第1课时 正 弦 定 理
1.掌握正弦定理及其证明过程.
2.根据已知三角形的边和角,利用正弦定理解三角形.
3.能根据正弦定理及三角变换公式判断三角形的形状.
古埃及时代,尼罗河经常泛滥,古埃及人为了研究尼罗河水运行的规律,准备测量各种数据.当尼罗河涨水时,古埃及人想测量某处河面的宽度(如图),如果古埃及人通过测量得到了AB的长度,∠BAC,∠ABC的大小,那么就可以求解出河面的宽度CD,古埃及人是如何利用这些数据计算的呢?
问题1:在上面的问题中, △ABC的已知元素有 和边 .?
若AB=2,∠ABC=30°,∠BAC=120°,则BC= ,CD= .?
解三角形: 的过程.?
问题2:正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对的角的正弦的比相等,即 .?
问题3:正弦定理的拓展:
①a∶b∶c= ;?
②设R为△ABC外接圆的半径,则=== .?
问题4:在△ABC中,已知a、b和A时,解的情况如下:
A为锐角
A为钝角
或直角
图形
关系式
① ?
② ?
③ ?
?
解的个数
一解
两解
一解
一解
1.在△ABC中,下列等式总能成立的是( ).
A.acos C=ccos A B.bsin C=csin A
C.absin C=bcsin B D.asin C=csin A
2.已知△ABC中,a=4,b=5,A=30°.下列对三角形解的情况的判断中,正确的是( ).
A.一解 B.两解 C.无解 D.一解或无解
3.在△ABC中,已知a=5,c=10,A=30°,则B等于 .?
4.在△ABC中,已知b=5,B=,tan A=2,求sin A和边a.
利用正弦定理判断三角形的形状
在△ABC中,若sin A=2sin Bcos C,且sin2A=sin2B+sin2C,试判断△ABC的形状.
已知两角及其中一角的对边,解三角形
在△ABC中,已知c=10,A=45°,C=30°,解这个三角形.
已知两边及其中一边的对角,解三角形
在△ABC中,a=,b=,B=45°.求角A,C和边c.
在△ABC中,若==,则△ABC是( ).
A.直角三角形 B.等边三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形
在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,则A= ,b= ,c= .?
在△ABC中,已知a=,c=2,A=60°,求B、C及b的值.
1.在△ABC中,A=60°,a=4,b=4,则( ).
A.B=45°或135° B.B=135°
C.B=45° D.以上答案都不对
2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=,b=,B=120°,则a等于( ).
A. B.2 C. D.
3.在△ABC中,cos A=,cos B=,则△ABC中三边的比值a∶b∶c= .?
4.在△ABC中,若B=60°,AC=3,AB=,求A.
(2013年·北京卷)在△ABC中,a=3,b=5,sin A=,则sin B等于( ).
A. B. C. D.1
考题变式(我来改编):
第二章 解 三 角 形
第1课时 正 弦 定 理
知识体系梳理
问题1:∠ABC、∠BAC AB 2 已知三角形的几个元素求其他元素
问题2:==
问题3:sin A∶sin B∶sin C 2R
问题4:a=bsin A bsin A
b
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1.D 根据正弦定理有:=,所以asin C=csin A,故选D.
2.B 因为a,b,A的关系满足bsin A3.105°或15° 根据正弦定理得: sin C===,∴C=45°或135°,故B=105°或15°.
4.解:因为△ABC中,tan A=2,所以A是锐角,
又=2,sin2A+cos2A=1,
联立解得sin A=,再由正弦定理得=,代入数据解得a=2.
重点难点探究
探究一:【解析】在△ABC中,根据正弦定理:===2R,
∵sin2A=sin2B+sin2C,∴()2=()2+()2,
即a2=b2+c2,∴A=90°,∴B+C=180°-A=90°.
由sin A=2sin Bcos C,得sin 90°=2sin Bcos(90°-B),
∴sin2B=.
∵B是锐角,∴sin B=,∴B=45°,C=45°.
∴△ABC是等腰直角三角形.
【小结】(1)判断三角形的形状,可以从三边的关系入手,也可以从三个内角的关系入手.从条件出发,利用正弦定理进行代换、转化,求出边与边的关系或求出角与角的关系,从而作出准确判断.
(2)判断三角形的形状,主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形等,要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别.
探究二:【解析】∵A=45°,C=30°,∴B=180°-(A+C)=105°.
由=得a===10.
由=得b===20sin 75°,
∵sin 75°=sin(30°+45°)=sin 30°cos 45°+cos 30°sin 45°=,∴b=20×=5+5.
【小结】解三角形时,如果已知三角形的任意两个角与一边,由三角形内角和定理,可以计算出三角形的另一个角,由正弦定理可计算出三角形的另两边.
探究三:【解析】由正弦定理得=,=,∴sin A=,∴A=60°,C=180°-45°-60°=75°,
由正弦定理得:c==.
[问题]本题中根据sin A=得出的角A一定是60°吗?
[结论]角A不一定是60°,∵a>b,∴角A还可能是120°.
于是正确的解答如下:
由正弦定理得=,=,
∴sin A=.
∵a>b,∴A=60°或A=120°.
当A=60°时,C=180°-45°-60°=75°,c==;
当A=120°时,C=180°-45°-120°=15°,c==.
【小结】已知三角形的两个角求第三个角时注意三角形内角和定理的运用,求边时可用正弦定理的变式,把要求的边用已知条件表示出来再代入计算.已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时,首先运用正弦定理求出另一边对角的正弦值,再利用三角形中大边对大角看能否判断所求的这个角是锐角,当已知的角为大边对的角时,则能判断另一边所对的角为锐角;当已知小边对的角时,则不能判断.
思维拓展应用
应用一:B 由正弦定理得a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C(R为△ABC外接圆的半径),∴==,即tan A=tan B=tan C,∴A=B=C.
应用二:45° 4 4(+1) A=180°-(B+C)=180°-(60°+75°)=45°.
由正弦定理=,得b===4,由=,得c====4(+1).
应用三:由正弦定理==,得sin C===.
∵c∴B=180°-A-C=180°-60°-45°=75°,
b===2sin(30°+45°)=+1.
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1.C 由正弦定理得:sin B=,∵a>b,∴B=45°.
2.D 由正弦定理=?sin C=,于是C=30°?A=30°?a=c=.
3.∶1∶2 根据cos A=,cos B=可得:A=60°,B=30°,所以C=90°,故a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=∶1∶2.
4.解:由正弦定理==,
∵AC=3,AB=,B=60°,
∴=,解得sin C=.
又AB∴A=180°-45°-60°=75°.
全新视角拓展
B 由=得=,从而得出sin B=.
思维导图构建
课件24张PPT。第二章 解三角形第1课时 正弦定理1.掌握正弦定理及其证明过程.
2.根据已知三角形的边和角,利用正弦定理解三角形.
3.能根据正弦定理及三角变换公式判断三角形的形状. 古埃及时代,尼罗河经常泛滥,古埃及人为了研究尼罗河水运行的规律,准备测量各种数据.当尼罗河涨水时,古埃及人想测量某处河面的宽度(如图),如果古埃及人通过测量得到了AB的长度,∠BAC,∠ABC的大小,那么就可以求解出河面的宽度CD,古埃及人是如何利用这些数据计算的呢?∠ABC、∠BAC在上面的问题中, △ABC的已知元素
有 和边 .?
若AB=2,∠ABC=30°,∠BAC=120°,则
BC= ,CD= .
解三角形: 的过程.?AB已知三角形的几个元素求其他元素正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对的角的正弦的比相等,即 .在△ABC中,已知a、b和A时,解的情况如下:sin A∶sin B∶sin C2R①a=bsin A②bsinA
b1D2B在△ABC中,下列等式总能成立的是( ).
A.acos C=ccosA B.bsin C=csin A
C.absin C=bcsinB D.asin C=csin A已知△ABC中,a=4,b=5,A=30°.下列对三角形解的情况的判断中,正确的是( ).
A.一解 B.两解
C.无解 D.一解或无解3105°或15°【解析】因为a,b,A的关系满足bsin A试判断△ABC的形状.7已知两角及其中一角的对边,解三角形在△ABC中,已知c=10,A=45°,C=30°,解这个三角形.已知两边及其中一边的对角,解三角形B45°CD 