第8课时 二元一次不等式(组)与平面区域
1.经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程,提高数学建模的能力.
2.了解二元一次不等式的几何意义,会作出二元一次不等式(组)表示的平面区域.
3.能利用二元一次不等式(组)所表示的平面区域解决简单的实际问题.
如图,点P1(-1,0)与点P2(0,-1)都在直线上,都满足x+y+1=0,点P3(0,0)与点P4(1,1)都在直线右上方,满足x+y+1>0,点P5(-2,0)与点P6(-1,-1)都在直线左下方,满足x+y+1<0.
问题1:直线l:ax+by+c=0把直角坐标平面分成了三个部分:
(1)直线l上的 满足ax+by+c=0.?
(2)直线l 的平面区域内的点(x,y)的坐标都满足ax+by+c>0.?
(3)直线l 的平面区域内的点(x,y)的坐标都满足ax+by+c<0.?
所以,只需在直线l的某一侧的平面区域内,任取一 ,从a0x+b0y+c值的正负,即可判断不等式表示的平面区域.通常直线不经过原点就选原点,直线经过原点就选其他点.?
问题2:画平面区域的步骤是:① ——画出不等式所对应的方程所表示的直线(如果原不等式带等号,则画成实线,否则,画成虚线);② ——将某个区域位置明显的特殊点的坐标代入不等式,根据“同侧同号、异侧异号”的规律确定不等式所表示的平面区域在直线的哪一侧;③ ——如果平面区域是由不等式组决定的,则在确定了各个不等式所表示的区域后,再求这些区域的公共部分,这个公共部分就是不等式组所表示的平面区域.俗称“直线定界,特殊点定域”.?
问题3:二元一次不等式所表示的平面区域与系数之间的关系:
①当B>0时,Ax+By+C>0表示的区域在直线Ax+By+C=0的 .?
当B<0时,Ax+By+C>0表示的区域在直线Ax+By+C=0的 .?
②当A>0时,Ax+By+C>0表示的区域在直线Ax+By+C=0的 .?
当A<0时,Ax+By+C>0表示的区域在直线Ax+By+C=0的 .?
对于Ax+By+C<0,也有类似的结论.
归结出一句话: .?
问题4:用二元一次不等式组表示实际问题的步骤:
(1)根据问题需求,选取具有 的两个量用字母表示;?
(2)把问题中的 都用这两个字母表示出来;?
(3)把实际问题中的 写成不等式;?
(4)把这些不等式 用平面区域表示出来.?
1.不等式3x+2y-6≤0表示的平面区域是( ).
2.不等式组表示的平面区域是( ).
3.若点A(3,3),B(2,-1)在直线x+y-a=0的两侧,则a的取值范围是 .?
4.画出不等式组表示的平面区域.
二元一次不等式(组)表示的平面区域
不等式(x-2y+1)(x+y-3)≤0表示的平面区域是( ).
用二元一次不等式组表示实际问题
某厂使用两种零件A、B装配两种产品甲、乙,该厂的生产能力是月产甲产品最多2500件,月产乙产品最多1200件,而且装配一件甲产品需要4个A,6个B,装配一件乙产品需要6个A,8个B.2013年1月,该厂能用的A最多有14000个,B最多有12000个,用不等式组将甲、乙两种产量之间的关系表示出来.
求二元一次不等式(组)表示的平面区域的面积
在平面直角坐标系中,画出不等式组所表示的平面区域,并求出平面区域的面积.
由直线x+y+2=0,x+2y+1=0和2x+y+1=0围成的三角形区域(包括边界),可用不等式组表示为 .?
一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4 t,硝酸盐18 t;生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1 t,硝酸盐15 t,现库存磷酸盐10 t、硝酸盐66 t,在此基础上生产两种混合肥料.用不等式组将甲、乙两种肥料的车皮数表示出来,并画出相应的平面区域.
求不等式组表示的平面区域的面积.
1.不等式x2-y2≥0表示的平面区域是( ).
2.已知A(-3,-1)和B(4,-6)在直线3x-2y-a=0的同侧,则a的取值范围为( ).
A.(-24,7) B.(-7,24)
C.(-∞,-7)∪(24,+∞) D.(-∞,-24)∪(7,+∞)
3.若不等式组表示的平面区域是一个三角形,则a的取值范围是 .?
4.在平面直角坐标系中,不等式组所表示的平面区域的面积是9,求实数a的值.
(2008年·山东卷)设二元一次不等式组所表示的平面区域为M,使函数y=ax(a>0,a≠1)的图像过区域M的a的取值范围是( ).
A.[1,3] B.[2,] C.[2,9] D.[,9]
考题变式(我来改编):
第8课时 等比数列的应用
知识体系梳理
问题1:(1)qn-m (2)am·an=ap·aq am·an= (3)qk (4)①q ②q2 ③q2 ④积
问题2:(1)qm (2)0
问题3:(1) (2)an·an+2 (3)qn (4)-k
问题4:(1)增 (2)增 (3)减 (4)减 (5)摆动 常
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1.B 由题意得an=10n-1,∴Sn=a1+a2+…+an=(10-1)+(102-1)+…+(10n-1)=(10+102+…+10n)-n=-n.
2.A 由a2013=3S2012+2014与a2012=3S2011+2014相减得,a2013-a2012=3a2012,即q=4,故选A.
3.126 在等比数列{an}中,S2、S4-S2、S6-S4成等比数列,∵S2=6,S4-S2=24,∴S6-S4==96,∴S6=S4+96=126.
4.解:由an=2·3n得==3,又a1=6,
∴{an}是等比数列,其公比为q=3,首项a1=6,
∴{an}的奇数项也成等比数列,公比为q2=9,首项为a1=6,
∴Sn==(9n-1).
重点难点探究
探究一:【解析】(法一)∵{an}为等比数列,
∴S2,S4-S2,S6-S4也为等比数列,
∴(S4-7)2=7×(91-S4),解得S4=28或-21.
∵S4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1q2+a2q2=S2+S2q2=S2(1+q2)>0,∴S4=28.
(法二)∵S2=7,S6=91,∴q≠1.
∴
得q4+q2-12=0,∴q2=3,∴q=±.
当q=时,a1=,∴S4==28;
当q=-时,a1=-,∴S4==28.
【小结】等比数列中项数相等的连续项的和若不为零时,则连续项的和仍成等比数列.
探究二:【解析】(1)a1=1,a2=,∴a2-a1=-1=,
又an+2-an+1=an+1-an.
∴=,即dn+1=dn.
故数列{dn}是以为首项,为公比的等比数列.
(2)由(1)得dn=an+1-an=()n,
∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1
=()n-1+()n-2+…+()1+1
=2-()n-1.
【小结】通过递推关系求数列通项的关键是构造新数列,比如等差或等比数列.
探究三:【解析】(1)设公差为d,
则
解得a1=2,d=1或a1=,d=0(舍去),
∴an=n+1,Sn=.
又a1=2,d=1,∴a3=4,即b2=4.
∴数列{bn}的首项为b1=2,公比q==2,
∴bn=2n,Tn=2n+1-2.
(2)∵Kn=2·21+3·22+…+(n+1)·2n, ①
∴2Kn=2·22+3·23+…+n·2n+(n+1)·2n+1, ②
①-②得-Kn=2·21+22+23+…+2n-(n+1)·2n+1,
∴Kn=n·2n+1,则cn==.
∵cn+1-cn=-
=>0,
∴cn+1>cn(n∈N+).
【小结】掌握等差数列、等比数列的有关性质和错位相减法求和,以及利用比差法比较大小等知识.
思维拓展应用
应用一:∵{an}为等比数列,且由已知可得q≠±1,∴Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比数列,∴(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n),∴S3n=+S2n=+60=63.
应用二:原式可变为=+1,
∴可变形为+=3(+),
∴{+}为等比数列,首项为+=,公比为3,
∴+=·3n-1,∴an=.
应用三:(1)∵点Pn(n,Sn)(n∈N+)均在函数y=f(x)的图像上,且f(x)=-x2+7x,
∴有Sn=-n2+7n.
当n=1时,a1=S1=6;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-2n+8,a1=6适合上式,
∴an=-2n+8(n∈N+).
∵Sn=-n2+7n=-(n-)2+,∴当n=3或n=4时,Sn取得最大值12.
综上,an=-2n+8(n∈N+),当n=3或n=4时,Sn取得最大值12.
(2)由题意得b1==8,bn==2-n+4,
∴=,
∴数列{bn}是首项为8,公比为的等比数列,
故{nbn}的前n项和
Tn=1×23+2×22+…+n×2-n+4, ①
Tn=1×22+2×2+…+(n-1)×2-n+4+n×2-n+3, ②
∴①-②得:Tn=23+22+…+2-n+4-n×2-n+3,
∴Tn=-n·24-n=32-(2+n)·24-n.
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1.B 由题意知anq2=an+3anq,∴q2-3q-1=0,∴q=或q=(舍去).
2.C ∵{an}为等比数列,显然S6-S3≠0,∴S3,S6-S3,S9-S6成等比数列,即(S6-S3)2=S3·(S9-S6),又∵S6∶S3=1∶2,∴=S3(S9-S3),即S3=S9,∴S9∶S3=3∶4.
3. an+1为数列{an}的中间项,其中奇数项有n+1项,偶数项有n项,且奇数项之积为T奇=(an+1)n+1,偶数项之积为T偶=(an+1)n,所以an+1==.
4.解:设该等比数列有2n项,则奇数项有n项,偶数项有n项,设公比为q,由等比数列的性质可得==2=q.又∵S奇+S偶==255,a1=1,∴2n=8,∴此数列的公比为2,项数为8.
全新视角拓展
B ∵==q3+1=3,∴q3=2,∴===.
课件23张PPT。第8课时
二元一次不等式(组)与平面区域
1.经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程,提高数学建模的能力.
2.了解二元一次不等式的几何意义,会作出二元一次不等式(组)表示的平面区域.
3.能利用二元一次不等式(组)所表示的平面区域解决简单的实际问题.点(x,y)的坐标一侧另一侧特殊点(x0,y0)画平面区域的步骤是:① ——画出不等式所对应的方程所表示的直线(如果原不等式带等号,则画成实线,否则,画成虚线);② ——将某个区域位置明显的特殊点的坐标代入不等式,根据“同侧同号、异侧异号”的规律确定不等式所表示的平面区域在直线的哪一侧;③ ——如果平面区域是由不等式组决定的,则在确定了各个不等式所表示的区域后,再求这些区域的公共部分,这个公共部分就是不等式组所表示的平面区域.俗称“直线定界,特殊点定域”.?画线 定侧 求“交” 二元一次不等式所表示的平面区域与系数之间的关系:
①当B>0时,Ax+By+C>0表示的区域在直线Ax+By+C=0
的 .?
当B<0时,Ax+By+C>0表示的区域在直线Ax+By+C=0
的 .?
②当A>0时,Ax+By+C>0表示的区域在直线Ax+By+C=0
的 .?
当A<0时,Ax+By+C>0表示的区域在直线Ax+By+C=0
的 .?
对于Ax+By+C<0,也有类似的结论.
归结出一句话: .?上方下方 左侧右侧 B与不等式同号在上方,A与不等式同号在右侧
(异号相反)用二元一次不等式组表示实际问题的步骤:
(1)根据问题需求,选取具有 的两个量用字母表示;?
(2)把问题中的 都用这两个字母表示出来;?
(3)把实际问题中的 写成不等式;?
(4)把这些不等式 用平面区域表示出来.?关键作用所有量限制条件组成的不等式组1D2D(1,6)4二元一次不等式(组)表示的平面区域C7用二元一次不等式组表示实际问题某厂使用两种零件A、B装配两种产品甲、乙,该厂的生产能力是月产甲产品最多2500件,月产乙产品最多1200件,而且装配一件甲产品需要4个A,6个B,装配一件乙产品需要6个A,8个B.2013年1月,该厂能用的A最多有14000个,B最多有12000个,用不等式组将甲、乙两种产量之间的关系表示出来.求二元一次不等式(组)表示的平面区域的面积?B C[5,7)
