课件18张PPT。22.1.2
二次函数y=ax2的图象和性质二次函数y=ax2(a≠0)的图象和性质
1.二次函数y=ax2(a≠0)的图象
二次函数y=ax2(a≠0)的图象是一条_______.
2.对称性
图象关于__轴对称.抛物线y3.开口方向
当a>0时,抛物线的开口向___;当a<0时,抛物线的开口向___.
4.顶点
抛物线y=ax2的顶点是_________.当a>0时,顶点是抛物线的最
___点;当a<0时,顶点是抛物线的最___点.
5.开口大小
|a|越大,抛物线的开口越___.上下坐标原点低高小6.增减性
(1)a>0,当x>0时,y随x的增大而_____,当x<0时,y随x的增大而
_____.
(2)a<0,当x>0时,y随x的增大而_____,当x<0时,y随x的增大而
_____.增大减小减小增大【思维诊断】(打“√”或“×”)
1.抛物线y=2x2的开口比抛物线y=- x2的开口大.( )
2.抛物线y=(-2x)2的开口向上.( )
3.抛物线y=ax2(a≠0)上,若两个点的纵坐标相同,那么这两个
点的横坐标互为相反数.( )
4.分别在抛物线y=2x2与y=-2x2上的两个点,若横坐标相同,那
么这两个点的纵坐标也相同.( )
5.抛物线y=-5x2的最低点的坐标是(0,0).( )×√√××知识点一 二次函数y=ax2(a≠0)的图象和性质
【示范题1】已知y=(k+2) 是二次函数,且当x>0时,y随x的增大而增大,求k的值.
【思路点拨】根据二次函数的定义,自变量的最高次数是2,再根据二次函数的增减性,确定y=ax2中a的正负,从而确定题目中k的取值范围,最后确定k的值.【自主解答】因为y=(k+2) 是二次函数,所以k2+k-4=2,解得k=-3或k=2;
又因为当x>0时,y随x的增大而增大,所以k+2>0,即k>-2,所以k=2.【想一想】
已知函数y=(k2+k) 是二次函数,它的图象开口方向如何?
提示:函数y=(k2+k) 是二次函数,所以k2-2k-1=2,即k=3
或k=-1;当k=3时,k2+k=12>0,当k=-1时,k2+k=0(舍去),所以它
的图象开口向上.【微点拨】
1.抛物线y=ax2的图象和性质主要从以下几个方面记忆:
(1)开口方向.(2)顶点坐标.(3)对称性.(4)增减性.
2.顶点坐标是原点,对称轴是y轴的抛物线的关系式形式为y=ax2.
3.抛物线y=ax2与抛物线y=-ax2关于x轴对称,关于原点成中心对称.【方法一点通】
二次函数y=ax2的“两关系四对等”
1.a>0?开口向上?有最小值?
2.a<0?开口向下?有最大值?x＞0时，y随x的增大而增大，
x＜0时，y随x的增大而减小.x＞0时，y随x的增大而减小，
x＜0时，y随x的增大而增大.知识点二 求二次函数y=ax2(a≠0)的解析式
【示范题2】(2013·山西中考)如图是
我省某地一座抛物线形拱桥,桥拱在竖
直平面内,与水平桥面相交于A,B两点,桥拱最高点C到AB的距离为9m,AB=36m,D,E为桥拱底部的两点,且DE∥AB,点E到直线AB的距离为7m,则DE的长为 m.【解题探究】(1)建立坐标系一般选哪一点为坐标原点?
提示:一般以抛物线的顶点为坐标原点,本题中应以点C为坐标原点建立坐标系.
(2)相应的解析式是哪一种形式?如何确定这个解析式?
提示:抛物线的解析式为y=ax2,把点B的坐标(18,-9)代入解析式,确定a的值.【尝试解答】以顶点C为坐标原点,建立
如图所示的坐标系,设抛物线为y=ax2,
由题意得B(18,-9),把B(18,-9)代入
y=ax2,
得a×182=-9,解得a=- .
所以抛物线的解析式为y=- x2,当y=-9-7=-16时,-16=- x2,
解得x=±24,∴DE=48m.
答案:48【想一想】
在同一坐标系内,抛物线y=3x2和抛物线y=-3x2的位置有什么关系?
提示:抛物线y=3x2在x轴的上方,开口向上,抛物线y=-3x2在x轴的下方,开口向下,且抛物线y=3x2和抛物线y=-3x2关于x轴对称.【方法一点通】
解二次函数y=ax2应用题的“三个步骤”
1.审题建模:审查题目特点,建立y=ax2模型.
2.确定解析式:根据图形或者其他条件,确定点的坐标,用待定系数法确定二次函数解析式.
3.解决问题:利用解析式,根据纵坐标求横坐标,或根据横坐标求纵坐标解决问题.温馨提示：
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提技能·题组训练
二次函数y=ax2(a≠0)的图象和性质
1.抛物线y=x2不具有的性质是( )
A.对称轴是y轴
B.开口向上
C.当x<0时, y随x的增大而减小
D.有最高点
【解题指南】分析抛物线y=ax2的性质
(1)根据a的正负看开口方向.
(2)抛物线y=ax2的对称轴是y轴.
(3)图象的增减性:在y轴的两侧,增减性相反.
(4)开口向上,有最低点;开口向下,有最高点.
【解析】选D.当a>0时,抛物线开口向上,并且向上无限延伸,所以没有最高点,只有最低点.
2.如图,四个二次函数的图象中,分别对应的关系式是:
①y=ax2; ②y=bx2;
③y=cx2; ④y=dx2,
则a,b,c,d的大小关系是( )
A.a>b>c>d B.a>b>d>c
C.b>a>c>d D.b>a>d>c
【解析】选A.由图象可知a>0,b>0,c<0,d<0,且a>b>0,d3.二次函数y=m的图象在对称轴左侧,y随x的增大而增大,则m的值为
( )
A.m≠0 B.m=±
C.m= D.m=-
【解析】选D.在二次函数y=m中,m2-1=2,所以m=±;根据题意,抛物线的开口向下,所以m<0,所以m=-.
【变式训练】已知抛物线y=k的开口向下,求k的值.
【解析】因为y=k是二次函数,所以k2+k-10=2,解得k=-4或k=3;又因为开口向下,所以k<0,所以k=-4.
4.(1)函数y=x2的开口 ,对称轴是 ,顶点坐标是 .
(2)函数y=-x2的开口 ,对称轴是 ,顶点坐标是 .
【解析】(1)函数y=x2中,因为>0,所以图象开口向上,对称轴是y轴,顶点坐标是(0,0).
(2)函数y=-x2中,因为-<0,所以图象开口向下,对称轴是y轴,顶点坐标是(0,0).
答案:(1)向上 y轴 (0,0)
(2)向下 y轴 (0,0)
5.(1)抛物线y=-5x2,当x= 时,y有最 值,是 .
(2)当m= 时,函数y=(m-1)是二次函数且开口向上.
【解析】(1)抛物线y=-5x2的最高点是坐标原点,即(0,0),所以,当x=0时,y有最大值,是0.
(2)依题意得
解①得:m>1,解②得:m1=2,m2=-1,∴m=2.
答案:(1)0 大 0 (2)2
【变式训练】当m 时,二次函数y=(m-1)的图象在对称轴的右侧,y随x的增大而增大.
【解析】根据题意,①m2-m=2,得m=2或m=-1;②m-1>0,得m>1.所以m=2.
答案:=2
6.已知抛物线y=-x2上的两点(x1,y1),(x2,y2),其中x1【解析】抛物线y=ax2,当a<0时,抛物线的开口方向向下,在对称轴的左侧,y随x的增大而增大,因为x1答案:y1【方法技巧】比较y=ax2(a≠0)的函数值的方法
1.当两点位于对称轴的同侧时,根据y随x的变化规律判断.
2.当两点位于对称轴的异侧时,根据开口方向和这两点距对称轴的距离的远近判断.
求二次函数y=ax2(a≠0)的解析式
1.(2013·丽水中考)若二次函数y=ax2的图象经过点P(-2,4),则该图象必经过
点( )
A.(2,4) B.(-2,-4)
C.(-4,2) D.(4,-2)
【解题指南】因为点在图象上,所以把点的坐标代入解析式,则解析式成立,从而求出a的值,写出解析式.
【解析】选A.将(-2,4)代入y=ax2,计算a的值,写出抛物线解析式,将选项逐一代入解析式验证即可知A正确.
2.二次函数y=ax2与y=-3x2的图象,开口大小、形状都相同,开口方向相反,则a= .
【解析】由题意得|a|=3,因为二次函数y=ax2的开口方向向上,所以a=3.
答案:3
3.汽车刹车距离s(m)与速度v(km/h)之间的函数关系式是s=v2,在一辆车速为100km/h的汽车前方80m处发现停放一辆故障车,此时刹车 有危险(选填“会”或“不会”).
【解析】把v=100代入函数关系式得s=100>80,所以此时刹车会有危险.
答案:会
4.已知抛物线y=ax2经过点(1,3),当y=9时,求x的值.
【解析】因为抛物线y=ax2经过点(1,3),所以把点(1,3)代入y=ax2,得3=a×12,a=3,所以解析式为y=3x2,把y=9代入y=3x2,得x=±.
5.二次函数y=ax2与直线y=2x-3交于点P(1,b).
(1)求a,b的值.
(2)写出二次函数的解析式,并指出x取何值时,该函数的y随x的增大而减小.
【解析】(1)把点P(1,b)代入y=2x-3,得b=-1,
点P(1,-1)代入y=ax2得-1=a×12,a=-1,所以a=-1,b=-1.
(2)二次函数的解析式为y=-x2,当x>0时,y随x的增大而减小.
6.如图所示,已知抛物线的顶点为坐标原点O,矩形ABCD的顶点A,D在抛物线上,且AD平行x轴,交y轴于点F,AB的中点E在x轴上,B点的坐标为(2,1),点P(a,b)在抛物线上运动.(点P异于点O).
(1)求此抛物线的解析式.
(2)过点P作CB所在直线的垂线,垂足为点R,
求证:PF=PR.
【解析】(1)由题意可得:点A的坐标为(2,-1),
∵抛物线的顶点为坐标原点O,
∴可设抛物线的解析式为:y=cx2,
将点A(2,-1)代入可得:4c=-1,解得c=-,
∴抛物线的解析式为y=-x2.
(2)如图,过点P作PG⊥y轴,垂足为G.连接PF.
由题意可知:F(0,-1),G(0,b),R(a,1),
∴GF=|b-(-1)|=| b+1|,
PG=|a|,PR=1-b,
∵点P(a,b)为抛物线y=-x2上的动点,
∴b=-a2,变形得:a2=-4b,
在Rt△PGF中,由勾股定理可得:
PF===|b-1|=1-b,
∴PF=PR.
【错在哪？】作业错例 课堂实拍
已知抛物线y=(a+2)开口向下,求a的值.
(1)找错:第 步出现错误.
(2)纠错:
.
答案：(1)③
(2)又因为抛物线的开口向下,所以a+2<0,即a<-2.所以当a=-3时,抛物线的开口向下.
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课时提升作业(十)
二次函数y=ax2的图象和性质
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.函数y=ax2与y=-ax+b的图象可能是( )
【解析】选B.若a>0,则抛物线的开口方向向上,直线一定经过二、四象限,所以A错误,B符合条件;若a<0,抛物线开口方向向下,直线一定经过一、三象限,故C,D都错误.
【易错提醒】函数y=ax2与y=-ax+b中的a的正负是一致的,若a>0,则-a<0,抛物线的开口向上,在一次函数的图象上,y随x的增大而减小;若a<0,则-a>0,抛物线的开口向下,在一次函数的图象上,y随x的增大而增大.
2.若抛物线y=a1x2,y=a2x2的形状相同,那么( )
A.a1=a2 B.a1=-a2
C.|a1|=|a2| D.a1与a2的关系无法确定
【解题指南】解答本题的关键:a的绝对值相等时,抛物线形状相同.
【解析】选C.因为抛物线y=a1x2,y=a2x2的形状相同,所以开口大小相同,当开口方向相同时,a1=a2,当开口方向相反时,a1=-a2,即|a1|=|a2|.
3.(2013·淄博中考)如图,Rt△OAB的顶点A(-2,4)在抛物线y=ax2上,将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°,得到△OCD,边CD与该抛物线交于点P,则点P的坐标为
( )
A.(,) B.(2,2)
C.(,2) D.(2,)
【解析】选C.将A(-2,4)代入y=ax2,解得a=1,∴抛物线的解析式为y=x2.
∵A(-2,4),∴OB=2,AB=4.
又∵旋转前后的图形为全等形,
∴OD=OB=2,CD=AB=4,
∴D点坐标为(0,2).
∵CD∥x轴,∴P点的纵坐标与D点纵坐标相同,即P点的纵坐标为2.
∵点P在抛物线y=x2上,∴2=x2,解得x=±.
又∵点P在第一象限,所以x=,
∴P点的坐标为(,2).
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.二次函数y=m有最低点,则m= .
【解析】根据题意得,m2-2=2,解得:m=±2,
又∵抛物线有最低点,∴开口向上,即m>0,∴m=2.
答案:2
5.在二次函数y=8x2的图象上,与点A(-5,200)关于对称轴对称的点的坐标是 .
【解析】二次函数y=8x2的图象开口向上,以y轴为对称轴,点A(-5,200)关于y轴对称的点是(5,200).
答案:(5,200)
6.如图,A,B为抛物线y=ax2的图象上的两点,且AB⊥y轴于点(0,6),若AB=6,则该抛物线的解析式为 .
【解析】由题知B点的坐标为(3,6),将点B的坐标代入y=ax2得,9a=6,
∴a=,∴y=x2.
答案:y=x2
【变式训练】若抛物线y=ax2经过点A(-3,6),直线AB平行于x轴且与抛物线交于点B,则AB= .
【解析】因为抛物线y=ax2关于y轴对称,则点A关于y轴对称的点B的坐标是(3,6),所以AB=6.
答案:6
【知识拓展】抛物线的对称性
因为抛物线y=ax2关于y轴对称,所以平行于x轴且与抛物线相交形成的线段被对称轴y轴垂直平分,此线段的长度是交点到y轴的距离的2倍.
三、解答题(共26分)
7.(8分)已知抛物线y=ax2经过点A(-2,-8).
(1)求此抛物线的函数解析式.
(2)判断点B(-1,-4)是否在此抛物线上.
(3)求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.
【解析】(1)把(-2,-8)代入y=ax2,得-8=a(-2)2,解得a=-2,
故所求函数解析式为y=-2x2.
(2)因为-4≠-2(-1)2,
所以点B(-1,-4)不在此抛物线上.
(3)由-6=-2x2,得x2=3,
所以纵坐标为-6的点有两个,它们分别是(-,-6),(,-6).
【变式训练】已知抛物线y=ax2与直线y=kx+1交于两点,其中一点坐标是(1,4),求另一点的坐标.
【解析】把(1,4)分别代入y=ax2与y=kx+1,得a=4,k=3,即y=4x2与y=3x+1;把y=3x+1代入y=4x2得3x+1=4x2,解得x=1或x=-,把x=-代入y=4x2得y=,所以另一点的坐标是.
8.(8分)已知三点(-1,y1),(1,y2),(a,y3)都在函数y=x2的图象上且a>1,判断y1,y2,y3的大小关系.
【解析】二次函数y=x2的图象是一条以原点为顶点、开口向上、以y轴为对称轴的抛物线,在对称轴的左侧,y随x的增大而减小,在对称轴的右侧,y随x的增大而增大.
所以y1=y2,因为a>1,所以y2【培优训练】
9.(10分)【问题情境】
如图,在x轴上有两点A(m,0),B(n,0)(n>m>0).分别过点A,点B作x轴的垂线,交抛物线y=x2于点C,点D.直线OC交直线BD于点E,直线OD交直线AC于点F,点E,点F的纵坐标分别记为yE,yF,
【特例探究】
填空:
当m=1,n=2时,yE= ,yF= ;
当m=3,n=5时,yE= ,yF= .
【归纳证明】
对任意m,n(n>m>0),猜想yE与yF的大小关系,并证明你的猜想.
【拓展应用】
(1)将“抛物线y=x2”改为“抛物线y=ax2(a>0)”,其他条件不变,请直接写出yE与yF的大小关系.
(2)连接EF,AE.当S四边形OFEB=3S△OFE时,写出m与n的关系及四边形OFEA的形状.
【解析】【特例探究】
当m=1,n=2时,A(1,0),B(2,0),C(1,1),D(2,4);
则:直线OC:y=x;直线OD:y=2x;
∴F(1,2),E(2,2);即:yE=yF=2.
同理:当m=3,n=5时,yE=yF=15.
【归纳证明】
猜想:yE=yF;
证明:点A(m,0),B(n,0) (n>m>0).
由抛物线的解析式知:C(m,m2),D(n,n2);
设直线OC的解析式:y=kx,代入点C的坐标:
km=m2,k=m,即直线OC:y=mx;
同理:直线OD:y=nx.
∴E(n,mn),F(m,mn),即yE=yF.
【拓展应用】
(1)yE=yF.
(2)综合上面的结论,可得出E,F的纵坐标相同,即EF∥x轴,则四边形ABEF是矩形;
∵S四边形OFEB=S△OEF+S△OBE=3S△OFE,∴S△OBE=2S△OFE,即:
OB·AF=2×EF·AF,得:OB=2EF=2AB;
∵OA=m,OB=n,AB=EF=n-m,
∴n=2(n-m),n =2m;由于EF∥OA,且EF=AB=OA,所以四边形OFEA是平行四边形.
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