第21章 一元二次方程全章热门考点整合应用（含答案）

一元二次方程全章热门考点整合应用
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考点1 两个概念
概念1 一元二次方程
1.当m取何值时，方程( 是关于x的一元二次方程
概念2 一元二次方程的根
2. 若关于x的一元二次方程 mx +nx-1=0(m≠0) 的一个解是x=1，则 m+n的值是 .
考点2 一个解法———一元二次方程的解法
3.解下列方程：
(1)(x-1) +2x(x-1)=0;
(2)(10+x)(50-x)=800;
(3)x -6x-6=0;
(4)(2x-1) =x(3x+2)-7.
考点3 两个关系
关系1一元二次方程根的判别式与系数的关系
4. 一元二次方程x -3x+1 =0的根的情况是( )
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
5. 关于x的一元二次方程 x +4x-m=0有两个实数根，则实数m的取值范围为( )
A. m<4 B. m> -4
C. m≤4 D.m≥-4
关系2 一元二次方程的根与系数的关系
6.已知关于x的一元二次方程 x -2(a-1)x+ a -a-2=0 有两个不相等的实数根x ，x .
(1)若a为正整数，求a的值；
(2)若x ,x 满足 求a的值.
7. 已知关于x的一元二次方程
(1)求证：无论 k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根x ，x 满足x -x =3,求k的值.
考点4 两个应用
应用1 一元二次方程的应用
8. 建设美丽城市，改造老旧小区.某市2019年投入资金1000 万元,2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同.
(1)求该市改造老旧小区投入资金的年增长率；
(2)2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元.2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加 15%.如果投入资金年增长率保持不变，求该市在 2022年最多可以改造多少个老旧小区.
应用2 配方法的应用
9. 阅读下面材料.
我们知道 x +6x+9 可以分解因式，结果为(x+3) , 其实 x +6x+8 也可以通过配方法分解因式，其过程如下：
x +6x+8=x +6x+9-9+8
=(x+3) -1
=(x+3+1)(x+3-1)
=(x+4)(x+2).
(1)请仿照上述过程填空：
x +4x-5=[x+( )][x+( )];
(2)请观察(1)中横线上所填的数，每道题所填的两个数与一次项系数、常数项有什么关系
考点5 三种思想
思想1 整体思想
10.已知x=a是 2x +x-2=0 的一个根，求代数式 2a +a +2a +2a+1 的值.
思想2 转化思想
11.解方程:(2x+1) -3(2x+1)= -2.
思想3分类讨论思想
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1.【解】当m + 1 =2 且m-1≠0时,方程(m- 是关于x的一元二次方程.
由m +1=2, 得m =1, 所以m=±1.
由m-1≠0,得m≠1,所以m= -1.
所以当m= -1时,方程 是关于x的一元二次方程.
⑤点方法要准确理解一元二次方程的概念，需从次数和系数两方面考虑.
2.1 【点拨】将 x=1代入方程,得m+n-1 =0,故 m+n=1.
3.【解】(1)(x-1) +2x(x-1)=0,
(x-1)(x-1+2x)=0,
(x-1)(3x-1)=0,
(2)(10+x)(50-x) =800,
x -40x+300=0,
(x-10)(x-30)=0,∴x =10,x =30.
(3)x -6x-6=0,
x -6x=6,
x -6x+9=15,
(4)(2x-1) =x(3x+2)-7,
4x -4x+1=3x +2x-7,
x -6x+8=0,
(x-2)(x-4)=0,∴x =2,x =4.
6.【解】(1)∵关于x的一元二次方程 x -2(a-1)x+ a -a-2=0 有两个不相等的实数根，
∴Δ=[-2(a-1)] -4(a -a-2)>0, 解得a<3.
∵a为正整数,∴a=1或2.
∴(x +x ) -3x x =16,
∵x +x =2(a-1),x x =a -a-2,
∴[2(a-1)] -3(a -a-2)=16,
解得 a = -1,a =6.
∵a<3,∴ a= -1.
7.(1)【证明】∵Δ = [ - ( 2k+1)] -4 ×1× 2(k+1) +7>0,
∴无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根.
(2)【解】由根与系数的关系得x +x =2k+1,
∵x -x =3,∴(x -x ) =9.
∴(x +x ) -4x x =9.
化简得k +2k=0, 解得k=0或k= -2.
8.【解】(1)设该市改造老旧小区投入资金的年增长14
率为x，依题意，得1000(1 +x) =1 440,解得x =0.2=20%,x =-2.2(不合题意,舍去).
答：该市改造老旧小区投入资金的年增长率为20%.
(2)设该市在 2022年可以改造 y个老旧小区，依题意,得80×(1+15%)y≤1 440×(1+20%),解得 又∵y为整数,∴y的最大值为 18.
答：该市在 2022年最多可以改造18个老旧小区.
9.【解】(1)-1;5;-2;-3;1;-9
(2)所填的两个数的和等于一次项系数，积等于常数项.
10. 【解】∵x=a.是 2x +x-2=0 的一个根，
∴2a +a-2=0, 即2a +a=2.
∴原式=a (2a +a)+2a +2a+1=2a +2a +2a+1=2(2a +a) +1=5.
【点拨】将x=a代入 2x +x-2=0 中，再对等式变形，利用整体代入法求代数式的值.
11.【解】设2x+1=y,则原方程可化为 y -3y= -2.解得 y =1,y =2.
当y=1时,有2x+1=1,所以x=0;
当y=2时,有2x+1=2,所以.
所以原方程的解为
点方法利用转化思想将复杂的一元二次方程转化为简单的一元二次方程来求解.
12.【解】(1)由题意得Δ=4(a-1) -4(a -7a-4)=20a+20≥0,∴a≥-1.
(2)若 则(x (x -x )=0,
故 x =0 或x =x .
当x =0时，代入原方程得a -7a-4=0, 解得a= 而此时x +x =-2(a-1),
∴x = -2(a-1).
故 或
当x =x 时,Δ=20a+20=0,∴a=-1.
原方程为 x -4x+4=0, 解得x =x =2,