课件18张PPT。22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象
和性质
第2课时1.二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质向上向下(h,k)直线x=h小k大k减小增大增大减小2.抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2的关系
抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2的形状_____,位置_____,把抛物线
y=ax2向_______、向_______平移可以得到抛物线y=a(x-h)2+k,
平移的方向、距离根据____的值来决定.相同不同左(右)上(下)h,k【思维诊断】(打“√”或“×”)
1.抛物线y=-5(x-8)2-7的最小值为-7.( )
2.若抛物线的顶点在直线y=x上,则可以设其解析式为y=
a(x-h)2+h.( )
3.将抛物线y=5x2先向左平移2个单位,再向下平移4个单位后,
得到抛物线的解析式为y=5(x-4)2+2.( )
4.抛物线y=-(x+3)2+1的对称轴是直线x=-3.( )×√×√知识点一 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
【示范题1】已知:抛物线y= (x-1)2-3.
(1)写出抛物线的开口方向、对称轴.
(2)函数y有最大值还是最小值?并求出这个最大(小)值.
(3)该抛物线经过怎样的平移,能得到抛物线y= x2?【思路点拨】根据y=a(x-h)2+k的性质确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,并根据顶点坐标得到函数的最值;确定平移的方向及距离时,可以根据抛物线y=ax2经过平移得到抛物线y=a(x-h)2+k时平移的方向、距离,再反向平移.【自主解答】(1)y= (x-1)2-3,∵a= >0,∴抛物线的开口
向上,对称轴为x=1.
(2)∵a= >0,∴函数y有最小值,最小值为-3.
(3)y= x2先向右平移1个单位,再向下平移3个单位得到y=
(x-1)2-3,所以由y= (x-1)2-3先向左平移1个单位,再向上
平移3个单位得到y= x2.【想一想】
开口向上的抛物线顶点为(2,4),则函数y随x的增大而减小的x的取值范围是什么?
提示:抛物线顶点为(2,4),所以对称轴是直线x=2,因为开口向上,所以在对称轴的左侧,y随x的增大而减小,即x<2时,y随x的增大而减小.【微点拨】二次函数图象是轴对称图形,图象上纵坐标相等的两个点关于对称轴对称.【方法一点通】
抛物线y=a(x-h)2+k的增减性
抛物线y=a(x-h)2+k是轴对称图形:
①a>0时,在对称轴x=h左侧,y随x的增大而减小,在对称轴x=h右侧,y随x的增大而增大;
②a<0时,在对称轴x=h左侧,y随x的增大而增大,在对称轴x=h右侧,y随x的增大而减小.知识点二 用顶点式y=a(x-h)2+k求抛物线解析式
【示范题2】已知抛物线的顶点为(1,-3),且经过点(2,5),求它的解析式.
【教你解题】【想一想】
把抛物线y=- x2如何平移能得到抛物线y=- (x+2)2-5?
提示:抛物线y=- x2向左平移2个单位,再向下平移5个单位得
抛物线y=- (x+2)2-5;或先向下平移5个单位再向左平移2个单
位得抛物线y=- (x+2)2-5.【备选例题】(1)把抛物线y= x2向左平移3个单位,再向上平移2个单位,得到的抛物线的解析式为 .
(2)函数y=a(x-h)2+k图象的顶点坐标为(2,-3),并且经过点(3,3),求出a,h,k的值,并写出函数的关系式.【解析】(1)把抛物线y= x2向左平移3个单位得抛物线y=
(x+3)2,再向上平移2个单位,得到的抛物线的解析式为y=
(x+3)2+2.
答案:y= (x+3)2+2
(2)因为顶点坐标为(2,-3),所以h=2,k=-3,
即y=a(x-2)2-3,把点(3,3)代入上式,得
a(3-2)2-3=3,解得a=6,
所以函数的关系式为y=6(x-2)2-3.【方法一点通】
抛物线y=ax2到y=a(x-h)2+k平移“八字诀”
平移规律是:“上加下减,左加右减”.
(1)“上加下减”是指抛物线y=ax2向上平移,则k>0,向下平移,则k<0.
(2)“左加右减”是指抛物线y=ax2向左平移,则括号内x后面的数是正数,向右平移则括号内x后面的数是负数.温馨提示：
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提技能·题组训练
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
1.(2013·兰州中考)二次函数y=-2(x-1)2+3的图象的顶点坐标是( )
A.(1,3) B.(-1,3)
C.(1,-3) D.(-1,-3)
【解析】选A.∵抛物线解析式为y=-2(x-1)2+3,
∴二次函数图象的顶点坐标是(1,3).
2.(2013·雅安中考)将抛物线y=(x-1)2+3向左平移1个单位,再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为( )
A.y=(x-2)2 B.y=(x-2)2+6
C.y=x2+6 D.y=x2
【解析】选D.抛物线y=(x-1)2+3向左平移1个单位,变为y=(x-1+1)2+3即y=x2+3;再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为y=x2+3-3即y=x2.
【互动探究】将抛物线y=(x-1)2+3向下平移3个单位,再向左平移1个单位后所得抛物线的解析式为 .
【解析】抛物线y=(x-1)2+3向下平移3个单位变为y=(x-1)2+3-3即y=(x-1)2;再向左平移1个单位后,所得抛物线的解析式为y=(x-1+1)2即y=x2.
答案:y=x2
3.二次函数y=2(x-3)2+5的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为( )
A.开口向下,对称轴x=-3,顶点坐标为(3,5)
B.开口向下,对称轴x=3,顶点坐标为(3,5)
C.开口向上,对称轴x=-3,顶点坐标为(-3,5)
D.开口向上,对称轴x=3,顶点坐标为(3,5)
【解析】选D.由函数解析式y=2(x-3)2+5知,a=2>0,所以抛物线开口向上,对称轴是直线x=3,顶点坐标为(3,5).
4.已知二次函数y=a(x+1)2-b(a≠0)有最小值1,则a,b的大小关系为( )
A.a>b B.aC.a=b D.不能确定
【解题指南】
【解析】选A.由解析式可以得出函数的顶点坐标是(-1,-b),存在最小值-b=1,所以b=-1,抛物线的开口向上,a>0,所以a>b.
5.设A(-2,y1),B(1,y2),C(2,y3)是抛物线y=-(x+1)2+a上的三点,则y1,y2,y3的大小关系为( )
A.y1>y2>y3 B.y1>y3>y2
C.y3>y2>y1 D.y3>y1>y2
【解析】选A.∵函数的解析式是y=-(x+1)2+a,如图所示,∴对称轴是x=-1,∴点A关于对称轴对称的点A'是(0,y1),那么点A',B,C都在对称轴的右边,而对称轴右边y随x的增大而减小,于是y1>y2>y3.
【知识归纳】函数值的大小比较
二次函数值的大小比较,取决于点到对称轴的距离:
1.若a>0,图象上的点到对称轴的距离越近,函数值越小.
2.若a<0,图象上的点到对称轴的距离越近,函数值越大.
6.(2013·深圳中考)已知二次函数y=a(x-1)2-c的图象如图所示,则一次函数y=ax+c的大致图象可能是( )
【解析】选A.因为二次函数y=a(x-1)2-c图象开口向上,
∴a>0;∵二次函数图象的顶点(1,-c)在第四象限,∴-c<0,∴c>0;因此,一次函数y=ax+c的图象经过第一、二、三象限.
【易错提醒】根据图象分析解析式中字母的正负
①抛物线开口向上→a>0→一次函数图象成上升趋势;
②抛物线顶点在第四象限→纵坐标-c<0,∴c>0→一次函数图象与y轴交于正半轴.
7.抛物线y=-3(x+4)2+1中,当x= 时,y有最 值,是 .
【解析】由解析式y=-3 (x+4)2+1知,抛物线的顶点坐标为(-4,1),a=-3<0,所以图象开口向下,当x=-4时,y有最大值,是1.
答案:-4 大 1
用顶点式y=a(x-h)2+k求抛物线解析式
1.已知x=1时,函数有最大值5,且图象经过点(0,-3),则该二次函数的解析式为 .
【解析】因为x=1时,函数有最大值5,所以顶点坐标是(1,5),则设函数解析式为y=a(x-1)2+5;图象经过点(0,-3),所以-3=a(0-1)2+5,a=-8,所以函数的解析式为y=-8x2+16x-3.
答案:y=-8x2+16x-3
2.顶点与抛物线y=-2(x-1)2-3的顶点相同,且开口方向相反,大小相同的抛物线的解析式为 .
【解析】抛物线y=-2(x-1)2-3的顶点为(1,-3),所以设该抛物线的解析式为y=a(x-1)2-3,由题意知,a=2,所以该抛物线的解析式为y=2(x-1)2-3
答案:y=2(x-1)2-3
【变式训练】抛物线y=ax2+2x+c的顶点坐标为(2,-3),则a= ,
c= .
【解析】因为顶点坐标为(2,-3),所以设抛物线的解析式为y=a (x-2)2-3,则a(x-2) 2-3=ax2+2x+c,即ax2-4ax+4a-3=ax2+2x+c,得-4a=2,4a-3=c,
解得a=-,c=-5.
答案:- -5
3.一条抛物线的对称轴是x=1,且与x轴有唯一的公共点,并且开口方向向下,则这条抛物线的解析式为 .(任写一个)
【解析】由题意知,抛物线的顶点坐标为(1,0),且开口方向向下,得a<0;因为抛物线与x轴有唯一的公共点,所以最大值是0.所以解析式可以为y=-3(x-1)2.
答案:y=-3(x-1)2(答案不唯一)
4.(2013·肥城安站中学质检)已知抛物线的顶点坐标为(-1,2),且过点(1,-2).
(1)求该抛物线的解析式.
(2)写出与x轴的交点坐标.
【解析】(1)∵抛物线顶点坐标(-1,2),
∴设抛物线解析式为y=a(x+1)2+2,
∵抛物线经过点(1,-2),
∴a(1+1)2+2=-2,
解得a=-1,
所以,该抛物线解析式为y=-(x+1)2+2.
(2)令y=0,则- (x+1)2+2=0,
解得x+1=±,
所以x1=-1,x2=--1,
所以,该抛物线与x轴的交点坐标为(-1,0),(--1,0).
5.(2013·泉州中考)已知抛物线y=a(x-3)2+2经过点(1,-2).
(1)求a的值.
(2)若点A(m,y1),B(n,y2)(m【解析】(1)∵抛物线y=a(x-3)2+2经过点(1,-2),
∴a(1-3)2+2=-2,∴a=-1.
(2)由(1)得a=-1<0,抛物线的开口向下,
∴在对称轴x=3的左侧,y随x的增大而增大.
∵m【错在哪？】作业错例 课堂实拍
把抛物线向右平移4个单位,再向下平移6个单位,所得抛物线的解析式为y=-x2,求原来抛物线的解析式.
(1)找错:第 步出现错误.
(2)纠错:_________ ________________________________________________.
答案：(1)②
(2)再将抛物线y=-x2+6向左平移4个单位，得到抛物线y=-(x+4)2+6.
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课时提升作业(十二)
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质(第2课时)
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.(2013·泰安中考)对于抛物线y=-(x+1)2+3,下列结论:①抛物线的开口向下;②对称轴为直线x=1;③顶点坐标为(-1,3);④x>1时,y随x的增大而减小.其中正确结论的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选C.∵a<0,∴开口向下,①正确;y=-(x+1)2+3的对称轴为直线x=-1,∴②错误;顶点坐标为(-1,3),③正确;开口向下,x>1时指的范围在对称轴右侧,图象是下降趋势,y随x的增大而减小,④正确.
2.(2013·吉林中考)如图,在平面直角坐标系中,抛物线所表示的函数解析式为y=-2(x-h)2+k,则下列结论正确的是( )
A.h>0,k>0 B.h<0,k>0
C.h<0,k<0 D.h>0,k<0
【解析】选A.根据题意可得抛物线的顶点坐标为(h,k),而从图象可知顶点在第一象限,根据第一象限内点的特征,可得h>0,k>0.
3.顶点坐标为(-2,3),开口方向和大小与抛物线y=x2相同的解析式为( )
A.y=(x-2)2+3 B.y=(x+2)2-3
C.y=(x+2)2+3 D.y=-(x+2)2+3
【解析】选C.因为顶点坐标为(-2, 3),所以可设抛物线解析式为y=a(x+2)2+3,又因为开口方向和大小与抛物线y=x2相同,所以a=,所以解析式为y=(x+2)2+3.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.(2014·临潭一中月考)若函数y=3+k与x轴的一个交点坐标是(2,0),则它与x轴的另一个交点坐标是 .
【解题指南】解答本题的关键:抛物线是轴对称图形,它与x轴的两个交点关于抛物线的对称轴是对称的,即两点到对称轴的距离相等.
【解析】抛物线y=3+k的对称轴为直线x=4,图象与x轴的两个交点关于对称轴对称,与x轴的一个交点坐标是(2,0),所以另一个交点坐标是(6,0).
答案:(6,0)
5.已知点A(x1,y1),B(x2,y2)在二次函数y=(x-1)2+1的图象上,若x1>x2>1,则y1
y2(填“>”“=”或“<”).
【解析】由y=(x-1)2+1可知其对称轴是x=1,抛物线的开口向上,所以当x>1时,y随x的增大而增大,所以x1>x2>1时,y1>y2.
答案:>
6.把二次函数y=(x-1)2+2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为 .
【解析】原二次函数的图象顶点为(1,2),绕原点旋转后的顶点为(-1,-2),所以二次函数的解析式用顶点式表示为y=a(x+1)2-2,因为旋转开口大小不变,只是改变了开口方向,所以a变为原来的相反数,则a=-1,即抛物线解析式为y=-(x+1)2-2.
答案:y=-(x+1)2-2
【变式训练】抛物线y=-3(x+5)2-6关于x轴对称的抛物线的解析式为 .
【解析】抛物线y=-3(x+5)2-6的顶点坐标为(-5,-6),该点关于x轴对称的点的坐标为(-5, 6),所以可设新抛物线的解析式为y=a(x+5)2+6,又因为新抛物线与原抛物线关于x轴对称,所以a=3,可得新抛物线的解析式为y=3(x+5)2+6.
答案:y=3(x+5)2+6
三、解答题(共26分)
7.(8分)已知抛物线y=+2a2+3a-5的顶点在坐标轴上,求字母a的值,并指出顶点坐标.
【解析】抛物线y=+2a2+3a-5的顶点坐标为(-a, 2a2+3a-5),
(1)若顶点在x轴上,则2a2+3a-5=0,
解得a=1或a=-.
所以顶点坐标为(-1,0)或.
(2)若顶点在y轴上,则-a=0,
即a=0,2a2+3a-5=-5.
所以顶点坐标为(0,-5).
【易错提醒】顶点在坐标轴上,有两种情况:在x轴上或在y轴上,不能只认为在x轴上或在y轴上.
【互动探究】若将题干中“顶点在坐标轴上”改为“顶点在直线x=2上”,则字母a的值为多少?顶点坐标是什么?
【解析】抛物线y=+2a2+3a-5的顶点坐标为(-a,2a2+3a-5),因为顶点在直线x=2上,所以-a=2,a=-2.所以2a2+3a-5=-3.即a的值为-2,顶点坐标为(2,-3).
8.(8分)某同学在推铅球时,推球经过的路线是抛物线的一部分(如图),出手处A点坐标是(0,2),最高点B的坐标是(6,5),求此抛物线的函数解析式.
【解析】因为抛物线最高点B的坐标是(6,5),所以设抛物线的解析式为y=a(x-6)2+5,把A点(0,2)代入上式,得a·62+5=2,解得a=-,
所以此抛物线的函数解析式为y=-(x-6)2+5.
【知识归纳】利用顶点式求二次函数解析式的一般步骤
若已知抛物线的顶点坐标为(h,k),且过另一点A(m,n),求解析式时,
(1)设抛物线的解析式为y=a(x-h)2+k.
(2)将A(m,n)代入,求出a的值.
(3)按要求写出抛物线的解析式.
【培优训练】
9.(10分)某瓜果基地市场部为指导该基地某种蔬菜的生产销售,在对历年市场行情和生产情况进行调查的基础上,对今年这种蔬菜上市后的市场售价和生产成本进行了预测,提供了两个方面的信息,如图所示.
请你根据图象提供的信息说明:
试探究每千克的收益y与月份x的关系式(收益=售价-成本).
注:两图中的每个实心点所对应的纵坐标分别指相应月份的售价和成本,生产成本6月份最低,图甲的图象是线段,图乙的图象是抛物线.
【解析】设第x月每千克售价为y1元,由图象可得:
y1=-x+7.
设第x月每千克的成本为y2元,由图象可得:
y2=(x-6)2+1,
所以y= y1-y2=-x+7-[(x-6)2+1]
=-x2+x-6.
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