第3课时 一元二次不等式及其解法
1.体会一元二次不等式与二次函数的关系,掌握一元二次不等式的解法.
2.运用分类讨论思想解含参型的一元二次不等式.
3.解决简单一元二次不等式与函数的综合性问题.
为促进某品牌彩电的销售,厂家设计了两套降价方案.方案①:先降价x%,再降价x%(x>0);方案②:一次性降价2x%,问哪套方案降价幅度大?
问题1:一元二次不等式
一般地,含有 未知数,且未知数的最高次数为 的不等式,叫作一元二次不等式.?
使某个一元二次不等式 叫作这个一元二次不等式的解.?
一元二次不等式的 组成的集合,叫作这个一元二次不等式的解集.?
问题2:二次函数、二次方程、二次不等式间的关系如下表,设f(x)=ax2+bx+c(a>0).
Δ=b2-4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
y=f(x)的
示意图
f(x)=0的根
x1,x2
x0=-
没有实数根
f(x)>0的解集
(-∞,x1)∪
(x2,+∞)
(-∞,-)∪
(-,+∞)
(-∞,+∞)
f(x)<0的解集
(x1,x2)
?
?
问题3:解含参数的一元二次不等式的一般步骤
对字母系数分类讨论时,要注意确定分类的标准,而且分类时要不重不漏.一般方法是:
(1)当二次项系数不确定时,按二次项系数 、 、 三种情况进行分类.?
(2)判别式大于零时,还需要讨论两根的 .?
(3)判别式不确定时,按判别式 、 、 三种情况讨论.结合方程的根、函数的图像得到解集.?
问题4:(1)函数f(x)=ax2+bx+c>0在R上恒成立,则 且 .?
(2)若函数f(x)=logm(ax2+bx+c)的定义域为R,则 或者 .?
(3)若函数f(x)=logm(ax2+bx+c)的值域为R,则 或者 .?
1.不等式x-x2+2>0的解集是( ).
A.(-2,1) B.(-1,2)
C.(-∞,-2)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(2,+∞)
2.二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示,则不等式ax2+bx+c≤0的解集为( ).
A.(-∞,-1] B.[-1,1]
C.[-1,2] D.[-1,3]
3.已知不等式x2+ax+4<0的解集为空集,则a的取值范围是 .?
4.已知x=1是不等式k2x2-6kx+8≥0(k≠0)的解,求k的取值范围.
解一元二次不等式
解下列不等式:(1)x2+2x-15>0;(2)x2>2x-1;(3)x2<2x-2.
含参型的一元二次不等式
已知a≠0,解关于x的一元二次不等式ax2+(a+2)x+2>0.
一元二次不等式与函数的综合
已知函数f(x)=log2(mx2+mx+3)的定义域为R,求实数m的取值范围.
求下列一元二次不等式的解集.
(1)4x2-4x+1≤0;(2)-x2+7x>6;
(3)-x2+6x-9>0.
解关于x的不等式ax2-(a-1)x-1<0(a∈R).
已知函数f(x)=log2[mx2+(m+3)x+m+3]的值域为R,求实数m的取值范围.
1.不等式3x2-x+2<0的解集为( ).
A.? B.R C.{x|-2.不等式ax2+bx+2>0的解集是(-,),则a-b的值等于( ).
A.-14 B.14 C.-10 D.10
3.若关于x的不等式x2-ax-a≤-3的解集不是空集,则实数a的取值范围是 .?
4.已知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集是{x|x<-2或x>-},求不等式ax2-bx+c>0的解集.
(2013年·四川卷)已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2-4x,那么,不等式f(x+2)<5的解集是 .?
考题变式(我来改编):
第3课时 等差数列的定义和通项
知识体系梳理
问题1:(1)第二项起 同一个常数 公差 (2)等差中项
问题2:a1+(n-1)d (1)(n-1)d a1+(n-1)d a1+(m-1)d (n-m)d am+(n-m)d (2)d d d 2d d 3d a1+(n-1)d
问题3:(1)(n-m)d (3)ap+aq=ar+as (4)等差
等差
问题4:递增 递减 常
基础学习交流
1.C 由an=a1+(n-1)d得an=(a1-d)+nd,可知d=-2,故选C.
2.C ∵{an}、{bn}为等差数列,∴{an+bn}也为等差数列.又公差d=(a2+b2)-(a1+b1)=100-100=0,故数列{an+bn}为常数列,∴an+bn=100.
3.42 设等差数列{an}的公差为d,由a2+a3=13,得2a1+3d=13,解得d=3,∴a4+a5+a6=3a1+12d=3×2+12×3=42.
4.解:设等差数列{an}的公差为d,因为a3=7,a5+a7=26,
所以有解得a1=3,d=2,
所以an=3+2(n-1)=2n+1.
重点难点探究
探究一:【解析】当n≥2时,取数列{an}中的任意相邻两项an-1与an(n≥2),则an-an-1=(pn+q)-[p(n-1)+q]=pn+q-(pn-p+q)=p(p为常数),∴{an}是等差数列,首项a1=p+q,公差为p.
【小结】本题主要考查了如何判断一个数列是否为等差数列.到目前为止,我们掌握判断等差数列的方法有两种:一是利用定义,即证明an-an-1(n≥2)是一个与n无关的常数;二是可以使用本题的结论,即数列{an}的通项公式为an=pn+q,则数列{an}是首项为a1=p+q,公差为p的等差数列.
探究二:【解析】根据条件可设三个数依次为a-d,a,a+d,
则
解得a=5,d=4或-14.
故这三个数依次为1,5,9或19,5,-9.
【小结】三个数成等差数列,使用“巧”设对称项的方法,这样解起来比较方便,要合理运用方程(组)的数学思想.
探究三:【解析】第一个数列{an}的通项公式为:an=3n+2;第二个数列{bn}的通项公式为:bn=4n-1.令:an=bn,则3n+2=4n-1,∴n=3,即只有一项 a3=b3=11同时在两个数列中出现.
[问题]结论正确吗?
[结论]不正确.原因是设an=bn不妥当,因为一个数同时在两个数列中出现时,该数在两个数列中的位置未必相同.
正确解法如下:
对于an=3n+2(1≤n≤100),bk=4k-1(1≤k≤100),
令an=bk,∴3n+2=4k-1,∴k=,
设n+1=4t(t∈N+),∴n=4t-1,k=3t.
又由1≤n,k≤100,∴1≤t≤25,即有25个数同时在两个数列中出现.
【小结】要注意am=bn中的m,n可以不同.
思维拓展应用
应用一:(1)欲使数列{an}是等差数列,
则an+1-an=[p(n+1)2+q(n+1)]-(pn2+qn)=2pn+p+q应是一个与n无关的常数,
所以只有2p=0,即p=0时,数列{an}是等差数列.
(2)因为an+1-an=2pn+p+q,
所以an+2-an+1=2p(n+1)+p+q,
所以(an+2-an+1)-(an+1-an)=2p,为一个常数,
所以数列{an+1-an}是等差数列.
应用二:设前三项分别为a-d,a,a+d,则a-d+a+a+d=12且a(a-d)(a+d)=48,解得a=4且d=±2.
又{an}是递增数列,∴d>0,即d=2,∴a1=2.
∴这三个数依次为2,4,6.
应用三:(1)设{an}的公差为d,由已知条件,
解得
所以an=a1+(n-1)d=-2n+5.
(2)因为an=-2n+5,所以cn===n,所以bn==2n,所以T=log2b1+log2b2+log2b3+…+log2bn=log22+log222+log223+…+log22n=1+2+3+…+n=.
基础智能检测
1.B 依题意得 A+C=2B,又A+B+C=180°,∴ B=60°.
2.C ∴a=,b=x,∴=.
3.(0,5) 由已知设三条边从小到大依次为5,5+d,5+2d,∴d>0,由两边之和大于第三边,得5+5+d>5+2d,解之得d<5,∴04.解:由题意知an=2n-7,由2n-7=52,得n=29.5?N+,∴52不是该数列中的项.
又由2n-7=2k+7解得n=k+7∈N+,∴2k+7是数列{an}中的第k+7项.
全新视角拓展
D 由等差数列的性质易判断命题p1,p4正确.令数列an=2n-16,则易判断命题p2,p3为假命题.
思维导图构建
通项公式法 等差中项法
课件19张PPT。第3课时 一元二次不等
式及其解法1.体会一元二次不等式与二次函数的关系,掌握一元二次不等式的解法.
2.运用分类讨论思想解含参型的一元二次不等式.
3.解决简单一元二次不等式与函数的综合性问题. 为促进某品牌彩电的销售,厂家设计了两套降价方案.方案①:先降价x%,再降价x%(x>0);方案②:一次性降价2x%,问哪套方案降价幅度大?一元二次不等式
一般地,含有 未知数,且未知数的最高次数为
的不等式,叫作一元二次不等式.?
使某个一元二次不等式 叫作这个一元二次不等式的解.?
一元二次不等式的 组成的集合,叫作这个一元二次不等式的解集.?二次函数、二次方程、二次不等式间的关系如下表,设f(x)=ax2+bx+c(a>0).解含参数的一元二次不等式的一般步骤对字母系数分类讨论时,要注意确定分类的标准,而且分类时要不重不漏.一般方法是:
(1)当二次项系数不确定时,按二次项系数 、 、 三种情况进行分类.
(2)判别式大于零时,还需要讨论两根的 .
(3)判别式不确定时,按判别式 、 、 三种情况讨论.结合方程的根、函数的图像得到解集. 大于零等于零小于零大小大于零等于零小于零(1)函数f(x)=ax2+bx+c>0在R上恒成立,则 且
.?
(2)若函数f(x)=logm(ax2+bx+c)的定义域为R, ?a>0Δ<0(2)若函数f(x)=logm(ax2+bx+c)的定义域为R,
则? 或者? .?
(3)若函数f(x)=logm(ax2+bx+c)的值域为R,
则? 或者? .?????不等式x-x2+2>0的解集是( ).
A.(-2,1) B.(-1,2)
C.(-∞,-2)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(2,+∞)BD[-4,4]已知x=1是不等式k2x2-6kx+8≥0(k≠0)的解,求k的取值范围.解关于x的不等式ax2-(a-1)x-1<0(a∈R).已知函数f(x)=log2[mx2+(m+3)x+m+3]的值域为R,求实数m的取值范围.A??3.若关于x的不等式x2-ax-a≤-3的解集不是空集,则实数a的取值范围是 .?【解析】∵x2-ax-a≤-3的解集不是空集,∴y=x2-ax-a+3的图像与x轴有交点,则Δ=(-a)2-4×1×(-a+3)≥0,解得a≤-6或a≥2.C(-∞,-6]∪[2,+∞)??
