第21章 一元二次方程解实际问题的九种常见应用练习（含答案）

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学习了一元二次方程的解法以后，就会经常遇到解决与一元二次方程有关的生活中的应用问题，即列一元二次方程解应用题，不少同学遇到这类问题总是左右为难，难以下笔，事实上，同学们只要能认真地阅读题目，分析题意，并能学会分解题目，各个击破，从而找到已知的条件和所求问题，必要时可通过画图、列表等方法来帮助我们理顺已知与未知之间的关系，找到一个或几个相等的式子，从而就能列出方程求解，同时还要及时地检验答案的正确性并作答.现就列一元二次方程解应用题中遇到的常见的九大典型题目，举例说明.
应用1 增长率问题
1.为学习宣传贯彻党的“二十大”精神，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育学习活动，某市“红二方面军长征出发地纪念馆”成为重要的活动基地.据了解，2023年1月份该基地接待参观人员10万人，3月份接待参观人员增加到12.1万人.
(1)求这两个月参观人数的月平均增长率；
(2)按照这个增长率，预计4月份的参观人员有多少万人
应用2 销售问题
2.列方程(组)解应用题.
端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：
小王：该水果的进价是每千克22元；
小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克.
根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3 640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元.
应用3 储蓄问题
3.王红梅同学将 1 000 元压岁钱第一次按一年定期存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率(不计利息税).
应用4数字问题
4.在某月月历表上可以用一个方框圈出四个数(如图所示)，若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为 65 ，求这个最小数.
日 一 二 三 四 五 六
1 2 3 4 5 6 7
8 15 9 10 17 11 18 12 19 13 20 14 21
16
22 23 24 25 26 27 28
29 30 31
应用5古诗问题
5.【跨学科题】读诗词解题：(通过列方程，算出周瑜去世时的年龄)
大江东去浪淘尽，千古风流数人物；
而立之年督东吴，早逝英年两位数；
十位恰小个位三，个位平方与寿符；
哪位学子算得快，多少年华属周瑜
应用6 循环问题
6.如果某班共有48名同学，若每两名同学之间都通过一次电话，那么全班同学共通过多少次电话呢 我们可以用下面的方式来解决问题.用点A 、A 、A 、…、A 分别表示第1名同学、第2名同学、第3名同学、…、第48名同学，把该班级人数x与通电话次数y之间的关系用如图模型表示：
(2)通过探索发现，通电话次数y与该班级人数 x之间的关系为 ,当x=48时,对应的y= .
(3)若九年级1班全体女生相互之间共通话190次，则该班共有多少名女生
应用7 情境问题
7.为丰富学生的学习生活，某校九年级组织学生参加春游活动，所联系的旅行社收费标准如图所示：
应用8几何问题
8. 今年某县在老旧小区改造方面取得了巨大成就，人居环境得到了很大改善，某小区规划在长16m，宽9m的矩形场地ABCD上，修建同样宽的小路，使其中的小路分别与 AB和AD平行，其余部分种草.如果使草坪的总面积为112m ，设小路宽为xm.如图所示，施工人员设计了两种方案，请你通过计算帮助选择一种数据准确且更容易测量和实施的方案.
应用9函数问题
9.某博物馆每周都吸引大量中外游客前来参观.如果游客过多，对馆中的珍贵文物会产生不利影响，因此博物馆采取了提高门票价格的方法来控制参观人数，在该方法的实施过程中发现：每周参观人数y(人)与票价x(元)之间存在着如图所示的一次函数关系，在这种情况下，如果要保证每周4万元的门票收入，那么每周应限定参观人数为多少 门票价格应是多少
1.【解】(1)设这两个月参观人数的月平均增长率为x，依题意，得 10(1+x) =12.1,
解得 x =0.1=10% ,x = -2.1((不合题意，舍去).
答：这两个月参观人数的月平均增长率为 10%.
(2)12.1×(1+10% )=13.31(万人).
答：预计4月份的参观人员有13.31万人.
2.【解】设每千克降低x元，超市每天可获得销售利润3 640元,由题意得,
整理，得x -12x+27=0,
∴x=3或x=9.
∵要尽可能让顾客得到实惠，∴x=9，
∴销售价为每千克38-9=29(元).
答：这种水果的销售价为每千克 29元.
3.【解】设第一次存款时的年利率为x.
根据题意,得[1 000(1+x)-500](1+0.9x) =530.
整理，得90x +145x-3=0.
解得 x ≈0.0204=2.04% ,x ≈-1.63( (舍去).
答：第一次存款时的年利率约是2.04%.
4.【解】设这个最小数为x，则最大数为x+8，依题意,得x(x+8)=65,整理,得 x +8x-65=0,解得x =5,x = -13((不合题意，舍去).
答：这个最小数为5.
点方法月历表中上下相邻两数相差7，左右相邻两数相差1；任意方框所圈四个数，最大数与最小数相差8.
5.【解】设周瑜去世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x-3.
根据题意，得x =10(x-3) +x.
即x -11x+30=0, 解这个方程,得x=5或x=6.当x=5时，周瑜去世时的年龄为25岁，不合题意，舍去；当x=6时，周瑜去世时的年龄为36岁，符合题意.答：周瑜去世时的年龄为36岁.
6.【解】(1)10;15
(3)设该班共有a名女生.依题意，得 化简，得a -a-380=0,
解得 a =20,a =-19( (不合题意，舍去).
答：该班共有20名女生.
7.【解】∵25人的费用为2500元<2 800元,∴参加这次春游活动的人数超过25人，设该班参加这次春游活动的人数为x人，根据题意,得[100-2(x-25)]x=2 800,整理，得x -75x+1 400=0, 解得x =40,x =35,当x=40时,100-2(x-25)=70<75, ，不合题意，舍去；当x=35时,100-2(x-25)=80>75,答：该班共有35人参加这次春游活动.
8.【解】方案一：设小路宽为xm，
由题意得16x+9x-x =16×9-112,
整理得x -25x+32=0,
解得
或 (舍去),
方案二：设小路宽为xm，
由题意得16x+2×9x-2x =16×9-112,
整理得x -17x+16=0, 解得x=1或x=16(舍去),
∴方案二的小路宽为1m，
∴为了数据准确且更容易测量和实施，应该选择方案二.
9.【解】设每周参观人数y(人)与票价x(元)之间的一次函数解析式为y=kx+b(x>0),
根据题意，得 解得
∴y=-500x+12 000(x>0).
∵xy=40 000,即x(-500x+12 000)=40 000,
∴x -24x+80=0,解得. x =20,x =4.
当x=20时,y=-500x+12 000 = 2 000,
当x=4时,y=-500x+12 000 =10 000.
∵要控制参观人数，
∴取x=20,此时,y=2000.
答：每周应限定参观人数为2000人，门票价格应是20元.