课件19张PPT。22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
第2课时1.二次函数一般式的求法
求二次函数的解析式,关键是求出解析式y=ax2+bx+c中a,b,c的
值,方法是根据已知条件,列出关于a,b,c的_______,求出a,b,c
的值,然后写出二次函数解析式.方程组2.二次函数解析式的形式及图象特点原点yyyxhk【思维诊断】(打“√”或“×”)
1.用待定系数法求二次函数解析式,只要知道图象上三个点的
坐标即可.( )
2.抛物线经过原点,可设其解析式为y=ax2+bx.( )
3.若抛物线的顶点坐标为(2,5),则可设解析式为y=a(x+2)2
+5.( )
4.已知二次函数y=x2+x+m的图象过点(1,2),则m的值为2.( )
5.抛物线y=a(x+2)(x-8)(a≠0)与x轴的交点坐标分别为(-2,0)
和(8,0).( )√√××√知识点一 利用三点坐标确定二次函数的一般式
【示范题1】二次函数的图象经过点A(0,-3),B(1,3),C(-2,-3).
(1)求此二次函数的解析式.
(2)求此二次函数图象的顶点坐标及对称轴.
(3)填空:把二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移几个单位,使得该图象的顶点在原点. 【思路点拨】(1)设解析式为y=ax2+bx+c→把点A(0,-3), B(1,3),C(-2,-3)代入解析式→求出a,b,c的值→写出解析式.
(2)配成顶点式→顶点坐标、对称轴.
(3)顶点坐标向左(右)、上(下)平移→原点.【自主解答】(1)设解析式为y=ax2+bx+c,
把点A(0,-3),B(1,3),C(-2,-3)代入y=ax2+bx+c,
所以解析式为y=2x2+4x-3.(2)y=2x2+4x-3=2(x+1)2-5,所以顶点坐标为(-1,-5),对称轴为直线x=-1.
(3)顶点(-1,-5)向右平移1个单位,再向上平移5个单位到原点,所以把二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移6个单位,使得该图象的顶点在原点.【想一想】
已知二次函数y=ax2+bx+c,当x=3时,函数取得最大值10,且它的图象在x轴上截得的弦长为4,若要求函数解析式,怎么确定其他点的坐标?
提示:由题意知,函数图象的顶点坐标为(3,10),且图象在x轴上截得的弦长为4,因为图象具有轴对称的性质,所以图象与x轴的交点到对称轴x=3的距离是2,即可求出与x轴的交点坐标为(1,0),(5,0).【微点拨】利用三点坐标确定二次函数的一般式
1.一般情况下,把三点的坐标代入解析式y=ax2+bx+c,列方程组.
2.如果没有直接给出三点的坐标,可通过图象的性质求出其他点的坐标.【方法一点通】
确定二次函数一般式的“四步骤”
1.设:设二次函数解析式为y=ax2+bx+c(a≠0).
2.列:根据题意列方程组.
3.解:解方程组.
4.定:确定二次函数解析式.知识点二 利用顶点式确定二次函数解析式
【示范题2】(2013·安徽中考)已知二次函数图象的顶点坐标为(1,-1),且过原点(0,0),求该函数的解析式.【教你解题】【想一想】
已知二次函数图象的顶点坐标为(2,-6),与y轴交点坐标为(0,2),用哪种解析式形式求法较简单?
提示:用顶点式设二次函数解析式为y=a(x-2)2-6,
把点(0,2)代入,得a·(0-2)2-6=2,解得a=2,
所以抛物线的解析式为y=2(x-2)2-6.【备选例题】当x=4时,函数y=ax2+bx+c的最小值为-8,抛物线过点(6,0).求抛物线的解析式.
【解析】由题意知,抛物线的顶点坐标为(4,-8),设二次函数解析式为y=a(x-4)2-8,把点(6,0)代入上式,得a·(6-4)2-8=0,解得a=2,所以抛物线的解析式为y=2(x-4)2-8.【方法一点通】
用顶点式求解析式的“三种情况”
1.已知顶点坐标.
2.已知对称轴或顶点的横坐标.
3.已知二次函数的最大(小)值或顶点的纵坐标.温馨提示：
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提技能·题组训练
利用三点坐标确定二次函数的一般式
1.若y=ax2+bx+c(a≠0),则由表格中信息可知y与x之间的函数关系式是( )
x
-1
0
1
ax2
1
ax2+bx+c
8
3
A.y=x2-4x+3 B.y=x2-3x+4
C.y=x2-3x+3 D.y=x2-4x+8
【解题指南】
【解析】选A.观察表格可得方程组
,解得,
即y=x2-4x+3.
2.二次函数y=x2+mx+n,若m-n=0,则它的图象必经过的点是( )
A.(-1,1) B.(1,-1)
C.(-1,-1) D.(1,1)
【解析】选A.当x=-1时,函数值y=1-m+n,因为m-n=0,所以-m+n=0,即y=1-m+n=1,所以图象过点A(-1, 1).
3.(2013·北京中考)请写出一个开口向上,并且与y轴交于点(0,1)的抛物线的解析式y= .
【解题指南】解答本题的关键
(1)a>0,开口向上;a<0,开口向下.
(2)c的值等于抛物线与y轴交点的纵坐标.
【解析】答案不唯一,如,y=ax2+1(只要a>0均可),y=x2-2x+1等.
答案:x2+1(答案不唯一)
4.已知一个二次函数的图象过(0,-3),(4,5),(-1,0)三点,求这个函数的解析式.
【解析】设所求的二次函数为y=ax2+bx+c(a≠0),
∵二次函数的图象过点(0,-3),(4,5),(-1,0).
∴解得
所以二次函数的解析式为y=x2-2x-3.
5.二次函数图象过A,C,B三点,点A的坐标为(-1,0),点B的坐标为(4,0),点C在y轴正半轴上,且AB=OC.
(1)求点C的坐标.
(2)求二次函数的解析式.
【解析】(1)∵A(-1,0),B(4,0),
∴AO=1,OB=4,AB=AO+OB=1+4=5,∴OC=5,即点C的坐标为(0, 5).
(2)设图象经过A,C,B三点的二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),由于这个函数图象过点(0,5),
可以得到c=5,又由于该图象过点(-1,0),(4,0),
则解方程组,得
∴所求的函数解析式为y=-x2+x+5.
利用顶点式确定二次函数解析式
1.下列二次函数中,图象以直线x=2为对称轴且经过点(0,1)的是( )
A.y=(x-2)2+1 B.y=(x+2)2+1
C.y=(x-2)2-3 D.y=(x+2)2-3
【解析】选C.根据以直线x=2为对称轴可知选项A,C符合,再根据图象经过点(0,1)知选项C符合.
2.已知一个二次函数的顶点是(-1,0),且过点(2,18),此二次函数解析式为 .
【解析】设二次函数的解析式为y=a(x+1)2,
把点(2,18)代入上式,得a·(2+1)2=18,解得a=2,
所以此二次函数解析式为y=2(x+1)2.
答案:y=2(x+1)2
3.已知当x=-1时,抛物线最高点的纵坐标为4,且与x轴两交点之间的距离为6,求此函数解析式.
【解析】根据题意得顶点为(-1,4)由条件得与x轴交点坐标(2,0),(-4,0),设二次函数解析式:y=a(x+1)2+4把点(2,0)代入上式,得0=a(2+1)2+4,解得a=-.
所以此抛物线解析式为y=-(x+1)2+4.
【变式训练】已知二次函数的图象的对称轴为x=2,函数的最小值为3,且图象经过点(-1,5),求此二次函数的解析式.
【解析】根据题意设二次函数的解析式为y=a(x-2)2+3,
将点(-1,5)代入得a=.
∴二次函数的解析式为y=x2-x+.
4.(2013·宁波中考)已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交
于点A(1,0),B(3,0)且过点C(0,-3)
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标.
(2)请你写出一种平移的方法,使平移后抛物线的顶点
落在直线y=-x上,并写出平移后抛物线的解析式.
【解析】(1)∵抛物线与x轴交于点A(1,0),B(3,0),
可设抛物线解析式为y=a(x-1)(x-3),
把C(0,-3)代入得:3a=-3,解得:a=-1,
∴抛物线解析式为y=-(x-1)(x-3),
即y=-x2+4x-3,
∵y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1,
∴顶点坐标(2,1).
(2)先向左平移2个单位,再向下平移1个单位,得到的抛物线的解析式为y=-x2,平移后抛物线的顶点为(0,0)落在直线y=-x上.(答案不唯一)
【错在哪？】作业错例 课堂实拍
二次函数y=mx2-3x+2m-m2的图象过原点,则m= .
(1)找错:第 步出现错误.
(2)纠错:
.
答案：(1)③
(2)又因为函数是二次函数,所以m≠0,所以当m=2时,二次函数y=mx2-3x+2m-m2的图象过原点.
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课时提升作业(十四)
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(第2课时)
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.若二次函数y=ax2+bx+a2-2(a,b为常数)的图象如图,则a的值为( )
A.1 B. C.- D.-2
【解析】选C.∵图象经过原点,∴a2-2=0,得a=或a=-;∵图象开口向下,
∴a小于0,∴a=-.
2.已知一条抛物线的顶点在x轴上,且当x<-1时,y随x的增大而增大,当x>-1时,y随x的增大而减小,又知该抛物线与y轴的交点是(0,-2),则此抛物线的解析式为( )
A.y=-2(x+1)2 B.y=2(x+1)2
C.y=-2(x-1)2 D.y=2(x-1)2
【解析】选A.根据题意,可设抛物线的解析式为y=a(x+1)2.
把(0,-2)代入,得-2=a(0+1)2.解得a=-2.
所以抛物线的解析式为y=-2(x+1)2.
3.二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示,下列几个结论:
①对称轴为直线x=2;
②当x>0时,y随x的增大而增大;
③函数解析式为y=-x2+4x,其中正确的结论有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【解析】选C.根据图象可以得到以下信息,抛物线开口向下,
∵与x轴交于(0,0),(4,0)两点,
∴对称轴为x=2.故①正确;
当x>2时,y随x的增大而减小,故②错误;
由题知∴
∴解析式为:y=-x2+4x.故正确的有①③.
【互动探究】若二次函数y=-x2+bx+c的图象如3题图,图象上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),其中1【解析】由图知,二次函数图象的对称轴是直线x=2,若点A的对称点C的坐标为(x3,y3),则2y2,即y1>y2.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.(2013·牡丹江中考)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过(1,2)和(-1,-6)两点,则a+c= .
【解析】将(1,2)和(-1,-6)代入y=ax2+bx+c,得①+②,得2a+2c=-4,即a+c=-2.
答案:-2
【易错提醒】用待定系数法求解析式,是把三点的坐标代入解析式,求出a,b,c的值,但本题只有两点的坐标,不能求出a,b,c的值,可以整体求出a+c的值.
5.若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A(2,1),且经过点B(1,0),则抛物线的函数解析式为 _____________.
【解析】根据题意,设y=a(x-2)2+1,抛物线经过点(1,0),所以a+1=0,a=-1.
因此抛物线的解析式为y=-(x-2)2+1=-x2+4x-3.
答案:y=-x2+4x-3
6.已知抛物线与x轴交于A(-1,0),B(1,0)两点,并经过点M(0,1),则抛物线的解析式为 ___.
【解析】设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-1),
将点M(0,1)代入,得1=a(0+1) (0-1),
解得a=-1,
所以抛物线的解析式为
y=-(x+1)(x-1)=-x2+1.
答案:y=-x2+1
三、解答题(共26分)
7.(8分)已知抛物线的顶点为(1,-4),且过点(0,-3),求抛物线的解析式.
【解析】设所求的二次函数为y=a(x-1)2-4,
∵点(0,-3)在抛物线上,
∴a-4=-3,∴a=1,
∴所求的抛物线解析式为y=(x-1)2-4
即y=x2-2x-3.
8.(8分)(2013·湖州中考)已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A(3,0),B(-1,0).
(1)求抛物线的解析式.
(2)求抛物线的顶点坐标.
【解析】(1)∵抛物线y=-x2+bx+c经过点A(3,0),B(-1,0),
∴解得:
∴抛物线解析式为:y=-x2+2x+3.
(2)∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,
∴抛物线的顶点坐标为(1,4).
【一题多解】(1)设抛物线的解析式为y=a(x-3)(x+1),由题意知,a=-1,即y=-x2+2x+3.
(2)∵x=-=-=1,
y===4,
∴抛物线的顶点坐标为(1,4).
【知识归纳】巧妙选择二次函数解析式
1.已知图象上三点或三对的对应值,通常选择一般式.
2.已知图象的顶点坐标(对称轴和最值),通常选择顶点式.
3.已知图象与x轴的两个交点的横坐标x1,x2,通常选择交点式.
【培优训练】
9.(10分)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点O,交x轴于点A,其顶点B的坐标为(3,-).
(1)求该抛物线的函数解析式及点A的坐标.
(2)在抛物线上求点P,使S△POA=2S△AOB.
【解析】(1)∵抛物线的顶点为B(3,-),
∴设y=a(x-3)2-,
∵抛物线经过原点(0,0),
∴0=a(0-3)2-,
∴a=.
∴y=(x-3)2-,即y=x2-x.
令y=0,得x2-x=0.
解得x1=0,x2=6,
∴A点坐标为(6,0).
(2)∵△AOB与△POA同底不同高,且S△POA=2S△AOB,
∴△POA中OA边上的高是△AOB中OA边上的高的2倍,
分析知P点纵坐标是2.
∴2=x2-x,x2-6x-18=0,
解得x1=3+3,x2=3-3,
∴P1(3+3,2),P2(3-3,2).
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