第7课时 基本不等式的实际应用
1.进一步熟悉基本不等式,并会用基本不等式来解题.
3.能利用基本不等式解决实际问题.
今天我们来探究基本不等式在实际生活中的应用,我们先来看个实际例子:如图,有一张单栏的竖向张贴的海报,它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分),上下空白各2 dm,左右空白各1 dm,则四周空白部分面积的最小值是 dm2.?
问题1:设阴影部分的高为x dm,宽为 dm,四周空白部分面积是y dm2.由题意得y=(x+4)(+2)-72=8+2(x+)≥8+2×2= .?
当且仅当 时,取得最小值.?
问题2:用基本不等式解实际应用问题的步骤
(1)先理解题意,设变量,设变量时一般把 定为函数;?
(2)建立相应的 ,把实际问题抽象为 问题;?
(3)在定义域内,求出函数的 ;?
(4)正确写出答案.
问题3:利用基本不等式求最值时,必须保证等号能成立,否则不能用它来求最值,比如求f(x)=sin x+,x∈(0,π)的最值时,不能这样做:f(x)=sin x+≥2=2,因为当x∈(0,π)时无法满足sin x=.
问题4:利用基本不等式求最值时,一定要紧扣“一正,二定,三相等”这三个条件,即每个项都是正值,和或积是定值,所有的项能同时相等.而“二定”这个条件是对不等式巧妙地进行分析、组合、凑加系数等使之变成可用基本不等式的形式,倘若要多次利用不等式求最值,还必须保证每次取“=”号的一致性.
1.在下列不等式的证明过程中,正确的是( ).
A.若a,b∈R,则+≥2=2
B.若a,b都为正数,则lg a+lg b≥2
C.若x<0,则x+≥-2=-2
D.若x≤0,则3x+3-x≥2=2
2.已知x<,则函数y=4x-2+的最大值为( ).
A.5 B.1 C.3 D.4
3.某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x= 吨.?
4.已知a,b,c都为正数,且a+b+c=1,求证:(-1)(-1)(-1)≥8.
利用基本不等式求函数的最值
求函数y=(x>1)的最小值.
利用基本不等式解实际应用问题
某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD,公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米,人行道的宽分别为4米和10米(如图所示).
(1)若设休闲区的长和宽的比=x(x>1),求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式;
(2)要使公园所占面积最小,则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计?
把实际问题转化成数学模型
如图,某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池,池的深度一定,池的外圈周壁建造单价为每米400元,中间有一条隔开污水处理池的壁,其建造单价为每米100元,池底建造单价每平方米60元(池壁忽略不计).问:污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低.
(1)已知x>0且x≠1,求lg x+logx10的取值范围.
(2)已知x≥,求f(x)=的最大值.
某公司一年需要一种计算机元件8000个,每天需同样多的元件用于组装整机,该元件每年分n次进货,每次购买元件的数量均为x,购一次货需手续费500元,已购进而未使用的元件要付库存费,假设平均库存量为x个,每个元件的库存费为每年2元,如果不计其他费用,请你帮公司计算,每年进货几次花费最小?
某投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂,第一年共支出12万元,以后每年支出增加4万元,从第一年起每年蔬菜销售收入50万元.设f(n)表示前n年的纯利润总和(f(n)=前n年的总收入-前n年的总支出-投资额).
(1)该厂从第几年开始盈利?
(2)若干年后,投资商为开发新项目,对该厂有两种处理方案:①年平均纯利润达到最大时,以48万元出售该厂;②纯利润总和达到最大时,以16万元出售该厂,问哪种方案更合算?
1.设0A. B. C.3 D.1
2.设x>0,则y=3-3x-的最大值为( ).
A.3 B.3-3 C.3-2 D.-1
3.已知正数x,y满足+=1,则x+2y的最小值为 .?
4.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为4800立方米,深为3米,如果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,问怎样设计水池能使总造价最低,最低总造价是多少元?
(2013年·陕西卷)在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x为 (m).?
考题变式(我来改编):
?
?
?
第7课时 等比数列的前n项和
知识体系梳理
问题1:na1
问题2:
问题3:a1-a1qn na1
问题4:
基础学习交流
1.B 设数列{an}的公比为q,则q3==,∴q=,∴数列{an}的前10项和为=2-.
2.C ==q4,所以q=±2.
3. 由an+2+an+1=6an,得qn+1+qn=6qn-1,即q2+q-6=0,解得q=2或-3(舍去),又a2=1,所以a1=,S4==.
4.解:∵公比为q=2a,当q=1,即a=时,Sn=n;
当q≠1,即a≠时,则Sn=.
∴Sn=
重点难点探究
探究一:【解析】当q=1时,S3=3a1=3a3,符合题目条件;
当q≠1时,=3a1q2,
因为a1≠0,所以1-q3=3q2(1-q),
即1+q+q2=3q2,解得q=-.
综上所述,公比q的值为1或-.
【小结】对于等比数列来讲,必须要考虑q=1和 q≠1两种情况.
探究二:【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q,则an=a1qn-1,
由已知得a1+a2=2(+)=,∴a1a2=2,
由a1+a2=8(+)==,
∴a3a4=8q2,
又∵a1>0,q>0,∴
解得∴an=2n-1.
(2)由(1)知bn=+log2an=4n-1+(n-1),
∴Tn=(1+4+42+…+4n-1)+(0+1+2+3+…+n-1)=+=+.
【小结】求和时要注意分组求和法、错位相减法及裂项求和法等方法的应用.
探究三:【解析】(1)根据已知条件
整理得
解得3S2=2S3=6,即
(2)∵q≠1,则
可解得q=-,a1=4,
∴Sn==-(-)n.
【小结】要熟记等比数列的前n项和公式.
思维拓展应用
应用一:∵S6≠2S3,∴q≠1,
∴
由②÷①得1+q3=9,∴q=2,
代入①得a1=,∴an=a1qn-1=2n-2.
应用二:由题意可知,该数列的通项公式为an=n+,
∴Sn=(1+)+(2+)+…+(n+)=(1+2+3+…+n)+(+++…+)=+1-.
应用三:(1)由已知得(a1+d)2=a1(a1+3d),
解得a1=d或d=0(舍去),
所以数列{an}的通项是an=nd.
因为数列a1,a3,,,…,,…成等比数列,
即数列d,3d,k1d,k2d,…,knd,…成等比数列,
所以公比q==3,k1d=32d,即k1=9,
所以数列{kn}是以k1=9为首项,3为公比的等比数列,故kn=9×3n-1=3n+1.
(2)Sn=+++…+, ①
Sn=+++…+, ②
由①-②,并整理得Sn=(1-)-=-.
基础智能检测
1.D 由8a2+a5=0得8a1q+a1q4=0,∴q=-2,则==-11.
2.C 由S3=a1(1+q+q2)=21且a1=3,得q2+q-6=0,∴q=2(负根舍去).∴a3+a4+a5=q2(a1+a2+a3)=22·S3=84.
3.S2 设等比数列的公比为q,若S2计算正确,则有q=2,但此时S3≠38,S4≠65与题设不符,故算错的就是S2,此时,由S3=38可得q=或q=-;当q=时,S4=65也正确;当q=-时,S4不正确,舍去.所以q=.
4.解:由a4=a1q3=q3=-4,可得q=-2,
因此,数列{|an|}是首项为,公比为2的等比数列,
所以|a1|+|a2|+…+|an|==2n-1-.
全新视角拓展
C 由已知得=-,则数列{an}为公比是-的等比数列,∵a2=-,∴a1=4,则数列{an}前10项的和S10==3(1-3-10).
思维导图构建
三个 两个
课件23张PPT。第7课时
基本不等式的实际应用
1.进一步熟悉基本不等式,并会用基本不等式来解题.
3.能利用基本不等式解决实际问题.今天我们来探究基本不等式在实际生活中的应用,我们先来看个实际例子:如图,有一张单栏的竖向张贴的海报,它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分),上下空白各2 dm,左右空白各1 dm,则四周空白部分面积的最小值是 dm2. 56x=12 要求最大值或最小值的变量函数关系式函数的最大值或最小值最大值或最小值?1D2BA.5 B.1 C.3 D.420某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x= 吨.?4利用基本不等式求函数的最值7利用基本不等式解实际应用问题某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD,公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米,人行道的宽分别为4米和10米(如图所示).把实际问题转化成数学模型如图,某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池,池的深度一定,池的外圈周壁建造单价为每米400元,中间有一条隔开污水处理池的壁,其建造单价为每米100元,池底建造单价每平方米60元(池壁忽略不计).问:污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低.?某投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂,第一年共支出12万元,以后每年支出增加4万元,从第一年起每年蔬菜销售收入50万元.设f(n)表示前n年的纯利润总和(f(n)=前n年的总收入-前n年的总支出-投资额).
(1)该厂从第几年开始盈利?
(2)若干年后,投资商为开发新项目,对该厂有两种处理方案:①年平均纯利润达到最大时,以48万元出售该厂;②纯利润总和达到最大时,以16万元出售该厂,问哪种方案更合算?B C18
4.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为4800立方米,深为3米,如果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,问怎样设计水池能使总造价最低,最低总造价是多少元?
