课件19张PPT。22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
第1课时二次函数y＝ax2＋bx＋c (a≠0)的图象和性质
(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c写成顶点式为___________________.
(2)对称轴是直线_______，顶点坐标是______________.
(3)开口方向：当a>0时,抛物线的开口向___, 当a<0时,抛物线
的开口向___.上下(4)增减性：
① a>0,当x> 时,y随x的增大而_____，当x< 时,y随x
的增大而_____.
②a<0,当x> 时,y随x的增大而_____，当x< 时,y随x的
增大而_____.增大减小减小增大【思维诊断】(打“√”或“×”)
1.抛物线y=2x2+4x+2的对称轴是直线x=1.( )
2.抛物线y=-6x2+4x+2有最大值是2.( )
3.二次函数y=x2-x+1化成顶点式为y= +1.( )
4.抛物线y=-3x2+5x+c经过原点,得c=0.( )
5.抛物线y=2x2+8x+1的顶点坐标是(-2,-7).( )×××√√知识点一 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
【示范题1】二次函数y=x2+bx+c的图象
经过点(4,3),(3,0).
(1)求b,c的值.
(2)求出该二次函数图象的顶点坐标和
对称轴.
(3)在所给坐标系中画出二次函数y=x2+bx+c的图象.【思路点拨】把点的坐标代入解析式→列方程组→b,c的值→把解析式配方→顶点坐标、对称轴→作图.
【自主解答】(1)由题意得
(2)由(1)知函数解析式是y=x2-4x+3,可化为y=(x-2)2-1,
∴其顶点坐标是(2,-1),对称轴为直线x=2.(3)如图所示：【想一想】
当2≤x≤3时,求二次函数y=x2-2x-3的最大值或最小值.
提示:因为y=x2-2x-3=(x-1)2-4,所以顶点坐标为(1,-4).
x=1不在2≤x≤3范围内,又因为函数y=x2-2x-3(2≤x≤3)的图象是抛物线y=x2-2x-3的一部分,且当2≤x≤3时,y随x的增大而增大.
所以,当x=3时,y最大值=32-2×3-3=0;
当x=2时,y最小值=22-2×2-3=-3.【微点拨】求最值，看范围
1.如果自变量的取值范围是全体实数，那么在函数顶点处取得
最值，即当 时，y最值=
2.如果取值范围不是全体实数，需要看 在不在此范围内，
如果在此范围内，最值为 如果不在，则要考虑函数
在此范围内的增减性.【方法一点通】
画二次函数图象的“三步骤”
1.化:把一般式化成顶点式.
2.定:确定抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴.
3.画:利用抛物线对称性列表、描点、连线.知识点二 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与系数的关系
【示范题2】(2013·济南中考)如图,二次函
数y=ax2+bx+c的图象经过点(1,-2),与x轴交
点的横坐标分别为x1,x2,且-1
下列结论正确的是( )
A.a<0 B.a-b+c<0
C. >1 D.4ac-b2<-8a【教你解题】【想一想】
对称轴的位置与a和b的符号有何关系?
提示:对称轴在y轴右侧时,a与b的符号相异.
对称轴在y轴左侧时,a与b的符号相同.【备选例题】小强从如图所示的二次
函数y=ax2+bx+c的图象中,观察得出
了下面五条信息:(1)a<0.(2)c>1.
(3)b>0.(4)a+b+c>0.(5)a-b+c>0.
你认为其中正确信息的个数有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个【解析】选C.图象开口向下,故a<0;对称轴在y轴右侧,故a,b异号,所以b>0;抛物线与y轴交点在(0,1)上方,故c>1;当x=1时,图象上对应的点在x轴上方,则a+b+c>0;当x=-1时,图象上对应的点在x轴下方,则a-b+c<0;故(1)(2)(3)(4)对.【方法一点通】
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的特殊函数值
1.x=1时,函数值为a+b+c.
2.x=-1时,函数值为a-b+c.
3.x=2时,函数值为4a+2b+c.
4.x=-2时,函数值为4a-2b+c.
5.x=0时,函数值为c.温馨提示：
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提技能·题组训练
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
1.二次函数y=x2-4x+5的顶点坐标为( )
A.(-2,-1) B.(2,1)
C.(2,-1) D.(-2,1)
【解析】选B.方法一:∵a=1,b=-4,c=5,∴-=-=2,
===1,
∴顶点坐标为(2,1).
方法二:∵y=x2-4x+5
=x2-4x+-+5=(x-2)2-4+5
=(x-2)2+1,
∴顶点坐标为(2,1).
2.二次函数y=x2-4x+7的最小值为( )
A.2 B.-2 C.3 D.-3
【解析】选C.y=x2-4x+7=(x-2)2+3,因为a=1>0,所以二次函数y=x2-4x+7有最小值是3.
【一题多解】二次函数y=x2-4x+7中,a=1,b=-4,c=7,
最小值为==3.
3. (2013·吉林长春二中月考)二次函数y=x2+bx+c的图象上有两点(3,-8)和(-5,-8),则此拋物线的对称轴是( )
A.x=4 B.x=3
C.x=-5 D.x=-1
【解析】选D.拋物线y=x2+bx+c是轴对称图形,因为(3,-8)和(-5,-8)的纵坐标相同,所以这两点关于对称轴对称,(3-5)=-1,即对称轴是直线x=-1.
4.已知抛物线y=x2+(n-3)x+n+1经过坐标原点O,求这条抛物线的顶点P的坐标 .
【解析】把原点坐标(0,0)代入y=x2+(n-3)x+n+1,得n+1=0,即n=-1.所以抛物线的解析式为y=x2-4x=(x-2)2-4,顶点P的坐标为(2,-4).
答案:(2,-4)
5.(2013·贵阳中考)已知二次函数y=x2+2mx+2,当x>2时,y的值随x的增大而增大,则实数m的取值范围是 .
【解析】抛物线对称轴x=-=-=-m;∵a=1>0,∴抛物线开口向上,所以当x>-m时,y的值随x的增大而增大,
又∵当x>2时,y的值随x的增大而增大,∴-m≤2,∴m≥-2.
答案:m≥-2
【易错提醒】当x>2时,y的值随x的增大而增大,不要误认为对称轴就是2,也有可能小于2,本题易认为对称轴是2.
6.二次函数y=-x2+mx中,当x=3时,函数值最大,求其最大值.
【解析】二次函数中,当x=-时,函数值最大(小),即-=3,因为a=-1,所以b=6,即m=6,解析式为y=-x2+6x,=9,故最大值为9.
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与系数的关系
1.二次函数y=x2+ax+b中,若a+b=0,则它的图象必经过点( )
A. B.
C. D.
【解析】选C.当x=1时,代入二次函数解析式得,y=1+a+b,即a+b=y-1,所以y-1=0,所以y=1.即当x=1时,y=1,所以图象必经过点(1,1).
2.(2013·白银中考)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,在下列五个结论中:①2a-b<0;②abc<0;③a+b+c<0;④a-b+c>0;⑤4a+2b+c>0,错误的个数有( )
A.1个 B. 2个
C.3个 D.4个
【解析】选B.∵抛物线的对称轴在直线x=-1的右侧,∴->-1,又图象的开口向下,∴a<0,∴2a-b<0,①正确;∵抛物线的对称轴在y轴左侧,根据“左同右反”知b<0,∵图象与y轴交于负半轴,∴c<0,∴abc<0,②正确;当x=1时,图象在x轴下方,∴a+b+c<0,③正确;当x=-1时,图象在x轴下方,∴a-b+c<0,④错误;当x=2时,图象在x轴下方,∴4a+2b+c<0,⑤错误.所以错误的共有2个.
【知识归纳】函数y=ax2+bx+c的图象与a,b,c符号的关系
系数的符号
图象特征
a的符号
开口向上?a>0,开口向下?a<0
b的符号
左同右异,顶点在y轴左侧,b与a符号相同;顶点在y轴右侧,b与a符号相异
c的符号
c为图象与y轴交点的纵坐标
3.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过点(1,0)和点(0,-2),且顶点在第三象限,设P=a-b+c,则P的取值范围是( )
A.-4B.-4C.-2D.-1【解析】选A.∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过点(1,0)和点(0,-2),
∴a+b+c=0,c=-2,∴a+b=2.∴b=2-a.
∴P=a-b+c=a-(2-a)-2=2a-4.
∵抛物线开口向上,∴a>0.①
∵抛物线的顶点在第三象限,∴-<0.
∴-<0.即-(2-a)<0.
∴a<2. ②
由①②得0即-44.抛物线y=x2+bx-1与y轴的交点坐标为 .
【解析】当x=0时,函数值y=-1,所以抛物线y=x2+bx-1与y轴的交点坐标为(0,-1).
答案:(0,-1)
【变式训练】已知抛物线y=x2+(n-3)x-n-1与y轴的交点坐标为(0,8),求这条抛物线的顶点P的坐标 .
【解析】把点(0,8)代入y=x2+(n-3)x-n-1得-n-1=8,
n=-9,所以抛物线的解析式为y=x2-12x+8=(x-6)2-28,
顶点P的坐标为(6,-28).
答案:(6,-28)
【知识归纳】二次函数y=ax2+bx+c与y轴的交点
二次函数y=ax2+bx+c与y轴的交点坐标为(0,c);
①c=0时,抛物线经过原点;
②c>0时,抛物线与y轴交于正半轴;
③c<0时,抛物线与y轴交于负半轴.
5.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则点P(a,bc)在第 象限.
【解析】∵抛物线的开口向下,∴a<0,
∵对称轴在y轴左边,∴a,b同号,即b<0,
∵抛物线与y轴的交点在正半轴上,∴c>0,
∴bc<0,
∴点P(a,bc)在第三象限.
答案:三
【错在哪？】作业错例 课堂实拍
把二次函数y=2x2-4x+3化成y=a(x-h)2+k的形式.
(1)找错:从第 步开始出现错误.
(2)纠错:_____________________________________________________.
答案：(1)①
(2)
=2(x2-2x+1+)=2(x-1)2+1.
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课时提升作业(十三)
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(第1课时)
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.把二次函数y=-x2-x+3用配方法化成y=a(x-h)2+k的形式为( )
A.y=-(x-2)2+2 B.y=(x-2)2+4
C.y=-(x+2)2+4 D.y=(x-)2+3
【解析】选C.y=-x2-x+3=-(x2+4x-12)
=-(x2+4x+4-12-4)=-[(x+2)2-16]
=-(x+2)2+4.
2.(2013·舟山中考)若一次函数y=ax+b(a≠0)的图象与x轴的交点坐标为(-2,0),则抛物线y=ax2+bx的对称轴为( )
A.直线x=1 B.直线x=-2
C.直线x=-1 D.直线x=-4
【解题指南】
【解析】选C.∵一次函数y=ax+b(a≠0)的图象与x轴的交点坐标为(-2,0),
∴-2a+b=0,即b=2a,
∴抛物线y=ax2+bx的对称轴为直线x=-=-1.
3.(2013·菏泽中考)已知b<0时,二次函数y=ax2+bx+a2-1的图象如下列四个图之一所示.根据图象分析,a的值等于( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
【解析】选C.由图可知,第1,2两个图形的对称轴为y轴,所以x=-=0,解得b=0,与b<0相矛盾;第3个图,抛物线开口向上,a>0,经过坐标原点,a2-1=0,解得a1=1,a2=-1(舍去),对称轴x=-=->0,所以b<0,符合题意,故a=1;第4个图,抛物线开口向下,a<0,经过坐标原点,a2-1=0,解得a1=1(舍去),a2=-1,对称轴x=-=->0,所以b>0,不符合题意,综上所述,a的值等于1.
【互动探究】根据上题中的正确图象分析b2-4ac的正负及抛物线与x轴的交点的横坐标的正负情况.
【解析】由图知,抛物线与x轴有两个交点,所以b2-4ac>0;与x轴的两交点的横坐标x1=0,x2>0.
【知识归纳】根据二次函数图象分析有关式子的正负情况
图形中x轴上标出的特殊值,对应的抛物线上的点在x轴的上方,则函数值大于0,对应的抛物线上的点在x轴的下方,则函数值小于0.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.二次函数y=2x2+bx+c的顶点坐标是(1,-2),则b= ,c= .
【解析】顶点坐标是,所以-=1,=-2,由已知条件,得a=2,
解得b=-4,c=0.
答案:-4 0
5.如图,已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2,点A,B均在抛物线上,且直线
AB∥x轴,其中点A的坐标为(0,3),则点B的坐标为 .
【解析】抛物线是轴对称图形,由题意知,点A与点B关于直线x=2对称,所以两点到直线x=2的距离相等,点A的坐标为(0,3),所以点B的坐标是(4,3).
答案:(4,3)
6.已知二次函数的图象开口向下,顶点在y轴的左侧且与y轴的正半轴相交.请写出一个符合条件的二次函数关系式: .
【解析】答案不唯一,由二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下可知,二次项系数a为负值,又顶点在y轴的左侧,所以b<0,又与y轴的正半轴相交,所以c>0.
答案:y=-2x2-6x+1(答案不唯一)
【知识归纳】对称轴的位置与a,b的符号关系(左同右异)
(1)对称轴在y轴的左侧,a,b同号;
(2)对称轴在y轴的右侧,a,b异号.
三、解答题(共26分)
7.(8分)已知二次函数y=(m-2)x2+(m+3)x+m+2的图象过点(0,5).
(1)求m的值,并写出二次函数的解析式.
(2)求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴.
(3)何时函数y有最大值或最小值?若有最大值或最小值,其是多少?何时y随x的增大而减小?
【解析】(1)因为二次函数图象过点(0,5),当x=0时,函数值y=m+2=5,m=3,二次函数的解析式为y=x2+6x+5.
(2)由二次函数y=x2+6x+5得-=-=-3,
==-4,
所以函数的顶点坐标为(-3,-4),对称轴x=-3.
(3)因为a=1>0,所以二次函数的图象开口向上,
当x=-3时,二次函数有最小值,为-4,
当x<-3时,y随x的增大而减小.
8.(8分)求二次函数y=mx2+2mx+3(m>0)的图象的对称轴,并说出该函数具有哪些性质.
【解析】二次函数y=mx2+2mx+3中,a=m,b=2m,c=3,-=-=-1,即对称轴是直线x=-1.因为m>0,所以抛物线开口向上,当x<-1时,y随x的增大而减小,当x>-1时,y随x的增大而增大.与y轴的交点坐标为(0,3),与y轴交于正半轴.
【培优训练】
9.(10分)如图抛物线y=ax2-5ax+4a与x轴相交于点A,B,且过点C(5,4).
(1)求a的值和该抛物线顶点P的坐标.
(2)请你设计一种平移的方法,使平移后抛物线的顶点落在第二象限,并写出平移后抛物线的关系式.
【解析】(1)把点C(5,4)代入抛物线y=ax2-5ax+4a,得25a-25a+4a=4,解得a=1.
∴该二次函数的解析式为y=x2-5x+4.
∵y=x2-5x+4=-,
∴顶点P的坐标为.
(2)(答案不唯一)
如先向左平移3个单位,再向上平移4个单位,得到的二次函数的顶点坐标为,此时的关系式为
y=+,即y=x2+x+2.
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