第8课时 等比数列的应用
1.理解等比数列的定义、通项公式、前n项和公式的性质.
2.能应用等比数列的定义、通项公式、前n项和公式的性质解决相关的数列问题.
前面我们共同学习了等比数列的定义、通项公式、前n项和公式等基本概念,理解了累差法、归纳法、倒序相加法等,今天我们将共同探究等比数列的定义,通项公式,前n项和公式的相关性质及其应用,这些性质在数列中地位重要.
问题1:等比数列通项公式的性质
(1)对任意的m,n∈N+,an=am· ,q= .?
(2)若m+n=p+q,则 ,特别地,若m+n=2p,则 .?
(3)am,am+k,am+2k,am+3k,…仍是等比数列,公比为 .?
(4)①数列{an}是等比数列,则数列{pan}(p≠0,p是常数)也是等比数列,公比为 .?
②若{an}为等比数列,公比为q,则{a2n}也是等比数列,公比为 .?
③若{an}为等比数列,公比为q(q≠-1),则{a2n-1+a2n}也是等比数列,公比为 .?
④若{an}、{bn}是等比数列,则{anbn}也是等比数列,公比是两等比数列公比之 .?
问题2:等比数列的前n项和的简单性质
(1)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等比数列,且公比为 (q≠1).?
(2)当q≠1时,Sn=Aqn+B(其中A+B= ).?
(3)Sn+m=Sm+qmSn(q为公比).
问题3:等比数列的判定方法
(1)定义法:若 =q(q为非零常数且n≥2),则{an}是等比数列;?
(2)等比中项法:若an≠0且= (n∈N+),则{an}是等比数列;?
(3)通项公式法:若an=c· (c,q均是不为0的常数,n∈N+),则{an}是等比数列;?
(4)前n项和公式法:若Sn=k·qn+ (k为常数且k≠0,q≠0,1),则{an}是等比数列.?
问题4:等比数列的单调性
(1)当a1>0,q>1时,等比数列{an}是递 数列;?
(2)当a1<0,0(3)当a1>0,0(4)当a1<0,q>1时,等比数列{an}是递 数列;?
(5)当q<0时,等比数列{an}是 数列;当q=1时,等比数列{an}是 数列.?
1.数列9,99,999,9999,…的前n项和等于( ).
A.10n-1 B.-n C.(10n-1) D.(10n-1)+n
2.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若a2013=3S2012+2014,a2012=3S2011+2014,则公比q等于( ).
A.4 B.1或4 C.2 D.1或2
3.等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2=6,S4=30,则S6= .?
4.已知数列{an}的通项an=2·3n,求由其奇数项所组成的数列的前n项和Sn.
Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等比数列的应用
在等比数列{an}中,S2=7,S6=91,求S4.
等比数列的证明
数列{an}满足:a1=1,a2=,an+2=an+1-an(n∈N+).
(1)记dn=an+1-an,求证:{dn}是等比数列.
(2)求数列{an}的通项公式.
数列单调性的判断
已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和为14,且a1,a3,a7恰为等比数列{bn}的前三项.
(1)分别求数列{an},{bn}的前n项和Sn,Tn;
(2)记数列{anbn}的前n项和为Kn,设cn=,求证:cn+1>cn(n∈N+).
在等比数列{an}中,已知Sn=48,S2n=60,求S3n.
在{an}中,a1=1,an+1=,试求数列{an}的通项an.
已知函数f(x)=-x2+7x,数列{an}的前n项和为Sn,点Pn(n,Sn)(n∈N+)均在函数y=f(x)的图像上.
(1)求数列{an}的通项公式及Sn的最大值;
(2)令bn=,其中n∈N+,求{nbn}的前n项和Tn.
1.在等比数列中,an>0且an+2=an+3an+1,则公比q等于( ).
A. B. C.3 D.-3
2.等比数列{an}的前n项和为Sn,若S6∶S3=1∶2,则S9∶S3等于( ).
A.1∶2 B.2∶3 C.3∶4 D.1∶3
3.一个等比数列{an}共有2n+1项,奇数项之积为100,偶数项之积为120,则an+1= .?
4.一个等比数列的首项为1,项数是偶数,其奇数项的和为85,偶数项的和为170,求此数列的公比和项数.
(2009年·辽宁卷)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若=3,则等于( ).
A.2 B. C. D.3
考题变式(我来改编):
第8课时 等比数列的应用
知识体系梳理
问题1:(1)qn-m (2)am·an=ap·aq am·an= (3)qk (4)①q ②q2 ③q2 ④积
问题2:(1)qm (2)0
问题3:(1) (2)an·an+2 (3)qn (4)-k
问题4:(1)增 (2)增 (3)减 (4)减 (5)摆动 常
基础学习交流
1.B 由题意得an=10n-1,∴Sn=a1+a2+…+an=(10-1)+(102-1)+…+(10n-1)=(10+102+…+10n)-n=-n.
2.A 由a2013=3S2012+2014与a2012=3S2011+2014相减得,a2013-a2012=3a2012,即q=4,故选A.
3.126 在等比数列{an}中,S2、S4-S2、S6-S4成等比数列,∵S2=6,S4-S2=24,∴S6-S4==96,∴S6=S4+96=126.
4.解:由an=2·3n得==3,又a1=6,
∴{an}是等比数列,其公比为q=3,首项a1=6,
∴{an}的奇数项也成等比数列,公比为q2=9,首项为a1=6,
∴Sn==(9n-1).
重点难点探究
探究一:【解析】(法一)∵{an}为等比数列,
∴S2,S4-S2,S6-S4也为等比数列,
∴(S4-7)2=7×(91-S4),解得S4=28或-21.
∵S4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1q2+a2q2=S2+S2q2=S2(1+q2)>0,∴S4=28.
(法二)∵S2=7,S6=91,∴q≠1.
∴
得q4+q2-12=0,∴q2=3,∴q=±.
当q=时,a1=,∴S4==28;
当q=-时,a1=-,∴S4==28.
【小结】等比数列中项数相等的连续项的和若不为零时,则连续项的和仍成等比数列.
探究二:【解析】(1)a1=1,a2=,∴a2-a1=-1=,
又an+2-an+1=an+1-an.
∴=,即dn+1=dn.
故数列{dn}是以为首项,为公比的等比数列.
(2)由(1)得dn=an+1-an=()n,
∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1
=()n-1+()n-2+…+()1+1
=2-()n-1.
【小结】通过递推关系求数列通项的关键是构造新数列,比如等差或等比数列.
探究三:【解析】(1)设公差为d,
则
解得a1=2,d=1或a1=,d=0(舍去),
∴an=n+1,Sn=.
又a1=2,d=1,∴a3=4,即b2=4.
∴数列{bn}的首项为b1=2,公比q==2,
∴bn=2n,Tn=2n+1-2.
(2)∵Kn=2·21+3·22+…+(n+1)·2n, ①
∴2Kn=2·22+3·23+…+n·2n+(n+1)·2n+1, ②
①-②得-Kn=2·21+22+23+…+2n-(n+1)·2n+1,
∴Kn=n·2n+1,则cn==.
∵cn+1-cn=-
=>0,
∴cn+1>cn(n∈N+).
【小结】掌握等差数列、等比数列的有关性质和错位相减法求和,以及利用比差法比较大小等知识.
思维拓展应用
应用一:∵{an}为等比数列,且由已知可得q≠±1,∴Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比数列,∴(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n),∴S3n=+S2n=+60=63.
应用二:原式可变为=+1,
∴可变形为+=3(+),
∴{+}为等比数列,首项为+=,公比为3,
∴+=·3n-1,∴an=.
应用三:(1)∵点Pn(n,Sn)(n∈N+)均在函数y=f(x)的图像上,且f(x)=-x2+7x,
∴有Sn=-n2+7n.
当n=1时,a1=S1=6;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-2n+8,a1=6适合上式,
∴an=-2n+8(n∈N+).
∵Sn=-n2+7n=-(n-)2+,∴当n=3或n=4时,Sn取得最大值12.
综上,an=-2n+8(n∈N+),当n=3或n=4时,Sn取得最大值12.
(2)由题意得b1==8,bn==2-n+4,
∴=,
∴数列{bn}是首项为8,公比为的等比数列,
故{nbn}的前n项和
Tn=1×23+2×22+…+n×2-n+4, ①
Tn=1×22+2×2+…+(n-1)×2-n+4+n×2-n+3, ②
∴①-②得:Tn=23+22+…+2-n+4-n×2-n+3,
∴Tn=-n·24-n=32-(2+n)·24-n.
基础智能检测
1.B 由题意知anq2=an+3anq,∴q2-3q-1=0,∴q=或q=(舍去).
2.C ∵{an}为等比数列,显然S6-S3≠0,∴S3,S6-S3,S9-S6成等比数列,即(S6-S3)2=S3·(S9-S6),又∵S6∶S3=1∶2,∴=S3(S9-S3),即S3=S9,∴S9∶S3=3∶4.
3. an+1为数列{an}的中间项,其中奇数项有n+1项,偶数项有n项,且奇数项之积为T奇=(an+1)n+1,偶数项之积为T偶=(an+1)n,所以an+1==.
4.解:设该等比数列有2n项,则奇数项有n项,偶数项有n项,设公比为q,由等比数列的性质可得==2=q.又∵S奇+S偶==255,a1=1,∴2n=8,∴此数列的公比为2,项数为8.
全新视角拓展
B ∵==q3+1=3,∴q3=2,∴===.
课件19张PPT。第8课时 等比数列的应用1.理解等比数列的定义、通项公式、前n项和公式的性质.
2.能应用等比数列的定义、通项公式、前n项和公式的性质解决相关的数列问题.
前面我们共同学习了等比数列的定义、通项公式、前n项和公式等基本概念,理解了累差法、归纳法、倒序相加法等,今天我们将共同探究等比数列的定义,通项公式,前n项和公式的相关性质及其应用,这些性质在数列中地位重要.等比数列通项公式的性质
(1)对任意的m,n∈N+,an=am· ,q=? .?
(2)若m+n=p+q,则 ,特别地,若m+n=2p,则
.?
(3)am,am+k,am+2k,am+3k,…仍是等比数列,公比为 .?
(4)①数列{an}是等比数列,则数列{pan}(p≠0,p是常数)也是等比数列,公比为 .?
②若{an}为等比数列,公比为q,则{a2n}也是等比数列,公比为 .?
③若{an}为等比数列,公比为q(q≠-1),则{a2n-1+a2n}也是等比数列,公比为 .?
④若{an}、{bn}是等比数列,则{anbn}也是等比数列,公比是两等比数列公比之 .?qn-m?am·an=ap·aq?qkqq2q2积等比数列的前n项和的简单性质
(1)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等比数列,且公比为 (q≠1).?
(2)当q≠1时,Sn=Aqn+B(其中A+B= ).?
(3)Sn+m=Sm+qmSn(q为公比).qm0?????等比数列的单调性
(1)当a1>0,q>1时,等比数列{an}是递 数列;?
(2)当a1<0,0(3)当a1>0,0(4)当a1<0,q>1时,等比数列{an}是递 数列;?
(5)当q<0时,等比数列{an}是 数列;当q=1时,等比数列{an}是 数列.?常增减摆动1B增减2A1264 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等比数列的应用7 等比数列的证明 二次函数在实际中的应用B C ?
