21.3 实际问题与一元二次方程同步练习（含答案）

21.3 实际问题与一元二次方程
1. 传播问题
传播问题：
1.一般由基数往外分，解题的关键在于每一轮(次)是在前一轮(次)的基础之上进行的.
2.设开始的基数为1，每轮感染的数量为x，经过n轮感染后的数量为b，则所列方程为
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3.解方程后，还要考虑方程的解是否符合实际意义.
应用1 传播问题
1. 有一个人患流感，经过两轮传染后共有81个人患流感，每轮传染中平均一个人传染几个人 设每轮传染中平均一个人传染x个人，可列方程为( )
A.1+2x=81
B.1+x =81
C.1+x+x =81
D.1+x+x(1+x) =81
2.某种电脑病毒在网络中传播得非常快，如果有一台电脑被感染，经过两轮传播后共有144台电脑被感染(假定感染病毒的电脑没有及时得到查毒、杀毒处理).
(1)每轮感染中平均一台电脑感染几台电脑
(2)如果按照这样的感染速度，经过三轮感染后，被感染的电脑总数会不会超过1700台
应用2循环问题
3. 2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛 ( )
A.8 B.10 C.7 D.9
4.阅读以下内容，解答下列问题.
我们知道，计算n边形的对角线条数公式为 如果一个n边形共有20条对角线，那么可以得到方程 整理得n -3n-40=0, 解得n=8或n=-5.
∵n≥3,∴n=-5不合题意,舍去.
∴n=8，即该多边形是八边形.
(1)若一个多边形共有14条对角线，则它是几边形
(2)A同学说：“我求得一个多边形共有10条对角线.”你认为A 同学的说法正确吗 为什么
2.百分率问题
1.增长率问题的规律：设某数为a，平均增长率为x，则一次增长后的值为a(1+x)，两次增长后的值为a(1 +x) .
2.解决利润问题常用的关系式：(1)售价=进价×(1+利润率).(2)总利润=单个利润×销售量=总收入-总支出.
应用1 增长率问题
1. 临近春节的三个月，某干果店迎来了销售旺季，第一个月的销售额为8万元，第三个月的销售额为11.52万元，设这两个月销售额的月平均增长率为x，则根据题意，可列方程为( )
A.8(1+2x) =11.52 B.2×8(1+x) =11.52
C.8(1+x) =11.52 D.8(1+x ) =11.52
2.某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大.该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量比3月份的2倍少100 吨.
(1)求4月份再生纸的产量；
应用2 降低率问题
3.某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意，所列方程正确的是( )
A.150(1-x ) =96 B.150(1-x)=96
C.150(1-x) =96 D.150(1-2x) =96
4.某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同.
(1)求该商品每次降价的百分率；
(2)若该商品每件的进价为40元，计划通过以上两次降价的方式，将库存的该商品 20件全部售出，并且确保两次降价销售的总利润不少于200元，那么第一次降价至少售出多少件后，方可进行第二次降价
应用3销售问题
类型1 表格信息题
5.2022年北京冬奥会期间,某网店直接从工厂购进A，B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：(注：利润=销售价-进货价)
类别 价格 A款钥匙扣 B款钥匙扣
进货价／（元／件） 30 25
销售价／（元／件） 45 37
(1)网店第一次用850元购进A，B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数；
(2)第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A，B两款冰墩墩钥匙扣共80件(进货价和销售价都不变)，且进货总价不高于2 200元.应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少
(3)冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售4件.经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元
类型2 图象信息题
6.某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价35元，原计划以每桶55元的价格销售，为更好地助力疫情防控，现决定降价销售，已知这种消毒液销售量y(桶)与每桶降价x(元)(0(1)求y与x之间的函数解析式；
(2)在这次助力疫情防控活动中，该药店仅获利1 760元，这种消毒液每桶实际售价多少元
3.几何问题
建立一元二次方程解决几何图形问题应注意的三点：
一是图形的面积公式是基本的等量关系式；二是利用平移的性质(图形的面积不变)将零散的图形拼聚在一起；三是取含根时，注意条件中对图形边长的限制.
应用1 平移问题
3.如图，某小区矩形绿地的长宽分别为35 m，15 m.现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地.
(1)若扩充后的矩形绿地面积为800m ，求新的矩形绿地的长与宽；
(2)扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为5：3，求新的矩形绿地面积.
应用2 拼图问题
应用3动点问题
5.如图,在矩形ABCD中,AB=6 cm,BC =12 cm,点P从点A出发沿AB 以1 cm/s的速度向点 B运动;同时,点 Q 从点 B出发沿 BC以2cm/s的速度向点 C运动.设运动时间为xs.
(1)BP= cm,CQ= cm;(用含x的式子表示)
(2)若 求x的值；
(3)若△DPQ的面积为31 cm ,求x的值.
21.3 实际问题与一元二次方程
1.传播问题
1. D 【点拨】本题中，有一个人患流感，则第一轮有(x+1)个人患流感,
第二轮共有[x+1+(x+1)x]个人患流感，由此列方程.
2.【解】(1)设每轮感染中平均一台电脑感染 x台电脑，
依题意，得1+x+(1+x)x=144,
整理，得((1+x) =144,解得 x =11,x =-13( (不合题意，舍去).
答：每轮感染中平均一台电脑感染11台电脑.
(2)144×(1+11)=1 728(台),1 728>1 700.
4.【解】(1)设这个多边形有 n 条边，根据题意得 整理得 解得n =7或 n = -4.
∵n ≥3,∴n = -4 不合题意，舍去.
∴n =7, 即这个多边形是七边形.
(2)A同学的说法不正确.理由如下：设这个多边形有n 条边，则 整理得 20=0,解得
∴符合方程 的正整数 n 不存在，
∴多边形的对角线不可能有10条，即A同学的说法不正确.
2.百分率问题
1. C 【点拨】利用含x的代数式表示出第三个月的销售额是关键，第一个月的销售额为8万元，这两个月销售额的月平均增长率为x，∴第三个月的销售额是8(1+x) 万元,∴8(1+x) =11.52.
2.【解】(1)设3月份再生纸的产量为x吨，则4月份再生纸的产量为(2x-100)吨,
依题意,得x+2x-100=800,解得x=300.
∴2x-100=2×300-100=500.
答：4月份再生纸的产量为500 吨.
(2)依题意,得 660 000,
整理，得m +300m-6400=0,
解得m =20,m =-320(不合题意,舍去).
答:m的值为20.
(3)设4月份至6月份每吨再生纸利润的月平均增长率为y，5月份再生纸的产量为a吨，
依题意,得1 200(1+y) ·a(1+y)=(1+25%)×1 200(1+y)·a,
∴1 200(1+y) =1 500.
答：6月份每吨再生纸的利润是1500 元.
3. C 【点拨】根据经过两次降价后的售价=原售价×(1-平均每次降价的百分率) 可列方程为150(1-x) =96.
4.【解】(1)设该商品每次降价的百分率为x，
根据题意得60(1-x) =48.6,
解得x =0.1=10% ,x =1.9(舍去).
答：该商品每次降价的百分率是10%.
(2)设第一次降价售出a件，则第二次降价售出(20-a)件,
由题意可得[60(1-10%)-40]a+(48.6-40)×(20-a)≥200,解得
∵a为整数，∴a的最小值是6.
答：第一次降价至少售出6件后，方可进行第二次降价.
5.【解】(1)设购进A款钥匙扣x件，B款钥匙扣y件，依题意，得 解得
答：购进A款钥匙扣20件，B款钥匙扣10件.
(2)设再次购进m件 A款钥匙扣，则再次购进(80-m)件B款钥匙扣,
依题意,得30m+25(80-m)≤2 200,解得 m≤40.设再次购进的A，B两款冰墩墩钥匙扣全部售出后获得的总利润为w元,则 w=(45 -30)m +(37-25)(80-m) =3m+960.
∵3>0,∴w随m的增大而增大,
∴当m=40时,w取得最大值,最大值为3×40+960=1080,此时80-m=80-40=40.
答：当再次购进40件A款钥匙扣，40件B款钥匙扣时，才能获得最大销售利润，最大销售利润是1080元.
(3)设B款钥匙扣的销售价定为每件a元，则每件的销售利润为(a-25)元，平均每天可售出4+2(37-a)=(78-2a)件,
依题意,得(a-25)(78-2a)=90,
整理，得a -64a+1020=0,
解得 a =30,a =34.
答：将销售价定为每件30元或34元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元.
6.【解】(1)设y与x之间的函数解析式为y=kx+b,将点(1,110)、(3,130)的坐标代入一次函数解析式，得 解得
故y与x之间的函数解析式为y=10x+100.
(2)由题意得(10x+100)×(55-x-35)=1760,整理，得x -10x-24=0,解得x =12,x = -2((舍去).
所以55-x=43.
答：这种消毒液每桶实际售价43元.
3.几何问题
1.1 【点拨】设修建的路宽为xm，根据题意可得(10-x)(15-x) = 126,解得x =1,x =24((舍去)，所以修建的路宽应为 1m .
2.【解】设道路的宽应为xm.
由题意得(50-2x)(38-2x) =1 260,
解得x=4或x=40(舍去),
答：道路的宽应为4m .
3.【解】(1)设将绿地的长、宽增加xm，则新的矩形绿地的长为(35+x)m,宽为(15+x)m,根据题意得(35+x) (15+x)=800,
整理，得x +50x-275 =0,
解得 x =5,x = -55( (不符合题意，舍去)，
∴35 +x=35 +5 =40,15+x=15 +5 =20.
答：新的矩形绿地的长为40m，宽为20 m.
(2)设将绿地的长、宽增加ym，则新的矩形绿地的长为(35+y)m,宽为(15+y)m,
根据题意得(35+y):(15+y)=5:3,
即3(35+y)=5(15+y),
解得y=15,
∴(35+y)(15+y)=(35 +15)×(15 +15)=1 500.
答:新的矩形绿地面积为1 500 m .
4.2 【点拨】设底面长为 a cm,宽为b cm,正方形的边长为x cm，根据题意，得 ∴a=10-2x,b=6-x,∴(10-2x)(6-x) =24,整理，得x -11x+18=0, 解得x=2或x=9(舍去),故剪去的正方形的边长为 2cm .
5.【解】(1)(6-x);(12-2x)
(2)在 Rt△BPQ中,BQ=2x cm,
由勾股定理，可得 BP +BQ =PQ ,
即 解得
∴当 时，x的值为 或2.
(3)易知0≤x≤6.
由题意得
2x=x -6x+36=31,
解得 x =1,x =5.
∴当△DPQ的面积为31 cm 时,x的值为1或5.