人教B版高中数学选择性必修第二册第三章排列、组合与二项式定理 综合测试卷（含解析）

第三章综合测试卷
时间：120分钟　满分：150分
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．某学生在书店发现3本好书，决定至少买其中的1本，则购买方法有(　　)
A.3种 B．6种 C．7种 D．9种
2．若展开式中只有第4项的二项式系数最大，则展开式的常数项是(　　)
A.160 B．60 C．－160 D．－60
3．现从6名学生干部中选出3名同学分别参加全校资源、生态和环保3个夏令营活动，则不同的选派方案的种数是(　　)
A.20 B．90 C．120 D．240
4．要将4个不同的礼物分给3位同学，每人至少1个，不同的分法种数是(　　)
A.36 B．48 C．64 D．72
5．数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读．数学中有回文数，如343，12521等．两位数的回文数有11，22，33，…，99共9个，则在三位数的回文数中偶数的个数是(　　)
A.40 B．30 C．20 D．10
6．一只小蜜蜂位于数轴上的原点处，小蜜蜂每一次具有只向左或只向右飞行一个单位或者两个单位距离的能力，且每次飞行至少一个单位．若小蜜蜂经过5次飞行后，停在数轴上实数3位于的点处，则小蜜蜂不同的飞行方式有多少种(　　)
A.5 B．25 C．55 D．75
7．《医院分级管理办法》将医院按其功能、任务不同划分为三个等级：一级医院、二级医院、三级医院．某地有9个医院，其中3个一级医院，4个二级医院，2个三级医院，现在要从中抽出4个医院进行药品抽检，则抽出医院中至少有2个一级医院的抽法有(　　)
A.81种 B．80种 C．51种 D．41种
8．已知(2－x)2 021＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a2 021(x＋1)2 021，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 021|＝(　　)
A.24 042 B．1 C．22 021 D．0
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．下列问题属于排列问题的是(　　)
A.从10个人中选2人分别去种树和扫地
B.从10个人中选2人去扫地
C.从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队
D.从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作为logab中的底数与真数
10．已知(x2＋)n的展开式中二项式系数之和为1 024，则下列说法正确的是(　　)
A.展开式中奇数项的二项式系数和为256
B．展开式的各项系数之和为1 024
C.展开式中常数项为45
D．展开式中含x15项的系数为45
11．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是(　　)
A.某学生从中选2门课程学习，共有15种选法
B.课程“乐”“射”排在不相邻的两周，共有240种排法
C.课程“御”“书”“数”排在相邻的三周，共有144种排法
D.课程“礼”排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有96种排法
12．已知(1－2x)2 021＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 021x2 021，下列命题中正确的是(　　)
A.展开式中所有项的二项式系数的和为22 021
B．展开式中所有奇次项系数的和为－
C.展开式中所有偶次项系数的和为
D．＋＋＋…＋＝－1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．在(2x－)8的展开式中，的系数是________．
14．若C＝C，则n的值是________．
15．(1－ax)(1＋x)6的展开式中，x3项的系数为－10，则实数a＝________.
16．一张节目单上原有8个节目，现临时再插入A，B，C三个新节目，如果保持原来8个节目的相对顺序不变，节目B要排在另外两个新节目之间(也可以不相邻)，则有________种不同的插入方法．(用数字作答)
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)计算：
(1)将2封信投入4个邮箱，每个邮箱最多投一封，共有多少种不同的投法？
(2)将2封信随意投入4个邮箱，共有多少种不同的投法？
18．(12分)已知二项式(2x＋1)n的展开式中共有6项．
(1)求展开式中所有二项式系数的和；
(2)求展开式中含x2的项．
19．(12分)3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数．
(1)选其中5人排成一排；
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(3)全体站成一排，男、女各站在一起；
(4)全体站成一排，男生不能站在一起．
20．(12分)已知二项式(2x＋)n的展开式中，所有项的二项式系数之和为512.
(1)求n的值；
(2)求展开式中的常数项．
21．(12分)将6名中学生分到甲、乙、丙3个不同的公益小组：
(1)要求有3人分到甲组，2人分到乙组，1人分到丙组，共有多少种不同的分法？
(2)要求三个组的人数分别为3，2，1，共有多少种不同的分法？
22．(12分)在二项式的展开式中，________．
给出下列条件：
①若展开式前三项的二项式系数的和等于46；
②所有奇数项的二项式系数的和为256.
试在上面两个条件中选择一个补充在上面的横线上，并解答下列问题：
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式的常数项．
参考答案与解析
1．答案：C
解析：分3类，买1本书，买2本书，买3本书，
各类的方法依次为3种，3种，1种，故购买方法有3＋3＋1＝7(种).故选C.
2．答案：B
解析：∵二项式n的展开式中只有第4项的二项式系数最大，∴n＝6，
则展开式中的通项公式为
Tk＋1＝C6－kk＝C·k·x，
令＝0，解得k＝2，故展开式中的常数项为C·2＝60.故选B.
3．答案：C
解析：共有A＝120种不同的选派方案．故选C.
4．答案：A
解析：由题可知，有1位同学分得两个礼物，其他2位同学各得一个，可以先从4个礼物中挑出2个，将礼物分为3份，与3位同学进行全排列，故不同分法的种数是CA＝36.故选A.
5．答案：A
解析：由题意，若三位数的回文数是偶数，则末(首)位可能为2，4，6，8.如果末(首)位为2，
中间一位数有10种可能，同理可得，如果末(首)位为4或6或8，
中间一位数均有10种可能，所以有4×10＝40个．故选A.
6．答案：D
解析：根据题意，分4种情况讨论：
①小蜜蜂向正方向飞行4次，负方向飞行1次，每次飞行1个单位，有C＝5种飞行方式，
②小蜜蜂向正方向飞行4次，有3次飞行1个单位，1次飞行2个单位，
负方向飞行1次，飞行2个单位，有CC＝20种飞行方式，
③小蜜蜂向正方向飞行3次，有2次飞行2个单位，1次飞行1个单位，
负方向飞行2次，每次飞行1个单位，有CC＝30种飞行方式，
④小蜜蜂向正方向飞行3次，每次飞行2个单位，
负方向飞行2次，1次飞行2个单位，1次飞行1个单位，有CA＝20种飞行方式，
则一共有5＋20＋30＋20＝75种飞行方式．
故选D.
7．答案：C
解析：恰有2个一级医院，有CC＝45种抽法；恰有3个一级医院，有CC＝6种抽法．所以抽出的医院中至少有2个一级医院的抽法有45＋6＝51(种).故选C.
8．答案：A
解析：令t＝x＋1，可得x＝t－1，则[2－(t－1)]2 021＝(3－t)2 021＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋a2 021t2 021，
二项式(3－t)2 021的展开式通项为Tk＋1＝C·32 021－k·(－t)k，则ak＝C·32 021－k·(－1)k.
当k为奇数时，ak<0，当k为偶数时，ak>0，
因此，|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 021|＝a0－a1＋a2－…－a2 021＝(3＋1)2 021＝24 042.故选A.
9．答案：AD
解析：排列的概念：从n个元素中取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，
由题可知：A，D中元素的选取有顺序，B，C中元素的选取无顺序，
由此可判断出：A，D是排列问题．故选AD.
10．答案：BCD
解析：因为的展开式中二项式系数之和为1 024，
所以2n＝1 024，得n＝10，
所以二项式展开式的通项公式为
Tk＋1＝C(x2)10－k＝C·x20－k，
对于A，展开式中奇数项的二项式系数和为×1 024＝512，所以A错误，
对于B，因为的展开式中二项式系数之和与展开式的各项系数之和相等，所以展开式的各项系数之和为1 024，所以B正确，
对于C，令20－k＝0，解得k＝8，所以展开式中常数项为C＝45，所以C正确，
对于D，令20－k＝15，解得k＝2，所以展开式中含x15项的系数为C＝45，所以D正确．故选BCD.
11．答案：ACD
解析：A：6门中选2门共有C＝15种选法，故A正确；
B：利用间接法，课程“乐”“射”排在相邻的两周时，把这两个看成一个整体，有A种排法，然后全排列有A＝120种排法，根据分步乘法计数原理，“乐”“射”相邻的排法共有AA＝240种，没有限制条件时共有A＝720种排法，故“乐”“射”排在不相邻的两周有A－AA＝480种排法，故B错误；
C：课程“御”“书”“数”排在相邻的三周，即把这三个当作一个整体，有A＝6种排法，然后全排列有A＝24种排法，根据分步乘法计数原理得共有AA＝144种排法，故C正确；
D：先特殊后一般，先把“礼”排在第一周，再排“数”，有C＝4种排法，再把剩下4个全排列，有A＝24种排法，根据分步乘法计数原理，得共有CA＝96种排法，故D正确．故选ACD.
12．答案：ABD
解析：A：由二项式知：C＋C＋…＋C＝(1＋1)2 021＝22 021，正确；
当x＝1时，有a0＋a1＋a2＋…＋a2 021＝－1，当x＝－1时，有a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 020－a2 021＝32 021，
B：由上，可得a1＋a3＋a5＋…＋a2 021＝－，正确；
C：由上，可得a0＋a2＋a4＋…＋a2 020＝，错误；
D：由二项式通项知：Tk＋1＝C(－2x)k＝(－2)kCxk，则a1＝(－2)·C，a2＝(－2)2·C，…，a2 021＝(－2)2 021·C，所以＋＋＋…＋＝－C＋C－C＋…＋C－C＝(1－1)2 021－C＝－1，正确．
13．答案：112
解析：由二项式定理知的展开式的通项为
Tk＋1＝C(2x)8－k＝C28－k(－1)kx8－k，
令8－k＝－1得k＝6，
故T7＝.
14．答案：10
解析：根据组合数的性质C＝C，且C＝C，
所以n＝3＋7＝10.
15．答案：2
解析：∵(1－ax)(1＋x)6＝(1＋x)6－ax(1＋x)6，
(1＋x)6的展开式通项为Tk＋1＝C·xk，所以ax(1＋x)6的展开式通项为Ar＋1＝axC·xr＝aC·xr＋1，
令，可得，
由题意可得C－aC＝20－15a＝－10，解得a＝2.
16．答案：330
解析：方法一　第一步，从11个位置中选3个位置，共有C种方法；
第二步，三个位置中确定节目B位置，节目A，C的顺序为A，
由分步乘法计数原理可得共有C·A＝330种方法．
方法二　先插入节目A，再插入节目B，最后插入节目C，共有：9×10×11＝990种，
其中节目B与两个新节目的位置关系有3种，由消序法可得总数为＝330.
17．解析：(1)将2封信投入4个邮箱，每个邮箱最多投一封，第一封信有4种选择，第二封有3种选择，答案为4×3＝12(种).
(2)将2封信随意投入4个邮箱，则每封信都有4种选择，所以共有4×4＝16(种).
18．解析：(1)由于二项展开式有6项，故n＝5.
所有二项式的系数和为25＝32.
(2)二项式(2x＋1)5展开式的通项为Tk＋1＝C(2x)5－k，
令5－k＝2得k＝3.
故展开式中含x2的项为40x2.
19．解析：(1)问题即为从7个元素中选出5个全排列，有A＝2 520种排法．
(2)前排3人，后排4人，相当于排成一排，共有A＝5 040种排法．
(3)相邻问题(捆绑法)：男生必须站在一起，是男生的全排列，有A种排法；女生必须站在一起，是女生的全排列，有A种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有A种排法，由分步乘法计数原理知，共有A·A·A＝288(种).
(4)不相邻问题(插空法)：先安排女生有A种排法，男生在4个女生隔成的五个空中安排有A种排法，故共有A·A＝1 440(种).
20．解析：(1)因为的展开式中所有项的二项式系数之和为512，
所以C＋C＋…＋C＝2n＝512，解得n＝9.
(2)由通项公式Tk＋1＝C·(2x)9－k·＝C·29－k·x9－，
令9－＝0，可得k＝6，
所以展开式中的常数项为T6＋1＝C·29－6·x0＝C·23＝672.
21．解析：(1)根据题意，分3步进行：①在6人中选出3人，将其分到甲组，有C种分法；②在剩余3人中选出2人，将其分到乙组，有C种分法；③将剩下的1人分到丙组，有C种分法；
所以共有CCC＝60种不同的分法．
(2)根据题意，分2步进行：①将6人分成3组，人数依次为3，2，1，有CCC＝60种分法；②将分好的三组全排列，对应甲、乙、丙3个不同的公益小组，有A＝6种分法；
所以共有CCCA＝360种不同的分法．
22．解析：选择①.
C＋C＋C＝46，即1＋n＋＝46，
即n2＋n－90＝0，即(n＋10)(n－9)＝0，
解得n＝9或n＝－10(舍去).
选择②.
C＋C＋C＋…＝256，即2n－1＝256，解得n＝9.
(1)展开式中二项式系数最大的项为第5项和第6项，
T5＝C5x－5x2＝x－3，
T6＝C4x－4x＝x－.
(2)展开式的通项为Tk＋1＝Cx－(9－k)x＝C2k－9x，
令＝0，得k＝6，
所以展开式中常数项为第7项，
常数项为T7＝C×2－3＝.