第5课时 基本不等式
1.掌握基本不等式,能借助几何图形说明基本不等式的意义.
2.能够利用基本不等式求最大(小)值.
3.利用基本不等式求最值时要注意“一正二定三相等”.
如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民热情好客.在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形,设直角三角形的两条直角边长分别为a,b,那么正方形的边长为.
问题1:上述情境中,正方形的面积为 ,4个直角三角形的面积的和 ,由于4个直角三角形的面积之和不大于正方形的面积,于是就可以得到一个不等式: ,我们称之为重要不等式,即对于任意实数a,b,都有 当且仅当 时,等号成立.?
我们也可以通过作差法来证明: - =(a-b)2≥0,?
所以 ,当且仅当a=b时取等号.?
问题2:基本不等式
若a,b∈(0,+∞),则 ?,当且仅当 时,等号成立.?
问题3:对于基本不等式,请尝试从其他角度予以解释.
(1)基本不等式的几何解释:
在直角三角形中,直角三角形斜边上的 斜边上 .在圆中,半径不小于半弦长.?
(2)如果把看作正数a、b的 ,看作正数a、b的 ,那么该定理可以叙述为:两个正数的 不小于它们的 .?
(3)在数学中,我们称为a、b的 ,称为a、b的 .因此,两个正数的 不小于它们的 .?
问题4:由基本不等式我们可以得出求最值的结论:
(1)已知x,y∈(0,+∞),若积x·y=p(定值),则和x+y有最 值 ,当且仅当x=y时,取“=”.?
(2)已知x,y∈(0,+∞),若和x+y=s(定值),则积x·y有最 值 ,当且仅当x=y时,取“=”.?
即“积为常数, ;和为常数, ”.?
概括为:一正二定三相等四最值.
1.在下列不等式的证明过程中,正确的是( ).
A.若a,b∈R,则+≥2=2
B.若a,b∈R+,则lg a+lg b≥2
C.若x为负实数,则x+≥-2=-2
D.若x为负实数,则3x+3-x≥2=2
2.下列不等式一定成立的是( ).
A.lg(x2+)>lg x(x>0) B.sin x+≥2(x≠kπ,k∈Z)
C.>(b>a>0) D.>1(x∈R)
3.已知x>0,y>0,4x+9y=1,则+的最小值为 .?
4.已知a>0,b>0,c>0,d>0,求证:+≥4.
基本不等式求最值
(1)已知x>,求函数y=4x-2+的最小值.
(2)已知正数a,b满足ab=a+b+3,求ab的取值范围.
利用基本不等式证明不等式
已知x、y都是正数,求证:(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3.
单调性与基本不等式
设函数f(x)=x+,x∈[0,+∞).
(1)当a=2时,求函数f(x)的最小值;(2)当0
(1)设0(2)若-4设a,b,c都是正数,求证:++≥a+b+c.
求函数y=的值域.
1.下列不等式中恒成立的是( ).
A.≥ B.x+≥2
C.≥3 D.2-3x-≥2
2.当点(x,y)在直线x+3y-2=0上移动时,表达式3x+27y+1的最小值为( ).
A.3 B.5 C.1 D.7
3.已知04.已知a、b、c是不全相等的正数,求证:(a+b)(b+c)(c+a)>8abc.
(2011年·重庆卷)若函数f(x)=x+(x>2)在x=a处取最小值,则a等于( ).
A.1+ B.1+ C.3 D.4
考题变式(我来改编):
第5课时 等差数列的应用
知识体系梳理
问题1:(1)am+an=ap+aq am+an=2ap (2)kd
(3)cd1 d1 pd1+qd2
问题2:(1)最大 最小 (2)m2d (3)nd an+1
问题3:(1)an-an-1 (2)an+an-2 (3)pn+q (4)an2+bn(a,b为常数)
问题4:(2)y=x2+(a1-)x (3)
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1.B 因为2a4=a3+a5,所以3a4=12,即a4=4,所以a1+a2+…+a6+a7=7a4=28.
2.B ∵2(a1+a4+a7)+3(a9+a11)=6a4+6a10=24,∴a4+a10=4,∴S13===26.
3.130 设公差为d,则a1+(a1+8d)+(a1+10d)=30,整理得a1+6d=10,所以S13=13a1+d=13(a1+6d)=130.
4.解:由已知得,{an}是首项为正,公差为负的递减等差数列.
由<-1得a10+a11<0且a10>0,a11<0,
∴S20===10(a10+a11)<0.
而S19=19a10>0,∴Sn取最小正值时n=19.
重点难点探究
探究一:【解析】(法一)设所求的通项公式为an=a1+(n-1)d,
则
即
把①代入②得(a1+2d)(a1+12d)=7,③
∵a1=4-7d,代入③,∴(4-5d)(4+5d)=7,
即16-25d2=7,解得d=±.
当d=时,a1=-,an=-+(n-1)·=n-;
当d=-时,a1=,an=+(n-1)·(-)=-n+.
(法二)∵a3+a13=a8+a8=2a8,又a3+a8+a13=12,故知a8=4,
代入已知得解得或
由a3=1,a13=7得d===.
∴an=a3+(n-3)·=n-.
由a3=7,a13=1,同理可得:an=-n+.
【小结】注意到等差数列中,若m,n,p,q∈N+且m+n=p+q,则am+an=ap+aq,而a3,a8,a13中的下标3,8,13间的关系:3+13=8+8,从而得到a3+a13=a8+a8=2a8.
探究二:【解析】由数列{an}为等差数列,则S3,S6-S3,S9-S6为等差数列,
即2(S6-S3)=S3+(S9-S6),
∵S3=9,S6=36,S6-S3=27,
∴a7+a8+a9=S9-S6=45.
【小结】数列{an}是等差数列,前n项和是Sn,那么Sm,S2m-Sm,…,S(k+1)m-Skm,…(k∈N+)是等差数列.
探究三:【解析】(1)依题意有:
解之得公差d的取值范围为-(2)(法一)由d<0可知a1>a2>a3>…>a12>a13,因此,在S1,S2,…,S12中Sk为最大值的条件为:ak≥0且ak+1<0,即
∵a3=12,∴∵d<0,∴2-∵-∵k是正整数,∴k=6,即在S1,S2,…,S12中,S6最大.
(法二)由d<0得a1>a2>…>a12>a13,
因此若在1≤k≤12中有自然数k,使得ak≥0,且ak+1<0,则Sk是S1,S2,…,S12中的最大值.
又∵2a7=a1+a13=S13<0,∴a7<0,a7+a6=a1+a12=S12>0,∴a6>-a7>0,故在S1,S2,…,S12中S6最大.
(法三)依题意得:Sn=na1+(n-1)d=n(12-2d)+(n2-n)=[n-(5-)]2-(5-)2,
∵d<0,∴[n-(5-)]2最小时,Sn最大;
∵-从而,在正整数中,当n=6时,[n-(5-)]2最小,
∴S6最大.
【小结】熟练应用前n项和公式及其函数意义解题.
思维拓展应用
应用一:∵a1+a2+a3=12,∴a2=4.∵a8=a2+(8-2)d,
∴16=4+6d,∴d=2,
∴an=a2+(n-2)d=4+(n-2)×2=2n.
应用二:∵===,
∴====.
应用三:(1)设等差数列的公差为d,则由a5+a7=4,a6+a8=-2,得解得
所以数列{an}的通项公式为an=20-3n.
(2)由解得≤n≤.
因为n∈N+,所以n=6,
故前n项和Sn的最大值为S6=6×17+×(-3)=57.
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1.D 由++2a3a8=9,得(a3+a8)2=9,∵an<0,∴a3+a8=-3,∴S10==5(a3+a8)=5×(-3)=-15.
2.A 由题意,得:-am0,Sm+1=·(m+1)<0.
3.2n+3 由题意得=n+4,即Sn=n2+4n,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+4n-[(n-1)2+4(n-1)]=2n+3,当n=1时,a1=S1=5符合上式,∴an=2n+3.
4.解:∵an=2n+1,∴a1=3,
∴Sn==n2+2n,∴=n+2,
∴{}是公差为1,首项为3的等差数列,
∴前10项和为T10=3×10+×1=75.
全新视角拓展
A 根据等差数列的定义和性质可得S8=4(a3+a6),又S8=4a3,所以a6=0,又a7=-2,所以a8=-4,a9=-6.
思维导图构建
2an=an-1+an+1 等差 m2d
课件22张PPT。第5课时
基本不等式
1.掌握基本不等式,能借助几何图形说明基本不等式的意义.
2.能够利用基本不等式求最大(小)值.
3.利用基本不等式求最值时要注意“一正二定三相等”.
?上述情境中,正方形的面积为 ,4个直角三角形的面积的和 ,由于4个直角三角形的面积之和不大于正方形的面积,于是就可以得到一个不等式: ,我们称之为重要不等式,即对于任意实数a,b,都有 当且仅当 时,等号成立.?
我们也可以通过作差法来证明: .
所以 ,当且仅当a=b时取等号.?a2+b22aba2+b2≥2aba2+b2≥2aba=ba2+b2-2ab=(a-b)2≥0,?a2+b2≥2ab?≥a=b 对于基本不等式,请尝试从其他角度予以解释.?中线不小于的高等差中项等比中项等差中项?算术平均数几何平均数算术平均数几何平均数由基本不等式我们可以得出求最值的结论:
(1)已知x,y∈(0,+∞),若积x·y=p(定值),则和x+y有
最 值 ,当且仅当x=y时,取“=”.?
(2)已知x,y∈(0,+∞),若和x+y=s(定值),则积x·y有
最 值? ,当且仅当x=y时,取“=”.?
即“积为常数, ;和为常数, ”.?
概括为:一正二定三相等四最值.小?大?和有最小值积有最大值1D??2C??4??25??基本不等式求最值????7利用基本不等式证明不等式已知x、y都是正数,求证:(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3.?单调性与基本不等式??????????A ??2.当点(x,y)在直线x+3y-2=0上移动时,表达式3x+27y+1的最小值为( ).
A.3 B.5 C.1 D.7?D???4.已知a、b、c是不全相等的正数,求证 :(a+b)(b+c)(c+a)>8abc.?