课件19张PPT。第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.1 二次函数1.观察下列各式
(1)S=πr2,
(2)y=x(12-x),
(3)y=3x2+2x-4……
各式中含有__个自变量,且自变量的最高次数是__次.
(1)式中,自变量是__,其系数是π;
(2)式中,自变量是__,其二次项系数是___,一次项系数是___;
(3)式中,自变量是__,其二次项系数是__,一次项系数是__;常数
项是___.12rx-112x32-42.二次函数解析式的形式
(1)一般形式:____________________________,其中__是二次项
系数,__是一次项系数,__是常数项.
(2)特殊形式:y=ax2(a≠0),y=ax2+bx(a≠0),y=ax2+c(a≠0).y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)abc【思维诊断】(打“√”或“×”)
1.函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数)是二次函数.( )
2.y= 是二次函数.( )
3.在y=-2(x-2)2中,二次项系数是-2,一次项系数是8,常数项
是-8.( )
4.y= +2是二次函数.( )
5.y=9- 是二次函数.( )××√××知识点一 二次函数的概念
【示范题1】在下列各式中:①y= ,②y=x+ ,
③y=3(x+1)2-3x2,④y=3x-x2-1,⑤x2+1-y=0,⑥y=x(x+1),哪些属于二次函数?【思路点拨】所有的二次函数都可以化为y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的形式;若给出的函数关系式较复杂,则先化为一般形式,再根据二次函数的定义进行判断.
【自主解答】属于二次函数的是:④y=3x-x2-1,⑤x2+1-y=0, ⑥y=x(x+1).【想一想】
函数y=x2- 是二次函数吗?为什么?
提示:函数y=x2- 不是二次函数.二次函数的解析式应为整式,所以分式或二次根式都不是二次函数.【微点拨】
判断一个函数是二次函数时注意三点:
1.经整理后,函数表达式是含一个自变量的整式.
2.自变量的最高次数是2.
3.二次项系数不为0,尤其是含有字母系数的函数,应特别注意.【方法一点通】
判别二次函数的“两关键”
关键一:y=ax2+bx+c的形式;
关键二:a,b,c是常数,a≠0.知识点二 列二次函数关系式
【示范题2】某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.试写出果园橙子的总产量与增种橙子树之间的关系.【教你解题】【想一想】
列二次函数关系式时,自变量的取值应满足什么条件?
提示:(1)含自变量的式子有意义;(2)实际问题有意义.【备选例题】(1)n支球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛.写出比赛的场次数m与球队数n之间的关系式 .
(2)用总长为60m的篱笆围成矩形场地,场地面积S(m2)与矩形一边长a(m)间的函数关系式为 .
(3)在边长为4m的正方形中间挖去一个边长为xm的小正方形,剩下的四方框形的面积为y,则y与x间的函数关系式为 .
(4)用一根长为8m的木条,做一个长方形的窗框,若宽为xm,则该窗户的面积y(m2)与x(m)之间的函数关系式为 .【解析】(1)比赛的场次数m与球队数n之间的关系式为m=
(n为大于0的整数).
(2)场地面积S(m2)与矩形一边长a(m)之间的关系式为
S=a(30-a)(0
(3)y与x间的函数关系式为y=16-x2(0(4)面积y(m2)与x(m)之间的函数关系式为y=x(4-x),
∵宽x小于长(4-x),即x<4-x,
∴0(3)y=16-x2(0在实际问题中建立二次函数关系式的一般步骤
1.审清题意,分清实际问题中的已知量(常量)和未知量(变量),并分析它们之间的关系,找出等量关系.
2.用含一个变量的代数式表示等量关系中的相关数量,从而写出用一个变量表示另一个变量的函数关系式.
3.注意自变量的取值范围,在实际问题中,自变量的取值要符合实际意义.温馨提示：
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提技能·题组训练
二次函数的概念
1.下列函数不属于二次函数的是( )
A.y=(x-1)(x+2) B.y=(x+1)2
C.y=2(x+3)2-2x2 D.y=1-x2
【解题指南】二次函数判断的“三步骤”
【解析】选C.把每一个函数式整理为一般形式,
A.y=(x-1)(x+2)=x2+x-2,是二次函数;
B.y=(x+1)2=x2+x+,是二次函数;
C.y=2(x+3)2-2x2=12x+18,是一次函数;
D.y=1-x2=-x2+1,是二次函数.
2.对于任意实数m,下列函数一定是二次函数的是( )
A.y=(m-1)2x2 B.y=(m+1)2x2
C.y=(m2+1)x2 D.y=(m2-1)x2
【解析】选C.因为在二次函数y=ax2+bx+c中,a≠0,而在选项A,B, D中,二次项系数(m-1)2,(m+1)2,(m2-1)都有可能为0,只有(m2+1)一定不等于0,所以选C.
【变式训练】函数y=mx2+2x-3是二次函数吗?
【解析】①当m=0时,函数y=mx2+2x-3化简为y=2x-3,此函数是一次函数;
②当m≠0时,函数y=mx2+2x-3是二次函数.
故所给函数不一定是二次函数.
【知识归纳】二次函数的一般形式为y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)
1.当a=0,b≠0时,化为y=bx+c,此时是一次函数;
2.当a≠0时,y=ax2+bx+c是二次函数.
3.下列函数:①y=2x-1;②y=-;③y=x2+8x-2;④y=;⑤y=;⑥y=中,其中y是x的二次函数的是 (填序号).
【解析】y=2x-1是一次函数;y=-是反比例函数;y=x2+8x-2是二次函数;因为y=中不是整式,故y=不是二次函数;y=是反比例函数;y=没有给出a≠0,不是整式,所以y=不是二次函数.
答案:③
4.若函数y=(m-4)是二次函数,则m的值是 .
【解析】因为该函数是二次函数,所以m2-9m+22=2,解得m=4或m=5;又因为m-4≠0,所以m≠4,所以m=5.
答案:5
5.分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项:
(1)d=n2-n, (2) y=1-x2.
【解析】(1)d=n2-n的二次项系数、一次项系数和常数项分别为,-,0.
(2)y=1-x2的二次项系数、一次项系数和常数项分别为-1,0,1.
6.若y=(m2+m)是二次函数,求m的值.
【解析】因为该函数为二次函数,所以①m2-m=2,②m2+m≠0,由①得m=2或m=-1,由②得m≠0且m≠-1.所以m=2.
【变式训练】 (1)已知函数y=(m-3)是二次函数,求m的值.
(2)已知函数y=(a2+a)+3是二次函数,求m的值.
【解析】(1)若函数y=(m-3)是二次函数,则m2-7=2,m=3或-3,又因为m-3≠0,所以m≠3,所以m=-3.
(2)若函数y=(a2+a)+3是二次函数,则a2-2a-1=2,a=3或-1,又因为a2+a≠0,所以a≠-1且a≠0,所以a=3.
列二次函数关系式
1.下列函数关系中,可以看成二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)模型的是( )
A.在一定的距离内汽车行驶的平均速度与行驶时间的关系
B.我国人口年自然增长率为1%,这样我国人口总数与年份的关系
C.竖直向上发射的信号弹,从发射到落回地面,信号弹的高度(h)与时间(t)的关系(不计空气阻力,其关系式为h=v0t-4.9t2,其中v0为发射信号弹的初速度)
D.圆的周长与圆的半径之间的关系
【解析】选C.A.距离一定,汽车行驶的平均速度与行驶的时间的积是常数.在距离一定时,平均速度与时间成反比例关系;
B.设原来的人口是a,x年后的人口数是y,则y=a(1+1%)x,不是二次函数关系;
C.竖直向上发射的信号弹,从发射到落回地面,信号弹的高度h与时间t的关系(不计空气阻力)是二次函数;
D.设半径是r,则周长c=2πr,是一次函数关系.
2.把一根长为50cm的铁丝弯成一个长方形,设这个长方形的一边长为xcm,面积为ycm2,则y与x之间的函数关系式为( )
A.y=-x2+50x B.y=x2-50x
C.y=-x2+25x D.y=-2x2+25
【解析】选C.设这个长方形的一边长为xcm,则相邻另一边长为(25-x)cm,则长方形的面积y=x(25-x)=-x2+25x.
3.在半径为4cm的圆中,挖去一个半径为xcm的圆面,剩一个圆环的面积为ycm2,则y与x的函数关系式为( )
A.y=πx2-4 B.y=π(2-x)2
C.y=-(x2+4) D.y=-πx2+16π
【解析】选D.半径为4cm的圆的面积为16π,半径为xcm的圆的面积为πx2,所以剩下的圆环的面积为y=-πx2+16π.
4.已知正方形的周长是ccm,面积为Scm2,则S与c之间的函数关系式为 .
【解析】周长是ccm的正方形的边长是cm,所以此正方形的面积为S==.
答案:S=
5.如图,用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD,设AB边长为xm,则菜园的面积y(m2)与x(m)的关系式为 .
【解析】菜园的形状为矩形,设AB边长为xm,则BC边长为,所以菜园的面积为x·(0答案:y=x·(0【易错提醒】根据实际问题列出的二次函数必须注明自变量的取值范围,若不注明,易导致不符合题意.
6.写出圆的面积y(cm2)与它的周长x(cm)之间的函数关系.并判断y是x的二次函数吗?
【解析】周长为x(cm)的圆的半径是,则面积y(cm2)与它的周长x(cm)之间的函数关系为y=π=.y是x的二次函数.
【错在哪？】作业错例 课堂实拍
已知函数y=+5x-3是二次函数,求m的值.
(1)找错:从第 步开始出现错误.
(2)纠错:
答案：(1)②
(2)所以m=1或-1,又因为m-1≠0,所以m≠1,所以m=-1.
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课时提升作业(九)
二次函数
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.下列函数中,是二次函数的是( )
A.y-x2=0 B.y=(x+2)(x-2)-(x-1)2
C.y=x2+ D.y=
【解析】选A.y-x2=0化简后为y=x2是二次函数.B选项化简后为y=2x-5;C选项含有分式;D选项是二次根式.
【易错提醒】判定二次函数,首先看化简之后的式子;其次二次函数的解析式必须为整式,分式和二次根式都不是二次函数.
2.若y=(2-m)是二次函数,则m等于( )
A.±2 B.2
C.-2 D.不能确定
【解题指南】解答本题的两个关键
1.自变量的次数是2次;
2.二次项系数不等于0;
【解析】选C.因为该函数是二次函数,所以m2-2=2,所以m=2或m=-2;又因为2-m≠0,所以m≠2,所以m=-2.
3.如果一台机器原价60万元,每次降价的百分率均为x,那么连续两次降价后的价格y(万元)为( )
A.y=60(1-x) B.y=60(1+x)
C.y=60(1-x)2 D.y=60(1+x)2
【解析】选C.由题意知,一次降价后的价格为60(1-x),那么两次降价后的价格为60(1-x)2,即y=60(1-x)2.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.(2014·舒三中学月考)若函数y=(m-6)是二次函数,则m的值是 .
【解析】若函数y=(m-6)是二次函数,则m2-9m+20=2,解得m=3或m=6,又因为m-6≠0,所以m≠6,所以m=3.
答案:3
5.二次函数y=3 (x-3)(x+4)化成一般形式是 ,二次项系数是 ,一次项系数是 ,常数项是 .
【解析】根据题意,y=3(x-3)(x+4)=3x2+3x-36,二次项系数是3,一次项系数是3,常数项是-36.
答案:y=3x2+3x-36 3 3 -36
【变式训练】二次函数y=3x-5x2+1的二次项系数、一次项系数、常数项分别为 .
【解析】y=3x-5x2+1=-5x2+3x+1,所以二次函数y=3x-5x2+1的二次项系数、一次项系数、常数项分别为-5,3,1.
答案:-5,3,1
6.某种植专业户拟建的一个温室的平面图如图,如果温室外围是一个矩形,周长为120m,室内通道的尺寸如图,设一条边长为xm,种植面积为ym2,则y与x之间的函数关系式为 _______________________________________________.
【解题指南】列函数关系式的思路
1.明确未知数表示的量.
2.找出题目中需要表示的量.
3.列出函数解析式.
【解析】图中小矩形相邻两边的长分别为(60-x-4)m与(x-2)m,所以种植面积为y=(60-x-4)(x-2)=(56-x)(x-2)=-x2+58x-112.
答案:y =(56-x)(x-2)或y=-x2+58x-112
三、解答题(共26分)
7.(8分)已知函数y=(m2-m)x2+(m-1)x+m+1.
(1)若这个函数是一次函数,求m的值.
(2)若这个函数是二次函数,则m的值应怎样?
【解析】(1)根据一次函数的定义得m2-m=0,
解得m=0或m=1,又∵m-1≠0即m≠1;
∴当m=0时,这个函数是一次函数.
(2)根据二次函数的定义得m2-m≠0,
解得m≠0且m≠1,
∴当m≠0且m≠1时,这个函数是二次函数.
【变式训练】已知函数y=(a2-a)x2+ax+a-1
(1)若y是x的一次函数,求a的值.
(2)若y是x的二次函数,求a的值.
【解析】(1)根据一次函数的定义得a2-a=0,
解得a=0或a=1,又∵a≠0,∴a=1,
∴当a=1时,这个函数是一次函数.
(2)根据二次函数的定义得a2-a≠0,
解得a≠0且a≠1,
∴当a≠0且a≠1时,这个函数是二次函数.
8.(8分)在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框,制成一面镜子.镜子的长与宽的比是2∶1.已知镜面玻璃的价格是120元/m2,边框的价格是20元/m2,另外制作这面镜子还需加工费45元.设制作这面镜子的总费用是y元,镜子的宽度是x m,求y与x之间的关系式.
【解析】根据题意,镜子的宽度是x m,则长为2xm,面积为x·2x=2x2m2,周长是6xm,所以总费用为y=2x2·120+6x·20+45,即y=240x2+120x+45.
【培优训练】
9.(10分)已知函数y=(a+3)+(a+1)x+2(a为常数),
(1)a为何值时,这个函数为二次函数?
(2)a为何值时,这个函数为一次函数?
【解析】(1)由y=(a+3)+(a+1)x+2(a为常数)为二次函数,所以a+3≠0,a2+3a+2=2,
解得a1=0或a2=-3(舍去),所以a=0.
(2)由y=(a+3)+(a+1)x+2(a为常数)为一次函数,分情况讨论:
①当a+3=0且a+1≠0时,y=(a+3)+(a+1)x+2可整理为y=(a+1)x+2是一次函数,此时解得a=-3;
②当a2+3a+2=0且a+1≠0时,y=(a+3)+(a+1)x+2可整理为y=(a+1)x+a+5是一次函数,此时解得a=-2;
③当a2+3a+2=1时,y=(a+3)+(a+1)x+2可整理为y=(2a+4)x+2是一次函数,此时解得
a1=,a2=,验证知满足题意.
综上可知:当a=-3或a=-2或a=或a=时,y=(a+3)+(a+1)x+2(a为常数)为一次函数.
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