第1课时 数列的概念与简单表示法
1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(通项公式、列表、递推公式、图像法).
2.通过对简单数列的观察与分析归纳,认识数列是反映自然的基本数学模型.
3.能简单地总结数列的规律与表示方法,理解数列与函数的关系.
(1)国际象棋的传说:在一张棋盘的第一个小格内放一粒麦子,在第二个小格内放两粒,在第三个小格内放四粒,照这样下去,每一小格都比前一小格加一倍.
(2)古语:一尺之棰,日取其半,万世不竭.
(3)童谣:一只青蛙,一张嘴,两只眼睛,四条腿;两只青蛙,两张嘴,四只眼睛,八条腿;三只青蛙,三张嘴,六只眼睛,十二条腿.
问题1:数列的定义:按 排列的一列数叫作数列.数列的项:数列中的每一个数都叫作这个 ,各项依次叫作这个数列的第1项(或首项),第2项……第n项……?
通项公式:如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成 ,那么这个式子就叫作这个数列的通项公式.?
问题2:数列的分类:(1)按项数分类: 和 .?
(2)按数列的单调性分类: 、 及 .?
(3)一个数列,如果从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项,这样的数列叫 .?
问题3:数列中的项与集合中的元素相比较异同如下:
相同点:数列中的每一项都是 、集合中的每一个元素都是 .?
不同点:
重复性:数列中的某些项可以 、集合中的每一个元素都 .?
有序性: 数列中的项 、集合中的元素 .?
范围: 数列中的每一项都是 、集合中的元素可以 .?
问题4:数列的表示方法: 、 、 及 .数列的前n项和记作Sn= .?
1.把自然数的前五个数:①排成1,2,3,4,5;②排成5,4,3,2,1;③排成3,1,4,2,5;④排成2,3,1,4,5,那么可以叫作数列的有( )个.
A.1 B.2 C.3 D.4
2.已知数列{an}的通项公式为an=,则该数列的前4项依次为( ).
A.1,0,1,0 B.0,1,0,1 C.,0,,0 D.2,0,2,0
3.设数列{an}满足:a1=2,an+1=1-,则a4= .?
4.已知{an}满足a1=3,an+1=2an+1,试写出该数列的前5项,并用观察法写出这个数列的一个通项公式.
根据数列的前几项写出通项公式
写出下列数列的一个通项公式:
(1)1,-1,1,-1,…;
(2)3,5,9,17,33,…;
(3),2,,8,,….
待定系数法求通项公式
已知数列{an}中,a1=3,a10=21,通项an是项数n的一次函数.
(1)求{an}的通项公式,并求a2015;
(2)若{bn}是由a2,a4,a6,a8,…组成,试归纳{bn}的一个通项公式.
已知数列的单调性求参数
若an=n2+λn,且数列{an}为递增数列,则实数λ的取值范围是 .?
写出下列数列的一个通项公式:
(1)1,0,-,0,,0,-,0,…;
(2)0.7,0.77,0.777,….
已知数列{an}中,a1=-1,a2=0且an=xn2+yn,求an.
已知数列{an}的通项公式为an=n2-5n+4.
(1)数列中有多少项是负数?
(2)n为何值时,an有最小值?并求出最小值.
(3)设数列{an}的前n项和Sn,求Sn的最小值.
1.已知数列{an}的通项公式为an=n2-n-50,则-8是该数列的( ).
A.第5项 B.第6项 C.第7项 D.非任何一项
2.数列1,3,6,10,…的一个通项公式是( ).
A.an=n2-n+1 B.an= C.an= D.an=n2+1
3.已知数列{an}的通项公式为an=(n∈N+),那么是这个数列的第 项.?
4.数列{an}中,已知an=(n∈N+).
(1)写出a10,an+1;
(2)79是否是数列中的项?如果是,是第几项?
(2009年·北京卷)已知数列{an}满足:a4n-3=1,a4n-1=0,a2n=an,n∈N+,则a2009= ,a2014= .?
考题变式(我来改编):
第一章 数 列
第1课时 数列的概念与简单表示法
知识体系梳理
问题1:一定次序 数列的项 an=f(n)
问题2:(1)有穷数列 无穷数列 (2)递增数列 递减数列 常数列 (3)摆动数列
问题3:确定的 确定的 重复 不能重复 有顺序 无顺序 数 不是数
问题4:列表法 图像法 通项公式法 递推公式法 a1+a2+…+an
基础学习交流
1.D 按照数列定义得出答案D.
2.A 将n=1,2,3,4代入通项公式可知,应选A.
3.2 a2=,a3=-1,a4=2.
4.解:∵a1=3,an+1=2an+1,∴a2=7,a3=15,a4=31,a5=63,注意到:3=22-1,7=23-1,15=24-1,31=25-1,
∴猜得an=2n+1-1.
重点难点探究
探究一:【解析】(1)这是一个常用的摆动数列,奇数项为正,偶数项为负,所以它的通项可以是an=(-1)n+1(n∈N+)或an=cos(n+1)π(n∈N+)或an=sin π(n∈N+).
(2)观察发现每项减1即为2的n次方,所以an=2n+1(n∈N+).
(3)统一写成分母为2的分数,发现分子是n的平方,故an=(n∈N+).
【小结】已知数列的前几项,写出数列的通项公式,主要从以下几个方面来考虑:
(1)对于正负交错出现的数列,符号用(-1)n与(-1)n+1来调节,这是因为n和n+1奇偶交错.
(2)此类问题虽无固定模式,但也有其规律可循,主要用观察、比较、归纳、转化等方法.
(3)对于分数形式的数列,分子、分母可分别找通项,并充分借助分子、分母的关系.
探究二:【解析】(1)设an=kn+b,
则解得
∴an=2n+1(n∈N+),∴a2015=4031.
(2)又∵a2,a4,a6,a8,…即为5,9,13,17,…,∴bn=4n+1(n∈N+).
【小结】数列的通项公式an是关于n(n∈N+)的函数,即an=f(n).待定系数法是求通项公式的一种常用方法.
探究三:【解析】∵(n,an)(n∈N+)是函数f(x)=x2+λx图像上的点,且数列{an}为递增数列,
只需-≤1,即λ≥-2,∴λ的取值范围是[-2,+∞).
[问题]递增数列是单调递增函数吗?
[结论]利用二次函数的单调性时,忽视了数列的离散型特征.数列{an}为递增数列,只要求满足a1
于是,正确解答为:∵数列{an}是递增数列,且an=n2+λn,其对称轴x=-既可以x≤1,也可以在 1-3,∴λ的取值范围是(-3,+∞).
【答案】(3,+∞)
【小结】此题极易出错,考虑问题要全面.
思维拓展应用
应用一:(1)从原数列不能看出通项公式,但可改写为,,-,,,,….分母依次为1,2,3,4,…,分子依次为1,0,-1,0,…,呈周期性变化,可以用sinπ表示,也可用cosπ表示,故an=(n∈N+)或an=(n∈N+).
(2)∵0.9,0.99,0.999,…的通项公式为an=1-(n∈N+),∴0.7,0.77,0.777,…的通项公式为an=(1-)(n∈N+).
应用二:由
可得x=1,y=-2.
∴an=n2-2n(n∈N+).
应用三:(1)由an=n2-5n+4<0得1∴n=2,3,即数列中有2项是负数.
(2)an=(n-)2-(n∈N+),∴n=2,3时an最小,此时a2=a3=-2.
(3)由(1)(2)知a1=a4=0,a2=a3=-2,当n≥4时,an>0,∴S3,S4最小,且S3=S4=-4.
基础智能检测
1.C 由n2-n-50=-8,得n=7或n=-6(舍去).
2.C 令n=1,2,3,4,代入A、B、C、D检验即可.排除A、B、D,从而答案是C.
3.10 ∵=,∴n(n+2)=10×12,∴n=10.
4.解:(1)a10=,an+1=.
(2)设an=79,即=,解得n=15或n=-16(舍去),即79是数列中的第15项.
全新视角拓展
1 0 a2009=a4×503-3=1,a2014=a1007=a4×252-1=0.
思维导图构建
有序性 集合无序性
课件18张PPT。第一章 数列第1课时 数列的概念与简单表示法1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(通项公式、列表、递推公式、图像法) .
2.通过对简单数列的观察与分析归纳,认识数列是反映自然的基本数学模型.
3.能简单地总结数列的规律与表示方法,理解数列与函数的关系.(1)国际象棋的传说:在一张棋盘的第一个小格内放一粒麦子,在第二个小格内放两粒,在第三个小格内放四粒,照这样下去,每一小格都比前一小格加一倍.
(2)古语:一尺之棰,日取其半,万世不竭.
(3)童谣:一只青蛙,一张嘴,两只眼睛,四条腿;两只青蛙,两张嘴,四只眼睛,八条腿;三只青蛙,三张嘴,六只眼睛,十二条腿.数列的分类:(1)按项数分类: 和 .
(2)按数列的单调性分类: 、 及
.
(3)一个数列,如果从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项,这样的数列叫 . 数列的定义:按 排列的一列数叫作数列.数列的项:数列中的每一个数都叫作这个 ,各项依次叫作这个数列的第1项(或首项),第2项……第n项……?
通项公式:如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成 ,那么这个式子就叫作这个数列的通项公式.?有穷数列常数列摆动数列递增数列数列的项一定次序an=f(n)无穷数列递减数列数列中的项与集合中的元素相比较异同如下:
相同点:数列中的每一项都是 、集合中的每一个元素都是 .
不同点:
重复性:数列中的某些项可以 、集合中的每一个元素都 .
有序性: 数列中的项 、集合中的元素 .
范围: 数列中的每一项都是 、集合中的元素可以 . 重复确定的不是数不能重复有顺序确定的无顺序数问题4:数列的表示方法: 、 、 及
.数列的前n项和记作Sn= .? 列表法递推公式法通项公式法图像法a1+a2+…+an把自然数的前五个数:①排成1,2,3,4,5;②排成5,4,3,2,1;③排成3,1,4,2,5;④排成2,3,1,4,5,那么可以叫作数列的有( )个.
A.1 B.2 C.3 D.41D2A324根据数列的前几项写出通项公式 待定系数法求通项公式7(3,+∞)已知数列的单调性求参数CC10 