21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系同步练习（含答案）

21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
与一元二次方程的根与系数的关系有关的关系式
2.(x -x ) =(x +x ) -4x x ;
3. (x +1)(x +1)=x x +(x +x )+1;
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认知基础练习
知识点1一元二次方程的根与系数的关系
1.若一元二次方程 x -4x+3=0 的两个根是x ,x ,则x · x 的值是 .
2. 若x= -1是方程 x +x+m=0的一个根，则此方程的另一个根是( )
A. -1 B.0
C.1 D.2
3. 若x= -2是一元二次方程x +2x+m=0 的一个根，则方程的另一个根及m的值分别是( )
A.0,-2 B.0,0
C. -2,-2 D. -2,0
4.在解一元二次方程 x +px+q=0 时，小红看错了常数项 q，得到方程的两个根是-3，1.小明看错了一次项系数p，得到方程的两个根是5，-4，则原来的方程是( )
A. x +2x-3=0 B. x +2x-20=0
C. x -2x-20=0 D. x -2x-3=0
知识点2 用根与系数的关系求含两根的代数式的值
5. 设x ,x 是方程 x +2x-3 =0的两个实数根，则 的值为 .
6.已知m,n是一元二次方程 x +2x-5=0 的两个根，则m + mn+2m的值为( )
A.0 B. -10 C.3 D.10
7. 已知x ,x 是方程 x -x-2022=0 的两个实数根，则代数式 的值是( )
A.4045 B.4044
C.2022 D.1
8. 已知关于x的一元二次方程 x -2x-a=0 的两根分别记为x ，x ，若 x = -1,则 的值为( )
A.7 B. -7
C.6 D. -6
知识点3用一元二次方程的根与系数的关系求字母的值
9. 已知关于x的一元二次方程 x -kx+k-3=0 的两个实数根分别为x ， x ,且 则k的值是( )
A. -2 B.2
C. -1 D.1
10. 若关于x的一元二次方程 x -2mx+m -4m-1=0 有两个实数根x ，x ，且(x +2)(x +2)-2x x =17, 则m=( )
A.2或6 B.2或8
C.2 D.6
易错点 忽视判断一元二次方程的根与系数的关系的应用条件而致错
11. 已知x ,x 是关于x的方程 x -2x+k-1 =0的两实数根，且 则k的值为 .
素养提升练
思维发散练 利用根与系数的关系求两根满足某个关系式时字母的值
12. 已知关于x的一元二次方程 x -2x-3m =0.
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β=5,求m的值.
命题新趋势1利用一元二次方程的根与系数的关系求代数式的值
13.已知关于x的一元二次方程 x -2(1-m)x+ m =0.
(1)若该方程有实数根，求m的取值范围；
(2)若m= -1时,方程的根为x ,x ,求 的值.
命题新趋势2利用换元法求与根与系数的关系相关的代数式的值
14.阅读材料：
材料1 为了解方程 (x ) -13x +36 =0,如果我们把x 看作一个整体，然后设 y=x ,则原方程可化为 y -13y+36=0, 经过运算，原方程的解为 我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法.
材料2 已知实数m，n满足 m -m-1=0, n -n-1 =0, 且m≠n,显然 m,n是方程 x -x-1=0的 的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知m+n=1, mn= -1.
根据上述材料，解决以下问题：
拓展应用：已知实数m，n满足：
n -n=7 且n>0,求 的值.
1.3
B
B
B
10
A
A
B
D
A
11.2 【点拨】∵x ,x 是关于x的方程: x -2x+k-1=0的两实数根，
解得k=2 或k=5,
经检验k=2或k=5均为该分式方程的解.
当k=2时，关于x的方程为 x -2x+1=0,Δ=0,符合题意；当k=5时，关于x的方程为 x -2x+4=0，Δ<0，方程无实数根，不符合题意.
∴k=2.
12.(1) 【证明】∵Δ=(-2) -4×1×(-3m )=4+12m >0,
∴方程总有两个不相等的实数根.
【解】由题意,得 解得
又∵αβ=-3m ,∴ -3m = -3,∴m=±1.
13.【解】(1)∵关于x的一元二次方程 x -2(1-m)x+ m =0 有实数根,∴Δ≥0,
即
(2)当m=-1时,原方程为 x -4x+1=0,
∴x +x =4,x x =1.
14.【解】
(2)∵a≠b,∴a ≠b 或a =b (a=-b).
①当a ≠b 时，令a =m,b =n,则m≠n,2m -7m+1=0,2n -7n+1=0.
∴m,n是方程 2x -7x+1=0 的两个不相等的实数根.
此时
②当 a =b (a=-b) 时,
此时
综上所述， ,a +b 的值为 或
则a +a-7=0,b +b-7=0.
即a≠b.
∴a,b是方程 x +x-7=0 的两个不相等的实数根.
∴a+b =-1, ab= -7.