课件21张PPT。22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象
和性质
第1课时1.二次函数y=ax2+k的图象和性质
(1)顶点及对称轴:顶点坐标为______;对称轴是____.
(2)开口方向及增减性:
①当a>0时,抛物线的开口向___,在对称轴的左侧,y随x的增大
而_____,在对称轴的右侧,y随x的增大而_____.
②当a<0时,抛物线的开口向___.在对称轴的左侧,y随x的增大
而_____,在对称轴的右侧,y随x的增大而_____.(0,k)y轴上减小增大下增大减小2.二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
(1)顶点及对称轴:顶点坐标为______;对称轴是直线____.
(2)开口方向及增减性:
①当a>0时,抛物线的开口向___,在对称轴的左侧,y随x的增大
而_____,在对称轴的右侧,y随x的增大而_____.
②当a<0时,抛物线的开口向___.在对称轴的左侧,y随x的增大
而_____,在对称轴的右侧,y随x的增大而_____.(h,0)x=h上减小增大下增大减小【思维诊断】(打“√”或“×”)
1.抛物线y=ax2+k的图象与抛物线y=ax2的图象形状不相同.( )
2.抛物线y=x2-4的顶点坐标是(0,-4).( )
3.抛物线y=3x2+2的对称轴是直线x=2.( )
4.抛物线y=3(x-1)2的对称轴是直线x=1.( )
5.把抛物线y=- x2向左平移1个单位,就得到抛物线y=
- (x+1)2.( )×√×√√知识点一 二次函数y=ax2+k(a≠0)的图象和性质
【示范题1】一条抛物线的形状、开口方向、对称轴与抛物线
y= x2相同,并且抛物线过点(1,1).
(1)求抛物线的解析式.
(2)说明所求抛物线与抛物线y= x2有什么关系?并指明其顶点
坐标.【思路点拨】根据对称轴特点,先确定二次函数解析式的形式
为y=ax2+k,再根据抛物线的形状及开口方向,确定a的值,再把
点(1,1)代入,确定解析式;然后根据图象变换关系,进一步分析
所求抛物线与y= x2的关系,并指明其顶点坐标.【自主解答】(1)因为抛物线的形状、开口方向、对称轴与抛
物线y= x2相同,所以设抛物线的解析式为y= x2+k,把点(1,1)
代入上式,得 ×12+k=1,解得k= .所以抛物线的解析式为y=
x2+ .
(2)抛物线y= x2向上平移 个单位可得所求抛物线y= x2+ ,
所求抛物线的顶点坐标是(0, ).【想一想】
与二次函数y=x2+3的图象形状相同,且顶点坐标为(0,-2)的抛物线的解析式是什么?
提示:因为抛物线的顶点坐标为(0,-2),所以设此函数解析式为y=ax2-2,又根据与二次函数y=x2+3的图象形状相同,所以此抛物线的解析式为y=x2-2或y=-x2-2.【微点拨】
1.二次函数y=ax2+k(a≠0)图象的作法:
(1)描点法:同抛物线y=ax2的作法,采取列表、描点、连线三步画图.
(2)平移法:当k>0时,将抛物线y=ax2向上平移k个单位,得到y=ax2+k的图象,当k<0时,将抛物线y=ax2向下平移|k|个单位,得到y=ax2+k的图象.2.抛物线y=ax2+k与y=ax2的关系:形状、开口方向相同;对称轴都是y轴;增减性相同.
3.对于同一个自变量的值,函数y=ax2与y=ax2+k的函数值的差为-k.【方法一点通】
抛物线y=ax2+k1与y=ax2+k2的关系
1.开口方向、开口大小相同.
2.对称轴都是y轴.
3.增减性相同.
4.抛物线y=ax2+k1可通过向上(下)平移得到抛物线y=ax2+k2.知识点二 二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象和性质
【示范题2】将抛物线y=ax2向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为-2,且新抛物线经过点(1,3).
(1)求抛物线的解析式.
(2)当x取何值时,y随x的增大而减小?【解题探究】(1)已知顶点横坐标为-2,那么抛物线的对称轴是什么?
提示:抛物线的对称轴是直线x=-2.
(2)图象是由抛物线y=ax2向左平移得到的,可设该抛物线的解析式为哪种形式?
提示:设该抛物线的解析式为y=a(x+h)2.【尝试解答】(1)由题意知,可设抛物线的解析式为y=a(x+2)2,
把(1,3)代入,得a(1+2)2=3,解得a= ,所以抛物线的解析式为
y= (x+2)2.
(2)因为a>0,所以抛物线开口向上,在对称轴x=-2的左侧,y随x
的增大而减小,即x<-2时,y随x的增大而减小.【想一想】
抛物线y=ax2平移得到y=a(x-h)2时,顶点、对称轴发生了什么变化?
提示:(1)顶点坐标由原来的(0,0)变为(h,0).
(2)对称轴由原来的直线x=0变为直线x=h.【备选例题】(1)抛物线y=(x-1)2的开口 ,对称轴是
,顶点坐标是 ,它可以看作是由抛物线
y=x2向 平移 个单位得到的.
(2)抛物线y=m(x+n)2向左平移2个单位后,得到的函数关系式是
y=-4(x-4)2,则m= ,n= .【解析】(1)抛物线y=(x-1)2中,a=1>0,所以开口向上,对称轴是x=1,顶点坐标是(1,0),它可以看作是由抛物线y=x2向右平移1个单位得到的.
(2)根据题意,抛物线y=-4(x-4)2向右平移2个单位后,得抛物线y=-4(x-4-2)2=-4(x-6)2,所以m=-4,n=-6.
答案:(1)向上 x=1 (1,0) 右 1 (2)-4 -6【方法一点通】
二次函数左右平移“四字诀”
1.左负右正:由y=ax2平移到y=a(x-h)2时符合h左负右正(h>0,向右平移,h<0,向左平移).
2.左正右负:由y=ax2平移到y=a(x+h)2时符合h左正右负.温馨提示：
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提技能·题组训练
二次函数y=ax2+k(a≠0)的图象和性质
1.(2014·高桥实验质检)抛物线y=-4x2+2的对称轴是( )
A.直线x=-2 B.直线x=-
C.直线x=0 D.直线x=
【解析】选C.抛物线y=ax2+k的对称轴是y轴,即直线x=0.
2.(2013·上海中考)如果将抛物线y=x2+2向下平移1个单位,那么所得新抛物线的解析式是( )
A.y=(x-1)2+2 B.y=(x+1)2+2
C.y=x2+1 D.y=x2+3
【解析】选C.根据“上加下减”得新抛物线的解析式是y=x2+2-1=x2+1.
【变式训练】在同一直角坐标系中,函数y=-x2+2的图象与函数y=-x2的图象有什么关系?
【解析】抛物线y=-x2+2与抛物线y=-x2的开口方向、开口大小、对称轴相同,但顶点坐标不同,函数y=-x2+2的图象可以看成将函数y=-x2的图象向上平移两个单位得到的.
【知识归纳】抛物线y=ax2+k的平移情况
抛物线y=ax2向上(下)平移|k|,就可得到二次函数y=ax2+k的图象:①当k>0时,向上平移;②当k<0时,向下平移.
3.(2013·淮安中考)二次函数y=x2+1的图象的顶点是 .
【解析】∵二次函数的对称轴是y轴,当x=0时,y=1.∴顶点为(0,1).
答案:(0,1)
4.抛物线y=-x2+1的开口 ,对称轴是 ,顶点坐标是 .
【解析】抛物线y=-x2+1中,a=-<0,所以开口向下,对称轴是y轴,顶点坐标是(0,1).
答案:向下 y轴 (0,1)
5.若点P(-1,a)和Q(1,b)都在抛物线y=-x2+1上,则线段PQ的长为 .
【解析】因为抛物线y=-x2+1关于y轴对称,点P和点Q的横坐标互为相反数,所以点P和点Q关于y轴对称,则线段PQ的长为1-(-1)=1+1=2,即PQ=2.
答案:2
【知识归纳】抛物线y=ax2+k是关于y轴对称的图形,若抛物线上有点A(m,x)、点B(-m,y),两点的横坐标互为相反数,则x=y,A,B两点的距离为2|m|.
6.抛物线y=2+(m-5)的顶点在x轴下方,则m= .
【解析】∵抛物线是二次函数的图象,
∴m2-4m-3=2,解得m=-1或m=5,
又顶点在x轴下方,
∴m-5<0,即m<5,∴m=-1.
答案:-1
【变式训练】抛物线y=k+k2-9开口向下,则顶点坐标是 .
【解析】因为抛物线是二次函数,所以k2-2=2,解得k=2或k=-2;又因为开口向下,所以k<0,所以k=-2,解析式为y=-2x2-5,顶点坐标为(0,-5).
答案:(0,-5)
二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象和性质
1.抛物线y=2(x-3)2的顶点在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.x轴上 D.y轴上
【解析】选C.抛物线y=2(x-3)2是由抛物线y=2x2向右平移3个单位得到的,y=2x2的顶点坐标是(0,0),所以抛物线y=2(x-3)2的顶点为(3,0),顶点在x轴上.
2.将二次函数y=-(x-1)2的图象向左平移3个单位得到的抛物线的对称轴为
( )
A.直线x=0 B.直线x=4
C.直线x=-2 D.直线x=3
【解析】选C.抛物线y=-(x-1)2的对称轴是直线x=1,二次函数y=-(x-1)2的图象向左平移3个单位后,此时对称轴为直线x=-2.
【易错提醒】抛物线y=a(x-h)2的平移情况
抛物线y=a(x-h)2是在y=ax2基础上左右平移得到的,左右平移不改变抛物线的开口方向及大小,但改变对称轴及顶点坐标.
3.已知抛物线y=-(x+2)2,当x 时,y随x的增大而增大;当x 时,y随x的增大而减小.
【解析】抛物线y=-(x+2)2开口向下,对称轴是直线x=-2,在对称轴的左侧,y随x的增大而增大;在对称轴的右侧,y随x的增大而减小.
答案:<-2 >-2
4.函数y=3(x+6)2的图象是由函数 的图象向左平移5个单位得到的,其图象开口向 ,对称轴是 ,顶点坐标是 .
【解析】函数y=3(x+6)2的图象是由函数y=3(x+1)2的图象向左平移5个单位得到的,因为a=3>0,所以开口向上,对称轴是直线x=-6,顶点坐标是(-6,0).
答案:y=3(x+1)2 上 直线x=-6 (-6,0)
5.如图,在平行四边形ABCD中,BC=6,S?ABCD=12,求抛物线的解析式.
【解析】根据题意设平行四边形的高为h1,
因为BC=6,S?ABCD=12,所以S?ABCD=BC·h1,
即6·h1=12,h1=2.
所以点A,D的纵坐标是2,即A(0,2),D(6,2).
根据抛物线的对称性,得点C(3,0),
所以设抛物线的解析式为y=a(x-3)2,点A(0,2)代入y=a(x-3)2得a=,所以抛物线解析式为y=(x-3)2.
6.已知抛物线y=(x-2)2的顶点为C,直线y=2x+4与抛物线交于A,B两点,试求
S△ABC.
【解析】根据题意可知抛物线y=(x-2)2的顶点C的坐标为(2,0),
由解得或
不妨令A(6,16),B(0,4).
过A作AD⊥x轴,垂足为D,
则S△ABC=S梯形ABOD-S△ACD-S△BOC
=(OB+AD)·OD-OC·OB-CD·AD
=(4+16)×6-×2×4-×4×16=24.
【错在哪？】作业错例 课堂实拍
抛物线和y=8x2的图象的形状相同,对称轴平行于y轴,并且顶点坐标为(-2,0),求此抛物线的解析式.
(1)找错:从第 步开始出现错误.
(2)纠错:
.
答案：(1)①
(2)∴a=8或a=-8,又∵顶点坐标为(-2,0),∴h=-2.∴抛物线的解析式为:y=8(x+2)2或y=-8(x+2)2
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课时提升作业(十一)
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质(第1课时)
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.抛物线y=2x2,y=-2x2,y=2x2+1共有的性质是( )
A.开口向上 B.对称轴都是y轴
C.都有最高点 D.顶点都是原点
【解析】选B.抛物线y=-2x2开口向下,有最高点;而抛物线y=2x2与y=2x2+1开口向上,有最低点,所以选项A,C错,y=2x2+1的顶点坐标是(0,1),所以D错,它们的对称轴都是y轴,故选B.
2.若抛物线y=x2-1的开口方向向下,则m的取值范围为( )
A.m>2 B.m<2
C.m≠2 D.m>-2
【解题指南】解答本题的关键
抛物线的开口方向只与a有关,当a>0时,开口向上;当a<0时,开口向下.
【解析】选B.因为抛物线y=x2-1的开口方向向下,所以3m-6<0,即m<2.
3.抛物线y=2(x-1)2的图象上有三点,A(-1,y1),B(,y2),C(2,y3),则y1,y2,y3的大小关系是( )
A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3
C.y3>y2>y1 D.y1>y3>y2
【解析】选D.抛物线y=2 (x-1)2的对称轴为直线x=1,所以当x=-1时的函数值与x=3时的函数值相等,又因为抛物线的开口方向向上,在对称轴的右侧,y随x的增大而增大,所以y1>y3>y2.
【知识归纳】1.抛物线y=a(x-h)2是轴对称图形,对称轴是直线x=h.
2.当a>0时,点到对称轴的距离越近,y值越小;点到对称轴的距离越远, y值越大.
3.当a<0时,点到对称轴的距离越近,y值越大;点到对称轴的距离越远,y值越小.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.把抛物线y=-x2向左平移2个单位得到抛物线 ;若将它向下平移2个单位,得到抛物线 .
【解析】根据抛物线的平移性质,把抛物线y=-x2向左平移2个单位得到抛物线y=-(x+2)2;
若将它向下平移2个单位,得到抛物线y=-x2-2.
答案:y=-(x+2)2 y=-x2-2
5.已知抛物线y=x2-(k+2)x+9的顶点在x轴上,则k的值为 .
【解析】根据抛物线的顶点在x轴上,可知此抛物线的解析式是关于x的一个完全平方式,所以-(k+2)=±6,所以k=4或k=-8.
答案:4或-8
6.抛物线y=2x2-3关于x轴对称的抛物线的解析式为 .
【解析】抛物线y=2x2-3的对称轴是y轴,开口向上,顶点坐标是(0,-3),关于x轴对称的抛物线开口方向相反,大小相同,顶点也关于x轴对称,是(0,3),所以此抛物线的解析式为y=-2x2+3.
答案:y=-2x2+3
【易错提醒】抛物线y=ax2+k关于x轴对称的抛物线的解析式中,a与k都变为原来的相反数,不要只改变k的正负,对于本题,易忘掉改变a的正负.
三、解答题(共26分)
7.(8分)已知抛物线与x轴的交点的横坐标分别是-2,2,且与y轴的交点的纵坐标是-3,求该抛物线的解析式.
【解析】根据题意,抛物线与x轴的交点的横坐标互为相反数,所以抛物线关于y轴对称,顶点在y轴上.设该抛物线的解析式为y=ax2+k,因为图象与y轴的交点的纵坐标是-3,所以顶点为(0,-3).所以k=-3,即y=ax2-3,把(2,0)代入上式,得0=a·22-3,解得a=.所以该抛物线的解析式为y=x2-3.
【变式训练】将抛物线y=x2+1绕原点O旋转180°,则旋转后的抛物线解析式是 .
【解析】将抛物线y=x2+1绕原点O旋转180°后,对称轴还是y轴,开口方向与原来相反,大小相同,新顶点与原来顶点关于原点对称,变为(0,- 1),所以旋转后的抛物线解析式是y=-x2-1.
答案: y=-x2-1
8.(8分)已知二次函数y=a(x-h)2,当x=2时有最大值,且此函数的图象经过点(1,-3),求此函数的解析式,并指出当x为何值时,y随x的增大而增大.
【解析】根据题意,得h=2,a<0,把点(1,-3)代入y=a(x-2) 2,得-3=a(1-2)2,解得a=-3,所以此函数的解析式为y=-3(x-2)2,该抛物线开口向下,对称轴是直线x=2,在对称轴的左侧,即当x<2时,y随x的增大而增大.
【培优训练】
9.(10分)一座拱桥的轮廓是抛物线形(如图(1)),拱高6m,跨度20m,相邻两支柱间的距离均为5m.
(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图(2)),求抛物线的解析式.
(2)求支柱EF的长.
(3)拱桥下的地平面是双向行车道 (正中间是一条宽2m的隔离带),其中的一条行车道能否并排行驶宽2m,高3m的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)?请说明你的理由.
【解析】(1)由题意知,点A,B,C的坐标分别为(-10,0),(10,0),(0,6).设抛物线的解析式为y=ax2+c,将B,C的坐标代入y=ax2+c,得
解得
所以抛物线的解析式为y=-x2+6.
(2)根据题意可得点F的横坐标为5,把x=5代入抛物线的解析式得y=-×52+6=4.5,
所以支柱EF的长为10-4.5=5.5(m).
(3)如图,设DN是隔离带的宽,NG是三辆车的宽度的和,则点G的坐标为(7,0).过点G作GH⊥AB交抛物线于点H,则点H的纵坐标为y=-×72+6=3.06>3.根据抛物线的性质,可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车.
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