第21章 一元二次方程的根与系数的关系的四种应用练习（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台
求与根有关的代数式的值的方法：看代数式是否具有对称性，若具有对称性，则直接变形，将两根之和或两根之积代入求值；若不具有对称性，则将其中的某一个根单独代入方程中，得到与待求值的代数式相关的结构，然后进行整体代入求值
应用1 求对称性代数式的值
1. 阅读材料:
材料1 若关于x的一元二次方程ax +bx+ c=0(a≠0)的两个根为x ,x ,则x +x =
材料2 已知一元二次方程 x -x-1 =0 的两个实数根分别为m，n，求 m n+mn 的值.解：∵一元二次方程x -x-1=0 的两个实数根分别为m,n,∴m+n=1, mn= -1,则m n+mn =mn(m+n)=-1×1= -1.根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(3)思维拓展：已知实数s，t满足2s -3s-1=0,2t -3t-1=0,且s≠t,求 的值.
应用2 求非对称性代数式的值
2.关于x的一元二次方程 x +2mx+m -m=0 的两实数根x ,x 满足. x x =2,则( 的值是( )
A.8 B.32 C.8或32 D.16或40
应用3求字母的值
3. 已知关于x的一元二次方程 x -4x-2m+5 =0 有两个不相等的实数根.
(1)求实数m的取值范围；
(2)若该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数m的值.
应用4 解存在性问题
4.已知关于x的一元二次方程x -6x+2m-1=0有x ,x 两实数根.
(1)若 x =1, ,求x 及m的值;
(2)是否存在实数m，满足 (x -1)(x -1) = 若存在，求出实数 m的值；若不存在，请说明理由.
1.【解】
(2)∵一元二次方程 2x -3x-1 =0 的两根分别为 m,n,
(3)∵实数s,t满足 2s -3s-1=0,2t -3t-1=0, 且s≠t,∴s与t可以看作是方程 2x -3x-1 =0 的两个实数根.
2. B 【点拨】先根据根的判别式求得 m≥0，再根据根与系数的关系得 x +x = -2m,x x =m -m =2,进而求得m=2,则( 可变形为(x x ) +2(x +x ) -4x x +4,代入计算即可.
3.【解】(1)根据题意得Δ=(-4) -4(-2m+5)>0,解得
(2)设x ,x 是方程的两根,
根据题意得 x +x =4>0,
x x = -2m+5>0, 解得
∴m的取值范围为
∵m为整数,∴m=1或m=2.
当m=1时，方程两根都是整数；
当m=2时，方程两根都不是整数；
∴整数m的值为1.
4.【解】(1)根据题意得Δ=(-6) -4(2m-1)≥0,解得m≤5，由根与系数的关系可知x +x =6, x x =2m-1.
∵x =1,∴1+x =6,x =2m-1,
∴x =5,m=3.
(2)存在.
即
整理，得m -8m+12=0, 解得m =2,m =6,
经检验 m =2,m =6 为方程 的解，
∵m≤5且m≠5,∴m=2.