°角的终边在同一直线上的角可表示为37°＋k·180°，k∈Z，当k＝－1时，37°－180°＝－143°.
题型三 象限角及区域角的表示
例5　(1)(多选)下列四个角为第二象限角的是
A.－200° B.100° C.220° D.420°
解析　－200°＝－360°＋160°，在0°～360°范围内，与－200°终边相同的角为160°，它是第二象限角，
同理100°为第二象限角，
220°为第三象限角，
420°为第一象限角.
√
√
(2)如图所示.
解　终边落在射线OA上的角的集合是
{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}.
终边落在射线OB上的角的集合是
{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}.
①写出终边落在射线OA，OB上的角的集合；
②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.
解　终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是
{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}.
(1)象限角的判定方法
①根据图象判定.利用图象实际操作时，依据是终边相同的角的思想，因为0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系.
②将角转化到0°～360°范围内.在直角坐标平面内，在0°～360°之间没有两个角终边是相同的.
(2)表示区域角的三个步骤
第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界.
第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合.
跟踪训练 　已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角α的取值范围.
解　终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为S1＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}，
终边在180°－75°＝105°角的终边所在直线上的角的集合为S2＝{α|α＝105°＋k·180°，k∈Z}，
因此，终边在图中阴影部分内的角α的取值范围为{α|30°＋k·180°≤α< 105°＋k·180°，k∈Z}.
探究： 确定nα及 所在的象限
已知α是第二象限角：
(1)求角 所在的象限；
解　方法一　∵α是第二象限角，
∴k·360°＋90°<α方法二　如图，先将各象限分成2等份，再从x轴正半轴的上方起，按逆时针方向，依次将各区域标上一、二、三、四，
(2)求角2α所在的象限.
解　∵k·360°＋90°<α∴k·720°＋180°<2α∴角2α的终边在第三或第四象限或在y轴的非正半轴上.
3
当堂达标
1.与－30°终边相同的角是
A.－330° B.150° C.30° D.330°
√
解析　因为所有与－30°终边相同的角都可以表示为α＝k·360°＋(－30°)，k∈Z，取k＝1，得α＝330°.
2.(多选)下列四个角中，属于第二象限角的是
A.160° B.480° C.－960° D.1 530°
√
解析　160°是第二象限角；
480°＝120°＋360°是第二象限角；
－960°＝－3×360°＋120°是第二象限角；
1 530°＝4×360°＋90°不是第二象限角.
√
√
3.与－460°角终边相同的角可以表示成
A.460°＋k·360°，k∈Z B.100°＋k·360°，k∈Z
C.260°＋k·360°，k∈Z D.－260°＋k·360°，k∈Z
√
解析　因为－460°＝260°＋(－2)×360°，
故与－460°角终边相同的角可以表示成260°＋k·360°，k∈Z.
4.在0°～360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为____________.
解析　与角－60°的终边在同一条直线上的角可表示为β＝－60°＋k·180°，k∈Z.
∵所求角在0°～360°范围内，
∴0°≤－60°＋k·180°≤360°，
120°，300°
∴k＝1或2，
当k＝1时，β＝120°，当k＝2时，β＝300°.
5.已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是_________________________________________.
{α|k·360°＋45°<α解析　观察图形可知，角α的集合是
{α|k·360°＋45°<α1.(1)任意角的概念.
(2)终边相同的角.
(3)象限角、区域角的表示.
2.方法归纳：数形结合、分类讨论.
3.常见误区：锐角与小于90°角的区别，终边相同角的表示中漏掉k∈Z.
课堂小结
课堂作业
作业：完成对应练习