课件20张PPT。22.3 实际问题与二次函数
第1课时1.与利润有关的几个关系式
(1)总价、单价、数量的关系:总价=单价×_____.
(2)利润、售价、进价的关系:利润=_____-进价.
(3)总利润、单件利润、数量的关系:总利润=_________×数量.
2.抛物线y=ax2+bx+c的最值
当x=______时,二次函数y=ax2+bx+c有最大(小)值_________.数量售价单件利润【思维诊断】(打“√”或“×”)
1.利用二次函数的顶点坐标可求得实际问题的最大或最小值.
( )
2.函数y=2x2+3x有最大值.( )
3.用长度一定的绳子围成几何图形时,形状为圆时面积最大.
( )××√知识点一 商品利润最优化问题
【示范题1】(2013·南充中考)某商场购进一种每件价格为100元的新商品,在商场试销发现:销售单价x(元/件)与每天销售量y(件)之间满足如图所示的关系:(1)求出y与x之间的函数关系式.
(2)写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式;若你是商场负责人,会将售价定为多少,来保证每天获得的利润最大,最大利润是多少?【思路点拨】(1)根据图象可知y是x的一次函数及两个点的坐标,先设出一次函数的一般式,再代入两点的坐标,得到一个方程组,再解方程组,然后代入一次函数一般式即可.
(2)根据每天的利润=单件利润×每天销售量,再将(1)的y代入可得出W与x之间的函数关系式;然后将二次函数化为顶点式即可求出最大值.【自主解答】(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0).
由所给函数图象得
∴y与x之间的函数关系式为y=-x+180.
(2)W=(x-100)y=(x-100)(-x+180)
=-x2+280x-18000=-(x-140)2+1600.
当x=140时,W最大=1600.
∴售价定为140元/件时,每天获得利润最大,最大利润是1600元.【想一想】
某商场以80元/条的价格购进裤子1000条,已知每条定价为100元时,可全部售出.如果定价每提高1%,则销售量就下降0.5%,为了提高利润,定价越高利润越高,正确吗?
提示:不正确,设定价提高x%,则销售量下降0.5x%,即当定价为100(1+x%)元时,销售量为1000(1-0.5x%)条.总利润y=100(1 +x%)·1000(1-0.5x%)-80000=-5x2+500x+20000=-5(x-50)2 +32500.当x=50时,y有最大值32500.当x>50时,函数值y随x的增大而减小.并不是定价越高利润越高.【微点拨】解决实际问题中的最值问题应注意:
(1)利用二次函数的最值问题解决.
(2)依据是二次函数的基本性质.
(3)考虑实际情况.【方法一点通】
利用二次函数求最值的“四点注意”
1.要把实际问题正确地转化为二次函数问题.
2.列函数关系式时要注意自变量的取值范围.
3.若图象不含顶点,应根据函数的增减性来确定最值.
4.有时根据顶点求出的最值不一定是函数在实际问题中的最值,实际问题中的最值应在自变量的取值范围内求取.知识点二 面积的最优化问题
【示范题2】某广告公司要为客户设计一幅周长为12m的矩形广告牌,广告牌的设计费为每平方米1000元.请你设计一个广告牌的方案,使得根据这个方案所确定的广告牌的长和宽能使获得的设计费最多,设计费最多为多少元?【解题探究】(1)已知矩形周长为12m,设一边长为xm,另一边用x怎么表示?
提示:另一边为(6-x)m.
(2)用含x的式子表示出矩形的面积后,怎么研究矩形的面积最大?
提示:矩形的面积为S=x(6-x)=-x2+6x,这样就可以利用二次函数的性质求面积的最大值了.【尝试解答】设矩形一边长为xm,面积为Sm2,
∵周长为12m,则另一边为(6-x)m,
其面积S=x(6-x)=-x2+6x.
∵0<2x<12,∴0∵S=x(6-x)=-(x-3)2+9,a=-1<0,
∴S有最大值.
当x=3时,S最大值=9.
∴设计费最多为9×1000=9000(元).
答:矩形的两边都是3m时设计费最多,最多为9000元.【想一想】
已知AB=2,C是AB上一点,四边形ACDE和四边形CBFG都是正方形,设BC=x,总面积S取最大值或最小值时,点C在AB的什么位置?提示:当BC=x时,AC=2-x(0≤x≤2).S=(2-x)2+x2=2x2-4x+4=2(x-1)2+2,当x=1时,S最小=2,C点恰好在AB的中点上;当x=0或x=2时,S最大=4,C点恰好在B(A)处.【微点拨】实际问题中求最值的几点注意:
(1)确定实际问题中自变量的取值范围.
(2)最值是否在取值范围内.
(3)取值范围内有时既有最大值又有最小值.【方法一点通】
应用二次函数解决面积最大问题的步骤
1.分析题中的变量与常量.
2.找出等量关系,根据几何图形的面积公式建立函数模型.
3.结合函数图象及性质,考虑实际问题中自变量的取值范围,求出面积的最大或最小值.温馨提示：
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提技能·题组训练
商品利润最优化问题
1.某商店经营一种玩具,已知所获利润y(元)与销售的单价x(元)之间的关系为y=-x2+24x+2956,则获利最多为( )
A.3144元 B.3100元 C.144元 D.2956元
【解析】选B.当x=-=-=12时,==3100(元).
【一题多解】用配方法将方程转化为顶点式:y=-x2+24x+2956=-(x-12)2+3100,所以当x=12时,获利最多为3100元.
2.为丰富城市菜篮子,市郊某村一年中修建了一些蔬菜大棚.平均修建每公顷大棚要用的支架、塑料膜等材料的费用为27000元,此外还要购置喷灌设备,这项费用(元)与大棚面积(公顷)的平方成正比,比例系数为9000.每公顷大棚的年平均经济收益为75000元,若要使菜农的收益达到最大,应修建 公顷大棚.
【解析】设大棚面积为x,喷灌设备的费用为9000x2,菜农所获得的收益为y元,根据题意得:
y=75000x-27000x-9000x2
=-9000+64000,
所以当修建公顷大棚时,菜农的收益最大.
答案:
3.(2013·孝感中考)在“母亲节”前夕,我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动,他们购进一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖,并将所得利润捐给贫困母亲.经试验发现,若每件按24元的价格销售时,每天能卖出36件;若每件按29元的价格销售时,每天能卖出21件.假定每天销售件数y(件)与销售价格x(元/件)满足一个以x为自变量的一次函数.
(1)求y与x满足的函数关系式(不要求写出x的取值范围).
(2)在不积压且不考虑其他因素的情况下,销售价格定为多少元时,才能使每天获得的利润P最大?
【解析】(1)设y与x满足的函数关系式为:y=kx+b(k≠0).
由题意可得:解得
∴y与x的函数关系式为y=-3x+108.
(2)每天获得的利润为:P= (-3x+108)(x-20)
=-3x2+168x-2160=-3(x-28)2+192.
∴当销售价格定为28元时,每天获得的利润最大.
【变式训练】某工厂现有80台机器,每台机器平均每天生产384件产品.现准备增加一批同类机器以提高生产总量,在试生产中发现,由于其他生产条件没变,因此每增加一台机器,每台机器平均每天将少生产4件产品.
(1)如果增加x台机器,每天的生产总量为y件,请你写出y与x之间的关系式.
(2)增加多少台机器,可以使每天的生产总量最大?最大生产总量是多少?
【解析】(1)根据题意得,
y=(80+x)(384-4x)=30720+64x-4x2
=-4(x-8)2+30976.
即y与x之间的关系式为y=-4(x-8)2+30976.
(2)由(1)知,当x=8(台)时,y有最大值为30976件.
即增加8台机器,可以使每天的生产总量最大;最大生产总量是30976件.
【知识归纳】求实际问题中的最值的两个步骤
(1)根据实际问题中所提供的变量之间的关系,构建二次函数模型(写出二次函数关系式).
(2)利用二次函数图象及性质求函数的最大(小)值.
面积的最优化问题
1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4cm,BC=6cm,动点P从点C沿CA,以1cm/s的速度向点A运动,同时动点Q从点C沿CB,以2cm/s的速度向点B运动,其中一个动点到达终点时,另一个动点也停止运动,则运动过程中所构成的△CPQ的面积y(cm2)与运动时间x(s)之间的函数图象大致是( )
【解析】选C.S△CPQ=CP·CQ =x·2x=x2,即y=x2(0≤x≤3).
2.长为20cm,宽为10cm的矩形,四个角上剪去边长为xcm的小正方形,然后把四边折起来,制成底面为ycm2的无盖的长方体盒子,则y与x的关系式为 .
【解析】根据题意,长方体盒子的长为(20-2x)cm,宽为(10-2x)cm,则底面积为y= (10-2x)(20-2x)(0答案:y=(10-2x)(20-2x)( 0【易错提醒】用二次函数解决实际问题时需注意自变量的取值范围,此题很容易忘了标注取值范围.
3.(2014·肥城安站中学质检)用长度一定的绳子围成一个矩形,如果矩形的一边长x(m)与面积y(m2)满足函数关系y=-(x-12)2+144(0【解析】因为边长x(m)与面积y(m2)的关系式为y=-(x-12)2+144(0答案:144
4.(2013·莆田中考)如图所示,某学校拟建一个含内接矩形的菱形花坛(花坛为轴对称图形)矩形的四个顶点分别在菱形四条边上,菱形的边长AB=4m,∠ABC= 60°.设AE=xm(0(1)求S与x的函数关系式.
(2)学校准备在矩形内种植红色花草,四个三角形内种植黄色花草.已知红色花草的价格为20元/m2,黄色花草的价格为40元/m2.当x为何值时,购买花草所需的总费用最低,并求出最低总费用(结果保留根号).
【解析】(1)过点A作AM⊥EH于点M,
由轴对称性的性质得:AE=AH,BE=BF,∠EAM=60°,
∴EM=AE·sin60°=x,
∴EH=x.
∵∠B=60°,∴△BEF为等边三角形,
∴EF=BE=4-x,
∴S=x·(4-x),即S=-x2+4x.
(2)设购买花草所需的总费用为W元,
易得S四边形ABCD=8,
则W=40(8-S)+20S=320-20S,
∴W=20x2-80x+320=20(x-2)2+240,
∴当x=2时,W最小=240.
答:当x=2时,购买花草所需的总费用最低,最低总费用是240元.
【错在哪？】作业错例 课堂实拍
我市新进一种水果,其成本是每吨0.5万元,且售价每吨不超过1.5万元.这种水果市场上的销售量y(t)是每吨销售价x(万元)的一次函数,且x=0.6时,y=2.4;x=1时,y=2.
(1)求出销售量y(t)与每吨销售价x(万元)之间的函数关系式.
(2)若销售利润为W(万元),请写出W与x之间的函数关系式,并求出销售价为多少时的销售利润最高?
(1)找错:第 步出现错误.
(2)纠错:
.
答案：(1)④
(2)又因为售价每吨不超过1.5万元,根据二次函数性质,当x<1.75时,y随x的增大而增大,所以当x=1.5万元时,销售利润最高,最高为1.5万元.
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课时提升作业(十六)
实际问题与二次函数(第1课时)
(30分钟 50分)
一、选择题 (每小题4分,共12分)
1.一件工艺品进价为100元,标价135元售出,每天可售出100件.根据销售统计,一件工艺品每降价1元出售,则每天可多售出4件,要使每天获得的利润最大,每件需降价的钱数为( )
A.5元 B.10元 C.0元 D.36元
【解析】选A.设每件降价的钱数为x元,每天获利y元,
则y=(135-x-100)(100+4x),
即y=-4(x-5)2+3600,
∵-4<0,∴当x=5时,每天获得的利润最大.
2.已知一个直角三角形两直角边之和为20cm,则这个直角三角形的最大面积为
( )
A.25cm2 B.50cm2
C.100cm2 D.不确定
【解析】选B.设一条直角边长为x,则另一条长为(20-x),
∴S=x(20-x)=-(x-10)2+50.
∵-<0,∴当x=10时,S最大=50cm2.
3.用长为8m的铝合金条做成如图所示形状的矩形窗框,并使窗户的透光面积最大,那么这个窗户的最大透光面积是( )
A.m2 B.m2 C.m2 D.4m2
【解析】选C.设矩形窗框的长为x,则矩形窗框的宽为4-x,从而得矩形的面积y=-x2+4x,又==.所以这个窗户的最大透光面积是m2.
【互动探究】若上题中的矩形窗框改为下图中的矩形窗框时,使窗户的透光面积最大,那么这个窗户的最大透光面积是多少?
【解析】设矩形窗框宽为xm,则长为m,
矩形面积为y=x·=-x2+x
=-+,所以这个窗户的最大透光面积是m2.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.出售某种手工艺品,若每个获利x元,一天可售出(8-x)个,则当x= 元时,一天出售该种手工艺品的总利润y最大.
【解析】由题意得y=x(8-x)=-x2+8x.
当x=-=-=4时,y最大.
答案:4
5.将一根长为16πcm的细铁丝剪成两段,并把每段铁丝围成圆,设所得两圆半径分别为r1和r2.若两圆的面积和用S表示,则S的最小值是 cm2.
【解析】依题意得,两圆面积和
S=π+π=π(+)
=π[+(8-r1)2]
=2π(-8r1+32)
=2π[(r1-4)2+16],
当r1=4cm时,面积和有最小值32πcm2.
答案:32π
【知识归纳】求几何图形面积的常见方法:
(1)利用几何图形的面积公式.
(2)利用几何图形的面积和或面积差.
6.(2014·遵义六中质检)周长为13cm的矩形铁板上剪去一个等边三角形(这个等边三角形的一边是矩形的宽),要使剩下的面积最大,则这个最大面积是 .
【解析】设矩形的宽为x cm,剩下的面积为Scm2,
则长为cm,等边三角形的面积为
·x·x=x2,
S=x-x2=-x2+x.
-=4-,-(4-)=+,
=13-.
答案:cm2
【易错警示】不要认为是使矩形的面积最大,而是减去一个等边三角形剩下的面积最大,此题易审题不清,直接求矩形的最大面积.
三、解答题(共26分)
7.(8分)(2013·盐城中考)水果店王阿姨到水果批发市场打算购进一种水果销售,经过还价,实际价格每千克比原来少2元,发现原来买这种水果80kg的钱,现在可买88kg.
(1)现在实际购进这种水果每千克多少元?
(2)王阿姨准备购进这种水果销售,若这种水果的销售量y(kg)与销售单价x(元/kg)满足如图所示的一次函数关系.
①求y与x之间的函数关系式;
②请你帮王阿姨拿个主意,将这种水果的销售单价定为多少时,能获得最大利润?最大利润是多少?(利润=销售收入-进货金额)
【解题指南】
【解析】(1)设现在实际购进这种水果每千克a元,
根据题意,得:80(a+2) =88a,
解得:a=20.
答:现在实际购进这种水果每千克20元.
(2)①∵y是x的一次函数,设函数关系式为y=kx+b(k≠0),
将(25,165),(35, 55)分别代入y=kx+b,得:
解得:k=-11,b=440,∴y=-11x+440.
②设利润为W元,
则W=(x-20)(-11x+440)
=-11(x-30)2+1100,
∴当x=30时,W最大值=1100,
即销售单价定为30元/kg时,能获得最大利润,最大利润是1100元.
8.(8分)若把一根长为120cm的铁丝分成两部分,每一部分均弯曲成一个正方形,它们的面积和最小是多少?
【解析】设将铁丝分成长为x cm,(120-x)cm的两段,并分别围成正方形,则正方形的边长分别为cm,cm,
由题意设面积和为ycm2,
则y=+=-15x+900=(x-60)2+450(0当x=60时,y的最小值为450.
答:它们的面积和最小为450cm2.
【培优训练】
9.(10分)某汽车租赁公司拥有20辆汽车.据统计,当每辆车的日租金为400元时,可全部租出;当每辆车的日租金每增加50元时,未租出的车将增加1辆;公司平均每日的各项支出共4800元.设公司每日租出x辆车时,日收益为y元.(日收益=日租金收入-平均每日各项支出)
(1)公司每日租出x辆车时,每辆车的日租金为 元(用含x的代数式表示);
(2)当每日租出多少辆时,租赁公司日收益最大?最大是多少元?
(3)当每日租出多少辆时,租赁公司的日收益不盈也不亏?
【解析】(1)400+50(20-x)=1400-50x(0答案:1400-50x(0(2)根据题意得:
y=x(-50x+1400)-4800,
=-50x2+1400x-4800,
=-50(x-14)2+5000.
当x=14时,y有最大值5000.
∴当每日租出14辆时,租赁公司日收益最大,最大值为5000元.
(3)要使租赁公司日收益不盈也不亏,即y=0.
即-50(x-14)2+5000=0,
解得x1=24,x2=4,
∵x=24不合题意,舍去.
∴当每日租出4辆时,租赁公司日收益不盈也不亏.
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