课件21张PPT。22.3 实际问题与二次函数
第2课时1.建立坐标系解决实际问题的一般步骤
第一步:根据题意建立适当的_______________;
第二步:根据条件求出函数的_______;
第三步:确定自变量的_________;
第四步:解决_________.平面直角坐标系解析式取值范围实际问题2.根据建立的坐标系选择合适的二次函数解析式
(1)顶点在原点,对称轴为y轴,可设解析式:_____.
(2)对称轴为y轴,可设解析式:_______.
(3)顶点在x轴,对称轴平行于y轴,可设解析式:_________.y=ax2y=ax2+ky=a(x-h)2【思维诊断】(打“√”或“×”)
1.在同一问题中,建立不同的坐标系,所得解析式一般不相同.
( )
2.竖直上抛一个小球,小球的运行路径是抛物线.( )
3.建立坐标系解答抛物线型问题时,一般把顶点放在y轴上.( )
4.在同一问题中,建立不同的坐标系,所得结果一定不相同.( )√×√×知识点一 抛物线型建筑问题
【示范题1】如图,有一座抛物线型拱桥,在正常水位时水面AB的宽为20m,如果水位上升3m,则水面CD的宽是10m.(1)建立如图所示的直角坐标系,求此抛物线的解析式.
(2)当水位在正常水位时,有一艘宽为6m的货船经过这里,船舱上有高出水面3.6m的长方体货物(货物与货船同宽).问:此船能否顺利通过这座拱桥?【思路点拨】(1)分析题意→设抛物线解析式及点B、点D的坐标→代入点B,D坐标→求出解析式.
(2)理解水面到顶点的距离→求出CD的宽是6m时到顶点的距离→解决问题.【自主解答】(1)设抛物线解析式为y=ax2，点B(10,n)，
点D(5,n+3),由题意：
∴在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥.【想一想】
如图是抛物线型拱桥,拱顶离水面2m,水面宽度4m,水面下降1m,水面宽度增加多少?提示:以抛物线的顶点作为原点,水平线作为x轴,建立直角坐标
系,设抛物线的解析式为y=ax2,∵过(2,-2)点,∴a=- ,抛物线
的解析式为y=- x2.
当y=-3时,x=± ,所以宽度增加(2 -4)m.【微点拨】求水面宽度变化时注意:
(1)先求出两个宽度,然后求差.
(2)求宽度时注意是两侧的距离和.【方法一点通】
解决抛物线型建筑问题“三步骤”
1.根据题意,建立恰当的坐标系,设抛物线解析式.
2.准确转化线段的长与点的坐标之间的关系,得到抛物线上点的坐标,代入解析式,求出二次函数解析式.
3.应用所求解析式及其性质解决问题.知识点二 抛物线型运动问题
【示范题2】如图,排球运动员站在点O处练习发球,将球从O点正上方2m的A处发出,把球看成点,其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与O点的水平距离为9m,高度为2.43m,球场的边界距O点的水平距离为18m.(1)当h=2.6时,求y与x的解析式(不要求写出自变量x的取值范围).
(2)当h=2.6时,球能否越过球网?球会不会出界?请说明理由.【教你解题】【想一想】
如图所示是一学生推铅球时,铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)的函数图象.现观察图象,铅球推出的距离是多少?
提示:由图知,抛物线与x轴的交点坐标为(10,0),所以铅球推出的距离是10m.【微点拨】与运动有关的抛物线型问题
此类问题中物体的运动轨迹都是抛物线,需要解决的主要是物体运动的时间、高度、最大高度、最大水平距离等.解决这类问题的关键是建立恰当的直角坐标系,求出运动路径所在的抛物线的解析式,用二次函数的图象及性质解决问题.【方法一点通】
由抛物线图象读出最远距离或最大高度(以水平面为x轴)
1.抛物线顶点的纵坐标是最大高度.
2.抛物线与x轴交点的横坐标是最远距离.温馨提示：
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提技能·题组训练
抛物线型建筑问题
1.如图,一副眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y轴对称.AB∥x轴,AB=4cm,最低点C在x轴上,高CH=1cm,BD=2cm.则右轮廓线DFE的函数解析式为( )
A.y=(x+3)2 B.y=-(x+3)2
C.y=(x-3)2 D.y=(x-4)2
【解析】选C.由题知OF=3cm,设抛物线的解析式为y=a(x-3)2.又(1,1)在图象上,∴a×(1-3) 2=1,解得a=,∴y=(x-3)2.
2.某大学的校门是一抛物线型水泥建筑物(如图所示),大门的地面宽度为8m,两侧距地面4m高处各有一个挂校名匾用的铁环,两铁环的水平距离为6m,则校门的高为(精确到0.1m,水泥建筑物的厚度忽略不计)( )
A.5.1 m B.9 m C.9.1 m D.9. 2 m
【解析】选C.以大门的最高点为顶点建立坐标系,设抛物线解析式为y=ax2,把点(3,n),(4,n-4)代入上式,得
解得
所以解析式为y=-x2,
当x=4时,y=-×42=-.
≈9.1,校门的高约为9.1m.
3.隧道的截面是抛物线,且抛物线的解析式为y=-x2+3.5,一辆车高2.5m,宽4m,该车 通过该隧道.(填“能”或“不能”)
【解析】当x=2时,y=-×22+3.5=3,因为2.5<3,所以该车能通过该隧道.
答案:能
4.施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道,其高度为6m,宽度OM为12m.现以O点为原点,OM所在直线为x轴建立直角坐标系(如图所示).
(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标.
(2)求出这条抛物线的函数解析式.
【解析】(1)M,P.
(2)设这条抛物线的函数解析式为:y=a+6.
∵抛物线过O(0,0),
∴a(0-6)2+6=0,解得a=-.
∴这条抛物线的函数解析式为:
y=-+6,
即y=-x2+2x.
【知识归纳】
用二次函数解决实际问题,应由低到高处理好如下三个方面的问题:
①首先必须了解二次函数的基本性质;
②学会从实际问题中建立二次函数的模型;
③借助二次函数的性质来解决实际问题.
抛物线型运动问题
1.某广场有一喷水池,水从地面喷出,如图,以水平地面为x轴,出水点为原点,建立平面直角坐标系,水在空中划出的曲线是抛物线y=-x2+4x(单位:m)的一部分,则水喷出的最大高度是( )
A.4 m B.3 m C.2 m D.1 m
【解析】选A.y=-x2+4x=-(x-2)2+4,所以水喷出的最大高度为4m.
2.如图,杂技团进行杂技表演,演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处,其身体(看成一点)的路线是抛物线y=-x2+3x+1的一部分,演员弹跳离地面的最大高度为 .
【解析】y=-x2+3x+1=-+,
∵-<0,
∴函数的最大值是.演员弹跳离地面的最大高度为m.
答案:m
3.平时我们在跳绳时,绳子甩到最高处的形状可近似看作抛物线,如图建立直角坐标系,抛物线的函数解析式为y=-x2+x+,绳子甩到最高处时刚好通过站在x=2点处跳绳的学生小明的头顶,则小明的身高为 m.
【解析】当x=2时,y=-x2+x+=1.5(m).
答案:1.5
4.(2013·肥城安站中学质检)竖直向上发射物体的高度h(m)满足关系式h=-5t2+v0·t,其中t(s)是物体运动的时间,v0(m/s)是物体被发射时的速度.某公园计划设计园内喷泉,喷水的最大高度要求达到15m,那么喷水的速度应该达到多少?(结果精确到0.01m/s)
【解析】h=-5t2+v0·t,其对称轴为
t=-=.
∴当t=时,
hmax=-5·+v0·==15,=300,
∴v0=10=17.32(m/s).
答:喷水的速度应该达到17.32m/s.
【错在哪？】作业错例 课堂实拍
小敏在某次投篮中,球的运动路线是抛物线y=-x2+3.5的一部分(如图),若命中篮圈中心,则她与篮底的距离是 m.
(1)找错:从第 步开始出现错误.
(2)纠错:__________________________________ ______________________.
答案：(1)①
(2)把点C的纵坐标y=3.05代入解析式，得-x2+3.5=3.05,x=1.5或x=-1.5，OB=1.5 m，即她与篮底的距离是1.5+2.5=4 m
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课时提升作业(十七)
实际问题与二次函数(第2课时)
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.(2014·嘉应中学月考)在2014年的校运动会中,丁丁参加了跳远比赛,重心高度h(m)与时间t(s)的函数解析式为h=3.5t-4.9t2,可以描述他在某次跳跃时重心高度的变化(如图),则他起跳后到重心最高时所用的时间是( )
A.0.36 s B.0.63 s C.0.70 s D.0.71 s
【解析】选A.函数解析式h=3.5t-4.9t2中,a=-4.9,b=3.5,-=-≈0.36.则他起跳后到重心最高时所用的时间约是0.36s.
2.拱桥呈抛物线型,其函数解析式为y=-x2,当拱桥下水面宽为12m时,水面离拱桥顶端的高度h是( )
A.3 m B.2m C.4m D.9 m
【解题指南】解答本题的关键是水面宽为12m,把自变量的值6或-6代入解析式,所得函数值的绝对值即为水面离拱桥顶端的高度.
【解析】选D.当x=6时,y=-×62=-9.︱-9︱=9.水面离拱桥顶端的高度为9m.
3.某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线组成的.为了牢固起见,每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱,防护栏的最高点距底部0.5m(如图),则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为( )
A.50m B.100m C.160m D.200m
【解析】选C.如图,建立坐标系,
设抛物线的解析式为y=ax2+k,
∵(0,0.5),(1,0)在抛物线上,
∴
解得∴y=-0.5x2+0.5,
当x=0.2时,y=0.48,当x=0.6时,y=0.32,
∴需要不锈钢支柱的总长度为
(0.48+0.32)×2×100=160(m).
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.校运会上,小明参加铅球比赛,若某次试掷,铅球飞行的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数解析式为y=-x2+x+,小明这次试掷的成绩是 m,铅球出手时的高度是 m.
【解析】由解析式y=-x2+x+知,当x=0时,y=.当y=0时,-x2+x+=0,解得x=-2(舍去)或x=10.所以小明这次试掷的成绩是10m,出手高度是m.
答案:10
5.如图,小明的父亲在相距2m的两棵树间拴了一根绳子,给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5m,绳子自然下垂呈抛物线状,身高1m的小明距较近的那棵树0.5m时,头部刚好接触到绳子,则绳子的最低点距地面的距离为 m.
【解析】建立如图所示的坐标系,
设抛物线的解析式为y=ax2+c,由题意可知,抛物线经过点(1,2.5)和(-0.5,1),把它们分别代入解析式得
解方程组可得c=0.5.因此绳子的最低点距地面的距离为0.5m.
答案:0.5
【知识归纳】建立坐标系解决实际问题的关键
(1)找到实际问题中的相对的点,确定坐标轴的位置.
(2)选择合适的解析式形式.
(3)找到经过抛物线的点的坐标.
6.军事演习在平坦的草原上进行,一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y(m)与飞行时间x(s)的关系满足y=-x2+10x,经过 s时间,炮弹到达它的最高点,最高点的高度是 m,经过 s时间,炮弹落到地上爆炸.
【解析】依题意,解析式为y=-x2+10x,
配方得:y=-(x2-50x+252-252)=-(x-25)2+125.
∵a=-<0,
∴由二次函数性质可得经过25s炮弹到达它的最高点,最高点的高度是125m,当y=0时,解得x=50s(x=0舍去).
答案:25 125 50
三、解答题(共26分)
7.(8分)如图,有一座抛物线型的拱桥,桥下水面处在目前的水位时,水面宽AB=10m,如果水位上升2m,就将达到警戒线CD,这时水面的宽为8m.若洪水到来,水位以每小时0.1m速度上升,经过多少小时会达到拱顶?
【解析】以AB所在的直线为x轴,AB中点为原点,建立直角坐标系,
则抛物线的顶点E在y轴上,且B,D两点的坐标分别为(5,0),(4,2),
设抛物线为y=ax2+k.
由B,D两点在抛物线上,有
解这个方程组,得a=-,k=,
所以y=-x2+,
顶点的坐标为,则OE=m,÷0.1=(h),
所以,若洪水到来,水位以每小时0.1m速度上升,经过h会达到拱顶.
【变式训练】如图是一个抛物线型的拱桥,正常时拱顶离水面2m,水面宽4m,当下大雨时水面以每小时0.5m的速度上涨,当桥下的水面宽为2m时,桥就有被冲垮的可能,小红的爸爸下午3点从商店出发,此时开始下大雨,问他最迟在下午几点之前要通过这座拱桥?
【解析】以抛物线的顶点为原点建立如图所示的坐标系,
由题意可知:A(-2,-2),B(2,-2),
设抛物线的解析式为:
y=ax2,
∴-2=a×22,
∴a=-,
∴这个二次函数的解析式为:y=-x2,
当x=1时,y=-,∴OD=,
则CD=OC-OD=2-=,
所以水面宽由4m上涨到水面宽2m时水面上涨的高度为1.5m,此时需时间为1.5÷0.5=3h,
故小红的爸爸务必在下午6点之前经过这座拱桥.
8.(8分)如图,小河上有一拱桥,拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE,ED,DB组成,已知河底ED是水平的,ED=16m,AE=8m,抛物线的顶点C到ED的距离是11m.以ED所在的直线为x轴,抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系.
(1)求抛物线的解析式.
(2)已知从某时刻开始的40小时内,水面与河底ED的距离h(单位:m)随时间t(单位:时)的变化满足函数关系h=-(t-19)2+8(0≤t≤40),且当水面到顶点C的距离不大于5m时,需禁止船只通行,请通过计算说明:在这一时段内,需多少小时禁止船只通行?
【解析】(1)依题意可得,顶点C的坐标为(0,11),设抛物线解析式为y=ax2+11.
由抛物线的对称性可得,点B(8,8),8=64a+11,
解得a=-,抛物线的解析式为y=-x2+11.
(2)当水面到顶点C的距离不大于5m时,h≥6,把h=6代入h=-(t-19)2+8(0≤t≤40),得t1=35,t2=3.
∴禁止船只通行的时间为|t1-t2|=32(小时).
答:禁止船只通行的时间为32小时.
【培优训练】
9.(10分)某跳水运动员进行10m跳台跳水训练时,身体(看成一点)在空中运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线(图中标出的数据为已知条件).在跳某个规定动作时,正常情况下该运动员在空中的最高处A点距水面10m,入水处B点距池边的距离为4m,同时运动员在距水面高度为5m以前,必须完成规定的翻腾动作,并调整好入水的姿势,否则就会出现失误.
(1)求这条抛物线的解析式.
(2)在某次试跳时,测得运动员在空中的运动路线是(1)中的抛物线的一部分,且运动员在空中调整好入水姿势时,距池边的水平距离为3m,问此次跳水会不会失误?并通过计算说明理由.
【解析】 (1)在给定的直角坐标系中,设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c.由题意知,O,B两点坐标分别为(0,0),(2,-10),顶点纵坐标为.
则有
解得或
因抛物线对称轴在y轴右侧,所以->0,即a与b异号,又抛物线开口向下,则a<0,b>0,所以a=-,b=-2,c=0不符合题意,舍去.故所求抛物线的解析式为y=-x2+x.
(2)当运动员在空中距池边的水平距离为3m,即x=3-2=m时,y=×+×=-.所以此时运动员距水面的高为10-=<5.因此,此次跳水会出现失误.
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