课件20张PPT。22.2
二次函数与一元二次方程通过二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象可知,
(1)如果抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有公共点,公共点的横
坐标是x0,那么当x=x0时,函数的值为__,因此x=__就是方程
ax2+bx+c=0的一个根.
(2)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的位置关系与一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)的根的关系:0x0有两个两个不相等有一个两个相等没有【思维诊断】(打“√”或“×”)
1.抛物线y=x2-6x+9与x轴有一个公共点.( )
2.二次函数图象如果经过原点,则此图象与x轴有两个交点.( )
3.如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交,则一元二次方程
ax2+bx+c=0有实数根.( )
4.利用二次函数的图象求得一元二次方程的根一般是近似
的.( )√×√√知识点一 二次函数与一元二次方程的关系
【示范题1】已知抛物线的解析式为y=x2-(2m-1)x+m2-m.
(1)求证:此抛物线与x轴必有两个不同的交点.
(2)若此抛物线与直线y=x-3m+4的一个交点在y轴上,求m的值.【解题探究】(1)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况取
决于b2-4ac,要说明二次函数的图象与x轴有两个不同的交点,
需要说明什么?
提示:要说明二次函数的图象与x轴有两个不同的交点,需要说
明b2-4ac>0.
(2)如何确定m的值?
提示:由交点在y轴上,得出交点的横坐标为0,即x=0时,m2-m=
-3m+4,解得m1=-1+ ,m2=-1- .【尝试解答】(1)∵a=1,b=-(2m-1),c=m2-m,
∴b2-4ac=[-(2m-1)]2-4×1×(m2-m)=4m2-4m+1-4m2+4m=1>0,
∴方程x2-(2m-1)x+m2-m=0有两个不相等的实数根.
∴抛物线y=x2-(2m-1)x+m2-m与x轴必有两个不同的交点.
(2)令x=0,则m2-m=-3m+4,解得m1=-1+ ,m2=-1- .【想一想】
若要求抛物线y=3x2-2x+1与直线y=x+1的交点的横坐标,那么需求哪个方程的解?并求出结果.
提示:若求抛物线与直线的交点的横坐标,即求方程3x2-2x+1 =x+1的解,即为交点的横坐标.解得x1=0,x2=1.所以抛物线y=3x2-2x+1与直线y=x+1的两交点的横坐标为0和1.【微点拨】利用一元二次方程的根求抛物线与直线交点坐标
当抛物线y=ax2+bx+c与直线y=mx+n的函数值相等时,可列出一元二次方程ax2+bx+c=mx+n,求得的解即为两图象交点的横坐标,再求出相应的纵坐标,即得交点坐标.【方法一点通】
二次函数与一元二次方程关系的“两方面”
1.“数”的方面:当二次函数y=ax2+bx+c的函数值等于0时,相应的自变量的值为一元二次方程ax2+bx+c=0的解.
2.“形”的方面:二次函数y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标为一元二次方程ax2+bx+c=0的解.知识点二 利用二次函数图象求一元二次方程的根
【示范题2】利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-2=0的近似根(精确到0.1).
【思路点拨】先根据所求解的方程确定二次函数,再配方,画出函数的图象,根据图象与x轴的交点,直接观察出方程的根或应用取平均值的方法逐步逼近方程的近似根. 【自主解答】∵y=x2+2x-2=(x+1)2-3,
∴顶点坐标为(-1,-3),对称轴为直线x=-1.
列表:描点、连线.方法一:由图象知方程x2+2x-2=0的根近似为-2.7与0.7.
方法二:由图象知x2+2x-2=0的一个根在-3与-2之间,
当x=-2.5时,y=-0.75;当x=-2.75时,y=0.0625;
当x=-2.625时,y≈-0.3594;当x=-2.6875时,y≈-0.1523;
∵|2.75-2.6875|=0.0625<0.1,
∴方程x2+2x-2=0的一个近似根为-2.6875,x1≈-2.7;
类似地可以得到x2+2x-2=0的另一个在0与1之间的近似根x2≈0.7.【想一想】
已知抛物线y=2x2-kx-1与x轴两交点的横坐标,一个大于2,另一个小于2,试求k的取值范围.
提示:∵抛物线y=2x2-kx-1与x轴两交点
横坐标一个大于2,另一个小于2,
∴此函数的图象大致位置如图所示.
由图象知:当x=2时,y<0.
即2×22-2k-1<0,∴k> .
∴k的取值范围为k> .【微点拨】利用二次函数图象求一元二次方程近似根的三步骤
1.先画出函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象.
2.通过图象观察一元二次方程的根的取值范围.
3.通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围,求得一元二次方程的近似根.【方法一点通】
根据抛物线与x轴交点的范围判定字母的范围
1.a>0时,抛物线与x轴两交点横坐标一个大于x0,另一个小于x0,当x=x0时,函数值为负.
2.a<0时,抛物线与x轴两交点横坐标一个大于x0,另一个小于x0,当x=x0时,函数值为正.温馨提示：
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提技能·题组训练
二次函数与一元二次方程的关系
1.(2013·苏州中考)已知二次函数y=x2-3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1,0),则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根是( )
A.x1=1,x2=-1 B.x1=1,x2=2
C.x1=1,x2=0 D.x1=1,x2=3
【解析】选B.∵二次函数的解析式是y=x2-3x+m(m为常数),∴该抛物线的对称轴是x=.
又∵二次函数y=x2-3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1,0),
∴根据抛物线的对称性质知,该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是(2,0),
∴关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根分别是x1=1,x2=2.
2.(2014·临潭一中质检)已知二次函数y=x2+x+m,当x取任意实数时,都有y>0,则m的取值范围是( )
A.m≥ B.m> C.m≤ D.m<
【解析】选B.因为当x取任意实数时,都有y>0,又二次函数的图象开口向上,所以图象与x轴没有交点,所以b2-4ac<0,即1-4m<0,即m>.
【知识归纳】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的交点个数与b2-4ac的关系
(1)Δ=b2-4ac>0等价于抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个公共点.
(2)Δ=b2-4ac=0等价于抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴只有一个公共点.
(3)Δ=b2-4ac<0等价于抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴没有公共点.
3.(2013·株洲中考)二次函数y=2x2+mx+8的图象如图所示,则m的值是( )
A.-8 B.8 C.±8 D.6
【解析】选B.方法一:由题意得=0,解得m=±8.
∵-<0,∴m>0,∴只取m=8.
方法二:由题意得Δ=m2-4×2×8=0,解得m=±8(下同方法一).
4.(2013·牡丹江中考)抛物线y=ax2+bx+c(a<0)如图所示,则关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是( )
A.x<2 B.x>-3
C.-3
1
【解题指南】
【解析】选C.观察图象,可知当-30,即ax2+bx+c>0,∴关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是-35.(2013·黄石中考)若关于x的函数y=kx2+2x-1与x轴仅有一个公共点,则实数k的值为 .
【解析】k≠0时,Δ=4+4k=0,可求出k=-1;当k=0时,函数为一次函数y=2x-1,也成立.
答案:0或-1
【易错提醒】当k=0时,函数为一次函数,此时图象与x轴仅有一个公共点,不要只认为函数为二次函数,对于本题,易遗漏一次函数的情况.
【变式训练】函数y=kx2-6x+3的图象与x轴有交点,则k的取值范围是( )
A.k<3 B.k<3且k≠0
C.k≤3 D.k≤3且k≠0
【解析】选C.当k≠0时,Δ=(-6)2-4k×3≥0,解得k≤3,且k≠0;当k=0时,函数为一次函数y=-6x+3,此时图象与x轴有交点.所以k的取值范围是k≤3.
6.已知抛物线y=x2-2kx+9的顶点在x轴上,则k= .
【解析】因为抛物线y=x2-2kx+9的顶点在x轴上,所以其与x轴有一个交点,即一元二次方程x2-2kx+9=0有两个相等的实数根,Δ=(-2k)2-4×1×9=0,解得k=±3.
答案:±3
7.已知函数解析式为y=ax2-(1-3a)x+2a-1.
求证:a取任何实数时,函数y=ax2-(1-3a)x+2a-1与x轴总有交点.
【证明】①当a=0时,解析式为y=-x-1,此时函数为一次函数,图象与x轴有一个交点.
②当a≠0时,此时为二次函数y=ax2-(1-3a)x+2a-1,
∵b2-4ac=[-(1-3a)]2-4a(2a-1)=a2-2a+1=(a-1)2≥0总成立,∴二次函数图象与x轴总有交点.
综上,a取任何实数时,函数y=ax2-(1-3a)x+2a-1与x轴总有交点.
利用二次函数图象求一元二次方程的根
1.根据下列表格的对应值:
x
3.23
3.24
3.25
3.26
ax2+bx+c
-0.06
-0.02
0.03
0.07
判断方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的一个解的范围是( )
A.3C.3.24【解析】选C.由表格的对应值可以发现,当3.232.(2014·浙江汤溪中学月考)如图,已知抛物线y=x2+bx+c经过点(0,-3),请你确定一个b的值使该抛物线与x轴的一个交点在(1,0)和(3,0)之间,你所确定的b的值是 .
【解析】由题意可知c=-3,解析式为y=x2+bx-3,若抛物线与x轴的一个交点在(1,0)和(3,0)之间,则得-2答案:-(答案不唯一)
3.请画出适当的函数图象,求方程x2=x+3的解.
【解析】在同一坐标系中如图所示,画出函数y=x2的图象,画出函数y=x+3的图象,这两个图象的交点为A,B,交点A,B的横坐标-和2就是方程x2=x+3的解.
4.利用函数的图象,求方程x2+2x-3=0的解.
【解析】在同一直角坐标系中画出函数y=x2和y=-2x+3的图象如图:得到它们的交点(-3,9),(1,1),
则方程x2+2x-3=0的解为x1=1,x2=-3.
【互动探究】若利用函数图象求方程2x2-4x-3=0的解,则应画哪两个函数的图象?
【解析】方程2x2-4x-3=0可变形为2x2=4x+3,所以应画二次函数y=2x2和一次函数y=4x+3的图象.
【错在哪？】作业错例 课堂实拍
已知二次函数y=kx2-3x-2的图象与x轴有两个交点,求k的取值范围.
(1)找错:从第 步开始出现错误.
(2)纠错:_________________________________________________________.
答案：(1)③
(2)因为此函数是二次函数，所以k≠0,所以k的取值范围是k＞-，且k≠0
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课时提升作业(十五)
二次函数与一元二次方程
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.抛物线y=-3x2-x+4与坐标轴的交点的个数是( )
A.3 B.2 C.1 D.0
【解析】选A.抛物线与y轴总有一个交点,由于(-1)2-4×(-3)×4=49>0,抛物线与x轴有两个交点,于是抛物线与坐标轴有3个交点.
2.(2014·黄冈马畈中学质检)函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么关于x的方程ax2+bx+c-2=0的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根
B.有两个异号的实数根
C.有两个相等的实数根
D.没有实数根
【解析】选A.由图知,函数y=ax2+bx+c的最大值是3,所以函数y=ax2+bx+c-2的图象的最大值是1,且开口向下,与x轴有两个交点,所以一元二次方程ax2+bx+c-2=0有两个不相等的实数根,C,D错;而函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的两交点都在x轴的正半轴上,此图象向下平移两个单位,与x轴的两交点还在x轴的正半轴上,所以ax2+bx+c-2=0有两个同号的根,都是正的,B错;所以选A.
3.(2013·江西中考)若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴有两个交点,坐标分别为(x1,0),(x2,0),且x1A.a>0 B.b2-4ac≥0
C.x1【解析】选D.抛物线与x轴有不同的两个交点,则b2-4ac>0,与B矛盾,可排除B选项;剩下A,C,D不能直接判断,我们分a>0,a<0两种情况画出两个草图来分析(如图).
由图可知a的符号不能确定(可正可负,即抛物线的开口可向上,也可向下),所以x0,x1,x2的大小就无法确定;在图1中,a>0且有x1二、填空题(每小题4分,共12分)
4.小颖用几何画板软件探索方程ax2+bx+c=0的实数根,作出了如图所示的图象,观察后得一个近似根为x1=-4.5,则方程的另一个近似根为x2= (精确到0.1).
【解析】由函数图象可知,此函数的对称轴为x=-1,若x1=-4.5,则=-1,解得x2=2.5.
答案:2.5
5.已知二次函数y=x2+2x+m的图象与x轴有且只有一个公共点,则抛物线的顶点坐标为 _________.
【解析】因为二次函数y=x2+2x+m的图象与x轴有且只有一个公共点,所以b2-4ac=0,即22-4m=0,解得m=1,此时二次函数解析式为y=x2+2x+1=(x+1)2.顶点坐标为(-1,0).
答案:(-1,0)
【变式训练】已知二次函数y=x2+2x+m的图象与x轴有且只有一个公共点,则一元二次不等式x2+2x+m>0的解集为 .
【解析】因为二次函数y=x2+2x+m的图象与x轴有且只有一个公共点,且开口向上,所以y≥0,只有在顶点处,当x=-=-=-1时,y=0,即一元二次不等式x2+2x+m>0的解集为x≠-1.
答案:x≠-1
6.二次函数y=x2-2x-3的图象如图所示.当y<0时,自变量x的取值范围是 .
【解析】该抛物线与x轴的交点为(-1,0)和(3,0),当y<0时,自变量x的取值范围是-1答案:-1【知识归纳】抛物线与x轴有两个交点时函数值的正负与x的取值范围的关系
(1)a>0时,抛物线与x轴有两个交点(x1,0),(x2,0),不妨令x10时的x的取值范围是xx2;y<0时的x的取值范围是x1(2)a<0时,抛物线与x轴有两个交点(x1,0),(x2,0),不妨令x10时的x的取值范围是x1x2.
三、解答题(共26分)
7.(8分)(2014·邮亭中学月考)已知抛物线y=x2+x+c与x轴有两个不同的交点.
(1)求c的取值范围.
(2)抛物线y=x2+x+c与x轴的两交点间的距离为2,求c的值.
【解题指南】解答本题的关键:
抛物线y=ax2+bx+c与x轴两交点的横坐标分别为x1,x2,则一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1,x2,且x1+x2=-,x1·x2=.
【解析】(1)∵抛物线与x轴有两个不同的交点,
∴Δ>0,即1-2c>0,解得c<.
(2)设抛物线y=x2+x+c与x轴的两交点的横坐标为x1,x2(x1>x2),
∵两交点间的距离为2,
∴x1-x2=2.
由题意,得x1+x2=-2,
解得x1=0,x2=-2,
∴2c=x1x2=0,即c的值为0.
8.(8分)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,根据图象解答下列问题:
(1)写出方程ax2+bx+c=0的两个根.
(2)写出不等式ax2+bx+c>0的解集.
(3)若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根,求k的取值范围.
【解析】(1)由图象知,对称轴是直线x=2,与x轴的一个交点坐标为(3,0),与x轴的另一个交点坐标为(1,0),抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的两个根,所以方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=1,x2=3.
(2)由图知,当10的解集是1(3)若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根,则二次函数y=ax2+bx+c-k的图象与x轴有两个交点,所以k<2.
【互动探究】若第(3)小题中“有两个不相等的实数根”改为“没有实数根”,则k的取值范围是什么?
【解析】若方程ax2+bx+c=k没有实数根,则二次函数y=ax2+bx+c-k的图象与x轴没有交点,即二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象向下平移的距离大于2,所以k的取值范围是k>2.
【培优训练】
9.(10分)(2013·广州中考)已知抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0,a≠c)过点A(1,0),顶点为B,且抛物线不经过第三象限.
(1)用a,c表示b.
(2)判断点B所在象限,并说明理由.
(3)若直线y2=2x+m经过点B,且与该抛物线交于另一点C(,b+8),求当x≥1时y1的取值范围.
【解析】(1)∵抛物线过点A(1,0),
∴a+b+c=0,∴b=-a-c.
(2)B在第四象限.理由如下:
因为方程ax2+bx+c=0两根为x1=1,x2=,a≠c,
所以抛物线与x轴有两个交点.
又因为抛物线不经过第三象限,
所以a>0,且顶点在第四象限.
(3)由(2)知抛物线与x轴两个交点为A(1,0)与.
∵直线y2=2x+m与该抛物线交于点B、点C,
∴点C就是抛物线与x轴的一个交点,即b+8=0,b=-8,此时-a-c=-8,y1=ax2-8x+c,抛物线顶点B的坐标为.
把B,C两点代入直线解析式y2=2x+m,得ac+2c=24.
又a+c=8,解得a=c=4(与a≠c矛盾,舍去)或a=2,c=6.∴y1=2x2-8x+6,B(2,-2).
画出上述二次函数的图象,观察图象知,当x≥1时,y1的最小值为顶点纵坐标-2,且无最大值.
∴当x≥1时,y1的取值范围是y1≥-2.
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