人教版高中数学必修第一册4.2实际问题的函数建模 课件(共27张PPT)

(共27张PPT)
第四章　函数应用
§2　实际问题的函数建模
1.了解什么是函数模型，知道函数的一些基本模型，知道数学建模的意义；
2.通过对函数模型应用实例的学习，学会对收集到的相关数据进行拟合，并建立适当的数学模型；
3.掌握建立函数模型的一般方法，学会运用常见的函数模型来解一些简单的实际问题.
问题导学
题型探究
达标检测
学习目标
知识点一　实际问题的函数刻画
思考　世界上很多事物间的联系可以用函数刻画，在试图用函数刻画两个变量的联系时，需要关注哪些要点？
答案　先确定两个变量是谁；
再看两个变量之间的对应关系是否满足函数定义；
如果满足，就要考虑建立函数关系式.
一般地，设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题的已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型.
答案
问题导学 　　　　新知探究 点点落实
答案
知识点二　用函数模型解决实际问题
思考　函数模型是应用最广泛的数学模型之一，一旦确定是函数模型，怎样研究它？
答案　先确定函数关系式，再根据解决实际问题的需要针对性研究函数性质，如定义域、最值、单调性等，使实际问题得到解决.
用函数模型解决实际问题的步骤：
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型.
(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型.
(3)求模：求解数学模型，得到数学结论.
(4)还原：利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中.
可将这些步骤用框图表示如下：
答案
知识点三　数据拟合
思考　自由落体速度公式v＝gt是一种函数模型.类比这个公式的发现过程，简述什么是数据拟合？
答案　函数模型来源于现实(伽利略斜塔抛球)，通过收集数据(打点计时器测量)，画散点图分析数据(增长速度、单位时间内的增长量等)，寻找或选择函数(假说)来作为函数模型，再检验这个函数模型是否符合实际，这就是数据拟合.
数据拟合：
(1)定义：通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图像，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律.这种方法称为数据拟合.
(2)数据拟合的步骤：
①以所给数据作为点的坐标，在平面直角坐标系中绘出各点；
②依据点的整体特征，猜测这些点所满足的函数形式，设其一般形式；
③取特殊数据代入，求出函数的具体解析式；
④做必要的检验.
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解析答案
反思与感悟
题型探究 　　　　重点难点 个个击破
类型一　利用已知函数模型求解实际问题
例1　某列火车从北京西站开往石家庄，全程277 km.火车出发10 min开出13 km后，以120 km/h的速度匀速行驶.试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系，并求火车离开北京2 h内行驶的路程.
因为火车匀速行驶时间t h所行驶路程为120t，
所以，火车运行总路程S与匀速行驶时间t之间的关系是S＝13＋120t(0≤t≤ ).
反思与感悟
(1)审题是解决问题的起点，需弄清楚题中有几层意思，每层意思是什么，要解决什么问题及其相关的因素有哪些等.即从中收集有用信息，捕捉关键词语，从文字语言叙述中理解题意，不能漏掉任何一个条件.
(2)建模需设出有关符号、字母等来表示题目中的有关量，根据题目中所给出的等量关系或结合实际生产、生活中的等量关系，建立函数关系.
(3)对于实际问题，所有的取值都是有实际意义的，即要注重函数的定义域，这往往是解决问题时容易遗漏的.
(4)实际问题中出现不同的度量单位时，要将其化成统一的度量单位.
解析答案
跟踪训练1　商店出售茶壶与茶杯，茶壶每个定价20元，茶杯每个5元，该商店推出两种优惠办法：①买一个茶壶送一个茶杯，②按购买总价的92%付款.某顾客购买茶壶4个，茶杯若干个(不少于4个)，若购买茶杯数x个，付款为y(元)，试分别建立两种优惠办法中y与x的函数关系式，并指出如果该顾客需要购买茶杯40个，应选择哪种优惠办法？
解　由优惠办法①得函数关系式为y1＝20×4＋5(x－4)＝5x＋60(x≥4，x∈N＋).
由优惠办法②得函数关系式为y2＝(20×4＋5x)×92%＝4.6x＋73.6(x≥4，x∈N＋).
当该顾客购买茶杯40个时，采用优惠办法①应付款y1＝5×40＋60＝260元；
采用优惠办法②应付款y2＝4.6×40＋73.6＝257.6元，
由于y2解析答案
类型二　自建确定性函数模型解决实际问题
例2　某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝ －48x＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨.若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
解　设可获得总利润为R(x)万元，
∵R(x)在[0,210]上是增函数，
∴年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元.
反思与感悟
反思与感悟
自建模型时主要抓住四个关键：“求什么，设什么，列什么，限制什么”.
求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务.
设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量.
列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等.
限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人不能是半个等.
解析答案
跟踪训练2　有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所获得的利润依次为Q1万元和Q2万元，它们与投入的资金x万元的关系是Q1＝ x，Q2＝ .
现有3万元资金投入使用，则对甲、乙两种商品如何投资才能获得最大利润？
解　设对甲种商品投资x万元，
则对乙种商品投资(3－x)万元，总利润为y万元.
所以3－x＝2.25(万元).
由此可知，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别为0.75万元和2.25万元，总共获得利润为1.05万元.
类型三　拟合函数模型
例3　人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：y＝y0ert，其中t表示经过的时间，y0表示t＝0时的人口数，r表示人口的年平均增长率.下表是1950～1959年我国的人口数据资料：
年份 1950 1951 1952 1953 1954
人数/万人 55 196 56 300 57 482 58 796 60 266
年份 1955 1956 1957 1958 1959
人数/万人 61 456 62 828 64 563 65 994 67 207
解析答案
(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到0.000 1)，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；
解　设1951～1959年的人口增长率分别为r1，r2，…，r9.
由55 196(1＋r1) ＝ 56 300，可得1951年的人口增长率r1≈0.020 0.
同理可得，r2≈0.021 0，r3≈0.022 9，r4≈0.025 0，r5≈0.019 7，r6≈0.022 3，r7≈0.027 6，r8≈0.022 2，r9≈0.018 4.于是，1951～1959年期间，我国人口的年均增长率为r＝(r1＋r2＋…＋r9)÷9≈0.022 1.
令y0＝55 196，则我国在1950～1959年期间
的人口增长模型为y＝55 196e0.022 1t，t∈N.
根据表中的数据作出散点图，
并作出函数y＝55 196e0.022 1t(t∈N)的图像.
由图可以看出，所得模型与1950～1959年的实际人口数据基本吻合.
解析答案
反思与感悟
(2)如果按表中的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？
解　将y＝130 000代入y＝55 196e0.022 1t，
由计算器可得t≈38.76.
所以，如果按表的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年(即1989年)我国的人口就已达到13亿.
反思与感悟
(1)已给出函数模型的实际应用题，关键是考虑该题考查的是何种函数，并要注意定义域，然后结合所给模型，列出函数关系式，最后结合其实际意义作出解答.
(2)判断所得到的数学模型是否拟合，必须使所有数据基本接近数学模型，对于一般的应用问题，不会让数学模型完全符合，只是基本符合，对此，无最优解，只有满意解.
(3)由于函数模型的局限性、函数模型往往只在某个范围内拟合效果较好.
跟踪训练3　已知1650年世界人口为5亿，当时人口的年增长率为0.3%；1970年世界人口为36亿，当时人口的年增长率为2.1%.
(1)用马尔萨斯人口模型计算，什么时候世界人口是1650年的2倍？什么时候世界人口是1970年的2倍？
解　已知人口模型为y＝y0ert，其中y0表示t＝0时的人口数，r表示人口的年增长率.
若按1650年世界人口5亿，年增长率为0.3%估计，有y＝5e0.003t.
当y＝10时，解得t≈231.
同理可知，2003年世界人口数约为1970年的2倍.
(2)实际上，1850年以前世界人口就超过了10亿；而2003年世界人口还没有达到72亿.你对同样的模型得出的两个结果有何看法？
解　由此看出，此模型不太适宜估计时间跨度非常大的人口增长情况.
所以，1881年世界人口约为1650年的2倍.
解析答案
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1
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达标检测
4
1.从2013年起，在20年内某海滨城市力争使全市工农业生产总产值翻两番，如果每年的增长率是8%，则达到翻两番目标的最少年数为(　　)
A.17 B.18
C.19 D.20
5
C
答案
2.一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图像如图所示，那么图像所对应的函数模型是(　　)
A.分段函数 B.二次函数
C.指数函数 D.对数函数
1
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3
4
5
A
答案
3.若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是(　　)
A. B.y＝(0.957 6)100x
C.y＝( )x D.
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5
A
答案
4.某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表：
下面的函数关系式中，拟合效果最好的是(　　)
A.y＝2x－1
B.y＝x2－1
C.y＝2x－1
D.y＝1.5x2－2.5x＋2
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x 1 2 3 …
y 1 3 8 …
D
答案
5.某同学最近5年内的学习费用y千元与时间x年的关系如图所示，可选择的模拟函数模型是(　　)
A.y＝ax＋b
B.y＝ax2＋bx＋c
C.y＝aex＋b
D.y＝aln x＋b
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B
答案
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规律与方法
解函数应用问题的步骤(四步八字)
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；
(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义.
本课结束