《消元──二元一次方程组的解法》教案
内容解析：
学生在小学阶段已经学习了解简易方程，在七年级上学期系统学习了解一元一次方程.解二元一次方程组的教学是在前面学习的基础上对方程的进一步研究和学习“元增多”（一元→二元）.本节教学的核心是“消元”，从讨论解方程组的需要出发，引导学生从解决问题的基本策略的角度（转化思想：多元（新问题）→一元（旧问题）），实现问题的解决.这里的转化亦即消元化归思想，认知策略是逐步减少未知数的个数，以使方程组化归为一元方程，即先解出一个未知数，然后逐步解出其他未知数.这对学生的能力提升以及后续学习非常重要.在这种思想的指导下，结合学生对同一个问题的不同解方法对照，发现用代入的方法能够实现消元，不仅对消元思想的理解由抽象到具体，而且找出了解二元一次方程组的一种基本方法──代入消元法.
教学重点：
解决问题的一般思路：
转化（化繁为简，化难为易，化新为旧）；
对消元化归思想的初步理解；
用代入法解二元一次方程组.
教学难点：
对数学思想方法的理解，尤其是对用代入的方法实现消元的理解.突破这一难点的关键
教学目标：
知识与技能
1、会用代入法解二元一次方程组
2、初步体会解二元一次方程组的基本思想---“消元”
过程与方法
经历用代入法贾二元一次方程组的训练，培养运算能力，体会化归思想
情感、态度、价值观
通过研究解决问题的方法，培养学生合作意识与探究精神.
教学过程设计：
（一）情景导课
背景材料：老师在我们学校代三个班的数学，所教学生共143人.
问题1：你能提出什么数学问题？如何解决？
学生可能提出的问题：
（1）每个班有多少个学生？
（2）男生、女生各多少个？
针对问题（2），增加条件：男生人数的2倍比女生人数的3倍少14人.
学生活动：解决问题；展示方法.
教师点拨：（1）用建模思想引领思维，实际问题－数学问题.
（2）一元一次方程会解但难列，因为要综合考虑问题中的各种等量关系；二元一次方程组易列，因为可以分别考虑两个等量关系，但不会解.从而产生了新问题.方程组对于解含多个未知数的问题很有效，它的优越性会随着问题中未知数的增加而体现得更加明显.
【设计意图】（1）由于是借班上课，以此形式开课既能创造轻松的氛围、拉近师生之间的距离，又可以巧妙引出本节课的教学内容.
（2）问题是学生自己提出的，因此他们解决这个问题的积极性更高，思维更开阔，各种方法的出现便会成为必然.
（3）让学生体会到方程组在解决实际问题中的优越性.
（二）解决问题
问题2：怎么解二元一次方程组呢？
追问：为什么要这样做？依据是什么？
你的解题思路是什么？
你的解题方法的名称是什么？为什么可以这样归纳？
（学生思考、交流.）
教师明确：转化思想──新问题转化成旧问题；
消元思想──将未知数的个数由多化少，逐一解决.
（学生展示自己的方法.）
师生交流，达成共识，明确思路：变形—代入—求解—写解.
教师规范解题过程，进而形成概念：
代入消元法──把二元一次方程组中的一个方程变形成用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解.这种方法叫做代入消元法，简称代入法.
【设计意图】我们一直强调让学生“知其然，而且要知其所以然”.但学生往往停留在对知识或方法的表层理解的水平上，究其原因，还是没有形成较强的问题意识，不习惯于多问个“为什么是这样的”、“这样做的依据是什么”等问题.因此，教学应不失时机地培养学生养成良好的问题意识.在问题的引导下，鼓励学生投入到活动中，并留给学生足够的独立思考和自主探索的时间和空间，从而让学生积极、主动地思考，随着思维的自然流淌，“顺势”自然地理解消元思想，解决问题的思路逐渐清晰.通过探索实践，体验知识方法的形成过程，发现代入消元法的由来及过程，真正体会消元思想.
练习1：你能把下列方程写成用含x的式子表示y的形式吗？
（1）3x+y-1=0；
（2）2x-y=3；
（3）2y-4x=7.
【设计意图】变形其实是解含字母系数的方程，是学生容易出错的地方，这个问题的设置是为代入法做准备.
练习2：解方程组
【设计意图】这一环节，可以让学生趁热打铁——熟悉自己发现的方法.通过学生板书、学生批阅对错、教师规范，不仅可以让学生明确代入消元法解方程组的一般过程，再次规范解题的步骤.
总结：用代入法解二元一次方程组的一般步骤.
【设计意图】我们不应倡导学生对某一方法的死记硬背，但必要的归纳、提炼、反思，能让学生体会解方程组过程中的程序化思想，能帮助学生对基础知识和基本方法有清晰的认识，尤其是对学习学习基础较弱的学生.
（三）巩固拓展
A组：必做题??????????????????
B组：选做题
【设计意图】理解了思路，明确了方法，还要通过一定量的练习才能切实掌握方法，融会贯通，领悟思路，启迪智慧，灵活应用.另外，上课时可以请两名学生选择同一道题目进行板演，主要是对比代入的字母不同，简易程度也不同.同时应指出，在方程组中有未知数的系数为±1时，应用代入法求解起来很简便，如果不是，就比较麻烦，所以在“变形”这一步中，要注意观察，同时为后面的加减法的学习做了伏笔.
（四）反思提高
这节课，我学到的知识方法、思想有：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
这节课，让我颇受启发的是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
这节课，我的收获还有：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
这节课，让我感到难理解是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
【设计意图】我们的教学不仅仅是和学生分享知识和方法，更重要的是培养学生的学习习惯、提高他们的学习能力，而勤于总结、善于反思则是能力提高的快车道.
（五）体味文化
学生把自己搜集到的关于我国古代解方程组的资料互相交流.
【设计意图】教学不仅要关注学生在数学知识和能力方面得到提高，还要关注数学文化的传承，使学生受到数学文化的熏陶.
目标检测设计：
1.把下列方程写成用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式.
（1）3x-y=4；??????? （2）-2x+y+3=0；??????? （3）2x+3y=4.
2.解下列方程组.
???????
《消元——二元一次方程组的解法》教案
教学要求：
1．会用代入法解二元一次方程组.
2．初步体会解二元一次方程组的基本思想――“消元”.
3．通过研究解决问题的方法，培养学生合作交流意识与探究精神.
教学重点：
用代入法解二元一次方程组.
教学难点：
探索如何用代入法将“二元”转化为“一元”的消元过程.
教学过程：
复习提问：
篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分.负一场得1分，某队为了争取较好的名次，想在全部22场比赛中得到40分，那么这个队胜负场数分别是多少？
解：设这个队胜x场，根据题意得
解得
x＝18
则 22－x＝4
答：这个队胜18场，负4场.
新课：
在上述问题中，我们可以设出两个未知数，列出二元一次方程组，
设胜的场数是x，负的场数是y，
x＋y＝22
2x＋y＝40
那么怎样求解二元一次方程组呢？上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系？可以发现，二元一次方程组中第1个方程x＋y＝22说明y＝22－x，将第2个方程2x＋y＝40的y换为22－x，这个方程就化为一元一次方程.
二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先解出一个未知数，然后再设法求另一未知数.这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的想法，叫做消元思想.
归纳：
上面的解法，是由二元一次方程组中一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解.这种方法叫做代入消元法，简称代入法.
例1 把下列方程写成用含x的式子表示y的形式：
（1）3x－y＝5 （2）3x＋2y－1＝0
例2 用代入法解方程组
x－y＝3 ①
3x－8y＝14 ②
例3 根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500g）和小瓶装（250g）两种产品的销售数量比（按瓶计算）为2：5.某厂每天生产这种消毒液22.5吨，这些消毒液应该分装大、小瓶装两种产品各多少瓶？
归纳：用代入消元法解二元一次方程组的步骤：
（1）从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来.
（2）把（1）中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数.
（3）解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值.
（4）把所求得的一个未知数的值代入（1）中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解.
课堂练习：
P93页练习1、2、3、4题
作业：
P93页第1、2、4题
《消元——二元一次方程组的解法》教案
教学目标：
一.教学知识点
1、会用代入消元法解二元一次方程组
2、了解代入消元法解二元一次方程组的基本步骤
二.能力训练要求
1、理解消元的思想，知道消元是一种重要的思想方法
2、会用代入消元法解二元一次方程组
3、能说出代入消元法解二元一次方程组的基本步骤
教学重点：
??? 会用代入消元法解二元一次方程组
教学难点：
?????理解代入消元法，灵活消元，解二元一次方程组.
教学方法：
?????讲练结合法
教学过程：
(一)巧设现实情景，引入新课
上一节课，我们学习了二元一次方程，二元一次方程组的有关概念，这一节? 我们来学习二元一次方程组的解法
例1：篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负每队胜一场得2分，负一场得1分，队为了争取较好名次，想在全部22场比赛中得到40分，那么这个队胜负场数应分别是多少？
（1）若设这个队胜场数是 ? 场，负场数是 ? 场，可列方程组
（2）若只设一个未知数，设这个队胜场数是 ? 场，负场数是 ? 场，可列方程
?解这个方程，可得这个队胜场数是? 场，负场数是 场
(二)讲授新课
1、自学
（1）什么叫消元？
（2）什么叫代入消元法？
2、老师点评代入消元法
???? ?????解：由①得：Y=22-X ?③
???????? ???? ?把③代入②得：2X+(22-X)=40
???????? ???? ?解这个方程得：X=18
把X=18代入③得：Y=4
∴这个方程组的解是??? X=18
Y=4
3、师生总结代入消元法的基本步骤
⑴变形：使两个方程中某个相同未知数的系数相等或互为相反数．
⑵加减：将两个方程相加减，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．
⑶求解：求出一元一次方程的解．
⑷回代：将其代入到变形后的方程中，求出另一个未知数的解．
⑸结论：写出方程组的解．
点拨：（1）求表达式时，一般选择未知数系数的绝对值最小的方程及未知数.
（2）将变形后的方程代入没有变形的方程中，不能代入变形的方程.
4、比一比，谁做的又对又快
例1：用代入法解下列方程组
⑴⑵⑶⑷
答案：⑴????? ⑵???? ⑶???? ⑷
5、应用举例
例2：根据市场调查；一种消毒液的大瓶装（500克）和小瓶装（250克）两种产品的销售数量（按瓶计算）比为2：5，工厂每天生产这种消毒液22.5吨，这些消毒液应该分装大小瓶两种产品各多少瓶？
解：设这些消毒液应该分装x大瓶和y小瓶
根据题意得：?? x:y=2：5①
??? ???????????????????????500x+250y=22500000②
由①得：y=2.5x③
把③代入②得：500x+250×2.5x=22500000
解这个方程得：X=20000
把X=20000代入③得：Y=50000
∴这个方程组的解是
x=20000
y=50000
答：这些消毒液应该分装20000大瓶和50000小瓶
(三)课时小结
这节课我们知道了什么叫消元？，会用代入消元法解二元一次方程组，?还知道了代入消元法解二元一次方程组的基本步骤.
(四)知识检测
1．解下列方程组.
（1）???? ???????（2）
（3）??? ????????（4）
2．有48个队520名运动员参加篮、排球比赛，其中每支篮球队10人，每支排球队12人，每名运动员只参加一项比赛．篮、排球队各有多少队参赛？
(五)活动与探究
（1）已知（x+y-5）与∣3y-2x+10∣互为相反数，求x与y的值
（2）解下列方程组： （x+1）÷3﹣(y+2）÷4=0①
?????????????? （x-3)÷4-(y-3)÷3=1÷12②
?
(六)板书设计
例1：用代入消元法解二元一次方程组解：
解：由①y=x+3得：y=3-x ?③
????????把③代入②7x+5y=9得：7x+5(3-x)=9
???????解这个方程得：X=-3
把X=-3代入③得：
∴这个方程组的解是? ??y=6
《消元——解二元一次方程组》教案
教学目标：
根据新课标要求，考虑到学生已有的认知结构与心理特征，制定如下教学目标：
知识与技能：会用代入消元法解二元一次方程组.
过程和方法：对代入消元法的探究，使学生体会代入消元法所体现的化未知为已知的化归思想方法.
情感、态度与价值观：通过探究解决问题的方法，培养学生合作交流意识与探究精神，进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型.
教学重难点、关键：
重点：代入消元法解二元一次方程组.
难点：对代入消元法解二元一次方程组过程的理解.
关键：掌握代入消元法的关键是化二元方程为一元方程，而转化的关键是将方程组其中一个方程变形为“y=ax+b”或“x=ay+b”（其中a、b为常数）的形式，因而对代入消元法的理解关键是对“消元”思想的理解.
说教法学法：
1.说教法
主要采用引导式教学方法．适时引导学观察、发现、总结归纳，力求让学生独立思考问题和解决问题；充分发挥学生的主体作用.
理论依据：《新课程标准》指出“数学教学应从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索、交流，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习，促使学生在教师指导下生动活泼地、主动地、富有个性地学习.”
2、说学法
结合本课内容，引导学生通过观察、比较、归纳、自主学习以及合作交流等方法学习.
理论依据：新课标指出：“在教学活动中，教师应发扬教学民主，成为学生数学活动的组织者、引导者、合作者；要善于激发学生的学习潜能，鼓励学生大胆创新与实践.”
说教学过程：
我将从（一）情境导入；（二）探究新知；（三）知识应用；（四）小结与布置作业这四个环节进行，并根据重难点分配时间依次为3分钟、10分钟、25分钟和2分钟.
（一）情境导入
问题：我校计划举行班级篮球联赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，为了争取出线名额，我班至少要在全部10场比赛中得到16分，那么，我班胜负场数分别是多少？
设计意图：激发学生学习兴趣，渗透方程（组）解决实际问题的有效性.由于问题的解法在上一节中已经讨论过，所以这里的侧重点不是列方程（组），而是为探究二元一次方程组和一元一次方程的关系服务.
1、解法一：直接设两个未知数，设胜x场，负y场，根据题意列方程组得
思考（紧扣课题，明确主要内容）：这个方程组的解是什么？如何解方程组？接下来我们将探讨如何解二元一次方程组？
2、解法二：只设一个未知数，设胜x场，则负（10-x）场，根据题意列方程得
2x+（10-x）=16
（二）探究新知
1、思考：上述的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系？
教法：教师提出问题后，将学生分成小组讨论.教师深入学生的讨论中，引导学生观察 ，给予学生肯定与鼓励.归纳总结：我们发现，解法一所设的y相当于解法二中的（10-x），因为问题中y和（10-x）都表示负场数，进一步发现方程组中第一个方程x+y=10可以写成y=10-x，而由于两个方程中的y都表示负的场数，所以我们把第二个方程2x+y=16中的y换为10-x，这个方程就转化为一元一次方程2x+（10-x）=16，解这个方程，得x=6.把x=6代入y=10-x，得y=4.从而得到这个方程组的解.
适时给出概念，感受概念是通过实际生活抽象得出的
2、消元思想
二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程.我们可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数.这种将未知数的个数有多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.
归纳总结：上面的解法，是把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解.这种方法叫做代入消元法，简称代入法
二元一次方程组 一元一次方程.
设计意图：通过梳理“情境问题”中方程组的解法过程，给出数学方法的名称，即数学概念，从而体验“过程与方法”.
（三）知识应用
1、尝试解题，独立完成
例1 用代入法解方程组
设计意图：培养学生自主学习的能力，同时通过初次尝试，引起学生对数学解题步骤的重视.
解：由①，得x=y+3. ③
把③代入②，得
3（y+3)－8y=14.
解这个方程，得y=－1.
把y =－1代入③，得
x=2.
所以，这个方程组的解是
思考：（1）把③代入①可以吗？试试看.
（2）把y =－1代入① 或②可以吗？
2、课堂练习
练习1：把下列方程改写用含x的式子表示y的形式（1）2x-y=3；（2）3x+y-1=0
练习2：用代入法解下列方程组
（1） （2）
设计意图：第1题体现了难点突破中“关键”即二元一次方程变形的关键，第二题能让学生通过解决问题，总结归纳出解题的一般步骤和解题技巧.
最后，师生归纳出代入法解二元一次方程组的一般步骤：
①变形（选择其中一个方程，把它变形为用一个未知数的代数式表示另一个未知数）；
②代入（把变形好的方程代入到另一个方程，即可消元）
③求解（解一元一次方程，得一个未知数的值）；
④回代（把求得的未知数代入到变形的方程，求出另一个未知数的值）；
⑤写解（用 x=a 的形式写出方程组的解）.
y=b
⑥验算（把方程的解代回原方程组验算）
简记：变形→代入→求解→回代→写解→验算
（四）小结，布置作业
小结： 1. 解二元一次方程组的思想？
2. 代入法解二元一次方程组的步骤是什么？
3. 用代入法解二元一次方程组的技巧：①变形的技巧；②代入的技巧．
布置作业：1.（必做题）教材P97页习题8.2复习巩固第1、2题
2.（选做题） 教材P97页思考题（1）
