人教版高中数学必修第一册4.1.1利用函数性质判定方程解的存在 课件（共20张PPT）

(共20张PPT)
第四章　§1　函数与方程
1.1　利用函数性质判定
方程解的存在
1.理解函数的零点、方程的根与图像交点三者之间的关系；
2.会借助零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间；
3.能借助函数单调性及图像判断零点个数.
问题导学
题型探究
达标检测
学习目标
知识点一　函数的零点概念
思考　函数的“零点”是一个点吗？
答案　不是，函数的“零点”是一个数，
一个使f(x)＝0的实数x.实际上是函数y＝f(x)的图像与x轴交点的横坐标.
一般地，函数y＝f(x)的零点亦即函数y＝f(x)的图像与x轴交点的横坐标，就是方程f(x)＝0的实数根，即函数y＝f(x)有零点 函数y＝f(x)的图像与x轴有交点 方程f(x)＝0有实数根.
答案
问题导学 　　　　新知探究 点点落实
答案
知识点二　零点存在定理
答案
返回
一般地，若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是 ，并且在区间端点的函数值符号相反，即 ，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解.这个结论可称为函数零点的存在性定理.
连续曲线
f(a)·f(b)<0
解析答案
反思与感悟
题型探究 　　　　重点难点 个个击破
类型一　求函数的零点
例1　函数f(x)＝(lg x)2－lg x的零点为____________.
解析　由(lg x)2－lg x＝0，得lg x(lg x－1)＝0，
∴lg x＝0或lg x＝1，
∴x＝1或x＝10.
反思与感悟　函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图像与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点.在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标.
x＝1或x＝10
解析答案
跟踪训练1　函数f(x)＝(x2－1)(x＋2)2(x2－2x－3)的零点个数是__.
解析　f(x)＝(x＋1)(x－1)(x＋2)2(x－3)(x＋1)
＝(x＋1)2(x－1)(x＋2)2(x－3).
可知零点为±1，－2,3，共4个.
4
解析答案
类型二　判断函数的零点所在的区间
例2　根据表格中的数据，可以断定方程ex－(x＋2)＝0(e≈2.72)的一个根所在的区间是(　　)
A.(－1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)
解析　令f(x)＝ex－(x＋2)，
则f(－1)＝0.37－1<0，f(0)＝1－2<0，f(1)＝2.72－3<0，f(2)＝7.40－4＝3.40>0.
由于f(1)·f(2)<0，∴方程ex－(x＋2)＝0的一个根在(1,2)内.
x －1 0 1 2 3
ex 0.37 1 2.72 7.40 20.12
x＋2 1 2 3 4 5
C
反思与感悟
反思与感悟
在函数图像连续的前提下，f(a)·f(b)<0，能判断在区间(a，b)内有零点，但不一定只有一个；而f(a)·f(b)>0，却不能判断在区间(a，b)内无零点.
解析答案
跟踪训练2　若函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝___.
解析　∵函数f(x)＝3x－7＋ln x在定义域上是增函数，
∴函数f(x)＝3x－7＋ln x在区间(n，n＋1)上只有一个零点.
∵f(1)＝3－7＋ln 1＝－4<0，f(2)＝6－7＋ln 2<0，f(3)＝9－7＋ln 3>0，
∴函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(2,3)内，
∴n＝2.
2
解析答案
类型三　判断函数零点个数
例3　求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数.
解　方法一　∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋lg 2－2>0，
∴f(x)在(0,1)上必定存在零点.
又显然f(x)＝2x＋lg (x＋1)－2在(－1，＋∞)上为增函数.
故函数f(x)有且只有一个零点.
方法二　在同一坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg (x＋1)的草图.
由图像知g(x)＝lg (x＋1)的图像和h(x)＝2－2x的图像有且只有一个交点，
即f(x)＝2x＋lg (x＋1)－2有且只有一个零点.
反思与感悟
反思与感悟
判断函数零点的个数的方法主要有：(1)可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助于函数的单调性判断零点的个数.(2)利用函数图像交点的个数判定函数零点的个数.
跟踪训练3　求函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点的个数.
解　方法一　由于f(2)<0，f(3)>0，即f(2)·f(3)<0，
说明这个函数在区间(2,3)内有零点.
函数f(x)在定义域(0，＋∞)内是增函数，所以它仅有一个零点.
方法二　通过作出函数y＝ln x，y＝－2x＋6的图像，
观察两图像的交点个数得出结论.
也就是将函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点个数转化为函数y＝ln x与y＝－2x＋6的图像交点的个数.
解析答案
返回
1
2
3
达标检测
4
1.函数y＝x的零点是(　　)
A.(0,0) B.x＝0
C.x＝1 D.不存在
5
B
答案
2.函数f(x)＝x2－2x的零点个数是(　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
1
2
3
4
5
C
答案
3.若函数f(x)的图像在R上连续不断，且满足f(0)<0，f(1)>0，f(2)>0，
则下列说法正确的是(　　)
A.f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上一定没有零点
B.f(x)在区间(0,1)上一定没有零点，在区间(1,2)上一定有零点
C.f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上可能有零点
D.f(x)在区间(0,1)上可能有零点，在区间(1,2)上一定有零点
1
2
3
4
5
C
答案
4.下列各图像表示的函数中没有零点的是(　　)
1
2
3
4
5
D
答案
5.函数f(x)＝x3－( )x的零点个数是(　　)
A.0个 B.1个
C.2个 D.无数个
1
2
3
4
5
B
答案
返回
规律与方法
1.方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图像交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图像与x轴交点的横坐标.
2.在函数零点存在性定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点.
3.解决函数的零点存在性问题常用的办法有三种：(1)用定理；(2)解方程；(3)用图像.
4.函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础.
本课结束