第9课时 通项公式an的求法
1.理解并掌握叠加法、累乘法求通项公式.
2.掌握等比差数列等几类特殊数列的解法.
3.初步掌握求通项公式an的方法.
在推导等差数列的通项公式的时候我们用了累差法,在推导等比数列的通项公式的时候我们用了累积法,今天,我们一起来看看数列的通项公式有哪些求法?
问题1:已知a1的值,且an-an-1=f(n)(n≥2),可以用累加法,即an-an-1= ,an-1-an-2= ,…,a3-a2= ,a2-a1= .?
所有等式左右两边分别相加得an= .?
问题2:已知a1≠0且=f(n)(n≥2),可以用累乘法,即= ,= ,…,= ,= ,所有等式左右两边分别相乘,得?
··…··= ,即an= .?
问题3:由an与Sn的关系求an
由Sn求an时,要分n=1和n≥2两种情况讨论,然后验证两种情况可否用统一的解析式表示,若不能,则用分段函数的形式表示为an= .?
问题4:几种递推数列的转化方法
(1)an+1=can+d(c≠0,1),可以通过待定系数法设an+1+λ=c( ),求出λ后,化为等比数列求通项;还可以用下列方法求解:an+1=pan+q,① an=pan-1+q,② ?
①-②得:an+1-an=p(an-an-1),数列{an-an-1}是以 为首项, 为公比的等比数列,由等比数列的通项公式求出an-an-1= ,再用累加法求出an.?
(2)an+1=(b为常数且b≠0),可化为= ,利用等差数列的通项公式求出,进而求出an.?
1.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,an+1=Sn+1,n∈N+,则a6等于( ).
A.32 B.48 C.64 D.96
2.已知数列{an}满足a1=4,an+1=2an+2n+1,那么数列{an}的通项公式是( ).
A.an=2n B.an=(n+1)·2n C.an=(n-1)·2n D.an=3n-1
3.数列{an}满足a1=1,=+1,则a10= .?
4.已知数列{an}满足a1=1,an=an-1+3n-2(n≥2).
(1)求a2,a3;
(2)求数列{an}的通项公式.
待定系数法求通项公式
在数列{an}中,a1=1,当n≥2时,有an=3an-1+2,求数列{an}的通项公式.
累加法求通项公式
在数列{an}中,已知a1=1,当n≥2时,有an=an-1+2n-1(n≥2),求数列的通项公式.
构造法求通项公式
已知定义在R上的函数f(x)和数列{an}满足下列条件:a1=a,an=f(an-1)(n=2,3,4,…),a2≠a1,f(an)-f(an-1)=k(an-an-1)(n=2,3,4,…),其中a为常数,k为非零常数.
(1)构造bn=an+1-an(n∈N+),证明数列{bn}是等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
已知数列{an}的第1项是1,以后的各项由公式an+1=给出,求出这个数列的通项公式.
在数列{an}中,已知a1=1,有nan-1=(n+1)an(n≥2),求数列{an}的通项公式.
在数列{an}中,a1=2,a2=4,且an+1=3an-2an-1(n≥2).
(1)求证:数列{an+1-an}是等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
1.已知数列{an}的前n项和Sn=3n-1,则其通项公式an等于( ).
A.3·2n-1 B.2·3n-1 C.3n-1 D.3n
2.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln(1+),则an等于( ).
A.2+ln n B.2+(n-1)ln n C.2+nln n D.1+n+ln n
3.若数列{an}中,a1=,且对任意的正整数p、q都有ap+q=apaq,则an= .?
4.在数列{an}中,a1=2,an+1=2an-n+1,n∈N+.
(1)求证:数列{an-n}是等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式an.
(2013年·安徽卷)如图,互不相同的点A1,A2,…,An,…和B1,B2,…,Bn,…分别在角O的两条边上,所有AnBn相互平行,且所有梯形AnBnBn+1An+1的面积均相等.设OAn=an.若a1=1,a2=2.则数列{an}的通项公式是 .?
考题变式(我来改编):
第9课时 通项公式an的求法
知识体系梳理
问题1:f(n) f(n-1) f(3) f(2) a1+f(2)+f(3)+…+f(n-1)+f(n)
问题2:f(n) f(n-1) f(3) f(2) f(2)·f(3)·…·f(n-1)·f(n) a1·f(2)·f(3)·…·f(n-1)·f(n)
问题3:
问题4:(1)an+λ a2-a1 p (a2-a1)pn-1 (2)+
基础学习交流
1.B 当n≥2时,an+1=Sn+1,an=Sn-1+1,两式相减,得an+1-an=Sn-Sn-1=an,即an+1=2an,则a2=a1+1=3,a6=a2·24=3×16=48.
2.B 由an+1=2an+2n+1得-=1,∴数列{}是首项为2,公差为1的等差数列,即=2+(n-1)×1=n+1,∴an=(n+1)·2n,故选B.
3.- 依题意知,数列{}是以=为首项,1为公差的等差数列,∴=+(n-1)×1=,∴an=,∴a10=-.
4.解:(1)由题意可得a2=a1+4=5,a3=a2+7=12.
(2)由已知:an=an-1+3n-2(n≥2)得an-an-1=3n-2,
由递推关系,得an-1-an-2=3n-5,…,a3-a2=7,a2-a1=4,
叠加得:an-a1=4+7+…+3n-2
==,∴an=(n≥2).
当n=1时,1=a1==1,适合上式,
∴数列{an}的通项公式an=.
重点难点探究
探究一:【解析】设an+t=3(an-1+t),则an=3an-1+2t,
∴t=1,于是an+1=3(an-1+1).
∴{an+1}是以a1+1=2为首项,3为公比的等比数列.
∴an=2·3n-1-1.
【小结】递推公式an+1=pan+q(p≠1,q≠0)求通项的常用方法主要有两种:
1.化成等比数列{an+t},然后利用通项公式即可求出;
2.由an+1=pan+q,①得an=pan-1+q,②
①-②得:an+1-an=p(an-an-1),由等比数列的通项公式求an-an-1=(a2-a1)pn-1,再用累加法求出an.
探究二:【解析】∵an-an-1=2n-1(n≥2),
∴
上述n-1个等式相加可得:an-a1=n2-1,
∴an=n2.
【小结】一般情况下,累加法里只有n-1个等式相加.
探究三:【解析】(1)由b1=a2-a1≠0,可得:b2=a3-a2=f(a2)-f(a1)=k(a2-a1)≠0.由题设条件,当n≥2时,====k,故数列{bn}是公比为k的等比数列.
(2)由(1)知bn=kn-1(a2-a1)(n∈N+),
b1+b2+…+bn-1=(a2-a1)(n≥2),
而b1+b2+…+bn-1=a2-a1+a3-a2+…+an-an-1=an-a1(n≥2),
∴an-a1=(a2-a1)(n≥2),
故an=a+[f(a)-a](n∈N+).
[问题]上述解法正确吗?
[结论]不正确.(2)中要分k≠1和k=1进行讨论,以及对n要分n=1和n≥2进行讨论.
于是,正确的解答为:
(1)同错解部分.
(2)由(1)知,bn=kn-1b1=kn-1(a2-a1)(n∈N+),
当k≠1时,b1+b2+…+bn-1=(a2-a1)(n≥2);
当k=1时,b1+b2+…+bn-1=(n-1)(a2-a1)(n≥2).
而b1+b2+…+bn-1=(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=an-a1(n≥2),
∴当k≠1时,an-a1=(a2-a1)(n≥2),
上式对n=1也成立,∴数列{an}的通项公式为
an=a+[f(a)-a](n∈N+);
当k=1时,an-a1=(n-1)(a2-a1)(n≥2),
上式对n=1也成立,所以数列{an}的通项公式为an=a+(n+1)[f(a)-a](n∈N+).
【小结】利用等比数列前n项和公式时务必要考虑q=1和q≠1两种情况.
思维拓展应用
应用一:由an+1=得:=+,
∴数列{}是以=1为首项,为公差的等差数列,
∴=1+(n-1)=,
∴an=.
应用二:an=···…···a1
=···…···1=.
又∵a1也满足上式,∴an=(n∈N+).
应用三:(1)∵an+1=3an-2an-1,
∴an+1-an=2(an-an-1)(n≥2),
则数列{an+1-an}是以a2-a1=2为首项,2为公比的等比数列.
(2)由(1)得an+1-an=2×2n-1=2n,
∴
上述n-1个等式相加可得an-a1==2n-2,
∴an=2n(n∈N+).
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1.B 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n-1)-(3n-1-1)=2·3n-1,又a1=S1=31-1=2满足an=2·3n-1,故选B.
2.A (法一)取n=2,则a2=a1+ln 2=2+ln 2,排除C、D;
取n=3,则a3=a2+ln(1+)=2+ln 2+ln=2+ln 3,排除B,选A.
(法二)∵an+1=an+ln(1+),∴a2-a1=ln(1+)=ln 2,a3-a2=ln(1+)=ln,a4-a3=ln(1+)=ln,…,an-an-1=ln(1+)=ln.
相加得:an-a1=ln 2+ln+…+ln=ln n,
∵a1=2,∴an=2+ln n.
3. 式中令p=n,q=1得an+1=an·a1=·an,∴数列{an}是以a1=为首项,为公比的等比数列,∴an=.
4.解:(1)由已知得a1-1=1≠0,由an+1=2an-n+1得an+1-(n+1)=2(an-n),
∴=2,∴{an-n}是首项为1,公比为2的等比数列.
(2)由(1)知:an-n=2n-1,∴an=2n-1+n.
全新视角拓展
an=(n∈N+) 记OBn=bn,∠AnOBn=θ.
=-
=|OAn+1||OBn+1|sin θ-|OAn||OBn|sin θ
=sin θ(an+1bn+1-anbn),
又∵=,
∴sin θ(an+1bn+1-anbn)=sin θ(anbn-an-1bn-1),
∴an+1bn+1+an-1bn-1=2anbn. ①
又所有AnBn相互平行,则=,=.
对①两边同除以bn,得an+1·+an-1·=2an,
即an+1·+an-1·=2an,
即+=2,
即是等差数列,且公差d=-=4-1=3.
∴=+(n-1)d=1+3(n-1)=3n-2,
故an=(n∈N+).
课件18张PPT。第9课时 通项公式an的求法1.理解并掌握叠加法、累乘法求通项公式.
2.掌握等比差数列等几类特殊数列的解法.
3.初步掌握求通项公式an的方法.
在推导等差数列的通项公式的时候我们用了累差法,在推导等比数列的通项公式的时候我们用了累积法,今天,我们一起来看看数列的通项公式有哪些求法?已知a1的值,且an-an-1=f(n)(n≥2),可以用累加法,即an-an-1= ,an-1-an-2= ,…,a3-a2=
,a2-a1= .?
所有等式左右两边分别相加得an= .?f(n)f(n-1)a1+f(2)+f(3)+…+f(n-1)+f(n)f(2)f(3)?f(n)f(n-1)f(3)f(2)f(2)·f(3)·…·f(n-1)·f(n)a1·f(2)·f(3)·…·f(n-1)·f(n)?由an与Sn的关系求an
由Sn求an时,要分n=1和n≥2两种情况讨论,然后验证两种情况可否用统一的解析式表示,若不能,则用分段函数的形式表示为an=?? . ??????1BB2?4 待定系数法求通项公式7累加法求通项公式 构造法求通项公式A B ?
