吉林省长春市2023年中考数学试卷
一、单选题
1．实数、、、数轴上对应点位置如图所示，这四个数中绝对值最小的是（ ）
A． B． C． D．
2．长春龙嘉国际机场T3A航站楼设计创意为“鹤舞长春”，如图所示，航站楼的造型如仙鹤飞翔，蕴含了对吉春大地未来发展的美好愿景．本期工程按照满足年旅客吞吐量人次目标设计的，其中这个数用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．下图是一个多面体的表面展开图，每个面都标注了数字．若多面体的底面是面③，则多面体的上面是（ ）
A．面① B．面② C．面⑤ D．面⑥
5．如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为、的中点，只要量出的长度，就可以道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（ ）
A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C．两余直线被一组平行线所截，所的对应线段成比例
D．两点之间线段最短
6．学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳到地面，如图所示．已彩旗绳与地面形成角（即）、彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32米（即米），则彩旗绳的长度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
7．如图，用直尺和圆规作的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，点、在函数的图象上，分别以、为圆心，为半径作圆，当与轴相切、与轴相切时，连结，，则的值为（ ）
A．3 B． C．4 D．6
二、填空题
9．（2018八上·自贡期末）分解因式： = .
10．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
11．（2023·长春）2023长春马拉松于5月21日在南岭体育场鸣枪开跑，某同学参加了7.5公里健康跑项目，他从起点开始以平均每分钟x公里的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终点的路程为 公里．（用含x的代数式表示）
12．如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的周长之比为 ．
13．如图，将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，则的大小为 度．
14．（2023·长春）年5月8日，商业首航完成——中国民商业运营国产大飞机正式起步．时分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”、是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为米时，两条水柱在物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面米，喷水口A、B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退米，两条水柱的形状及喷水口、到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点距地面 米．
三、解答题
15．（2023·长春）先化简．再求值：，其中．
16．（2023·长春）班级联欢会上有一个抽奖活动，每位同学均参加一次抽奖，活动规则下：将三个完全相同的不透明纸杯倒置放在桌面上，每个杯子内放入一个彩蛋，彩蛋颜色分别为红色、红色、绿色．参加活动的同学先从中随机选中一个杯子，记录杯内彩蛋颜色后再将杯子倒置于桌面，重新打乱杯子的摆放位置，再从中随机选中一个杯子，记录杯内彩蛋颜色．若两次选中的彩蛋颜色不同则获一等奖，颜色相同则获二等奖．用画树状图（或列表）的方法，求某同学获一等奖的概率．
17．随着中国网民规模突破亿、博物馆美育不断向线上拓展．敦煌研究院顺势推出数字敦煌文化大使伽瑶，受到广大敦煌文化爱好者的好评．某工厂计划制作个伽瑶玩偶摆件，为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的倍，结果提前天完成任务．问原计划平均每天制作多少个摆件？
18．（2023·长春）将两个完全相同的含有角的直角三角板在同一平面内按如图所示位置摆放．点A，E，B，D依次在同一直线上，连结、．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）已知，当四边形是菱形时．的长为 ．
19．近年来，肥胖经成为影响人们身体健康的重要因素．目前，国际上常用身体质量指数（ ，缩写）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是
例如：某人身高，体重，则他的．
中国成人的数值标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖．
某公司为了解员工的健康情况，随机抽取了一部分员工的体检数据，通过计算得到他们的值并绘制了如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息回答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）请估计该公司名员工中属于偏胖和肥胖的总人数；
（3）基于上述统计结果，公司建议每个人制定健身计划．员工小张身高，值为，他想通过健身减重使自己的值达到正常，则他的体重至少需要减掉 ．（结果精确到）
20．（2023·长春）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，点C在格点上．
（1）在图①中，的面积为；
（2）在图②中，的面积为5
（3）在图③中，是面积为的钝角三角形．
21．甲、乙两个相约登山，他们同时从入口处出发，甲步行登山到山顶，乙先步行15分钟到缆车站，再乘坐缆车到达山顶．甲、乙距山脚的垂直高度y（米）与甲登山的时间x（分钟）之间的函数图象如图所示．
（1）当时，求乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式；
（2）求乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度．
22．（2023·长春）
（1）【感知】如图①，点A、B、P均在上，，则锐角的大小为 度．
（2）【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，是等边三角形的外接圆，点P在上（点P不与点A、C重合），连结、、．求证：．小明发现，延长至点E，使，连结，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证．
下面是小明的部分证明过程：
证明：延长至点E，使，连结，
四边形是的内接四边形，
．
，
．
是等边三角形．
，
请你补全余下的证明过程．
（3）【应用】如图③，是的外接圆，，点P在上，且点P与点B在的两侧，连结、、．若，则的值为 ．
23．如图①．在矩形．，点在边上，且．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度运动，作，交边或边于点，连续．当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为秒．（）
（1）当点和点重合时，线段的长为 ；
（2）当点和点重合时，求；
（3）当点在边上运动时，的形状始终是等腰直角三角形．如图②．请说明理由；
（4）作点关于直线的对称点，连接、，当四边形和矩形重叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出的取值范围．
24．（2023·长春）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线（是常数）经过点．点的坐标为，点在该抛物线上，横坐标为．其中．
（1）求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标；
（2）当点在轴上时，求点的坐标；
（3）该抛物线与轴的左交点为，当抛物线在点和点之间的部分（包括、两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求的值．
（4）当点在轴上方时，过点作轴于点，连结、．若四边形的边和抛物线有两个交点（不包括四边形的顶点），设这两个交点分别为点、点，线段的中点为．当以点、、、（或以点、、、）为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半时，直接写出所有满足条件的的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：由题意得，
∴绝对值最小的是b，
故答案为：B
【分析】根据绝对值的定义结合题意即可求解。
2．【答案】D
【知识点】科学记数法—记绝对值大于1的数
【解析】【解答】解：由题意得这个数用科学记数法表示为，
故答案为：D
【分析】 把一个数写成a×10的形式(其中1＜|a|≤10 ， n为整数) ，这种记数的方法叫做科学记数法。
3．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方
【解析】【解答】解：
A、，A不符合题意；
B、，B符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘除法、幂的乘方结合题意进行运算，进而即可求解。
4．【答案】C
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：由题意得多面体的底面是面③，则多面体的上面是面⑤，
故答案为：C
【分析】根据长方体的展开图结合题意即可求解。
5．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定（SAS）；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵点O为、的中点，
∴OB=OB'，OA=OA'，
∵∠A'OB'=∠AOB，
∴△B'OA'≌△BOA（SAS），
∴AB=A'B'，
故答案为：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
【分析】根据对顶角的性质结合三角形全等的判定证明△B'OA'≌△BOA（SAS）即可求解。
6．【答案】D
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意得CA⊥CB，
∴，
故答案为：D
【分析】先根据题意即可得到CA⊥CB，进而根据解直角三角形的知识结合题意即可求解。
7．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：由题意得DA=EA，DF=EF，A、C不符合题意；
∵A和F在ED的垂直平分线上，
∴，D不符合题意；
∴不一定成立，B符合题意；
故答案为：B
【分析】根据作图-角平分线，进而根据垂直平分线的判定对选项逐一分析即可求解。
8．【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：过点A、B作y轴、x轴的垂线，如图所示：
由题意得点A的纵坐标为1，点B的横坐标为1，
设A（k，1），B（1，k），
∴C（1，1），
∴CA=k-1，BC=k-1，
由勾股定理得，
解得k=4，
故答案为：C
【分析】过点A、B作y轴、x轴的垂线，进而得到点A的纵坐标为1，点B的横坐标为1，再根据反比例函数的性质设A（k，1），B（1，k），进而得到C（1，1），CA=k-1，BC=k-1，再根据勾股定理即可求出k。
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】原式
故答案为：
【分析】观察代数式的特点，利用平方差公式分解即可。
10．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
故答案为：
【分析】根据一元二次方程根的判别式结合题意即可求解。
11．【答案】
【知识点】代数式的定义
【解析】【解答】解：由题意得他离健康跑终点的路程为公里，
故答案为：
【分析】根据题意列出代数式即可求解。
12．【答案】
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵和是以点为位似中心的位似图形，，
∴，
∴和的周长之比为，
故答案为：
【分析】先根据题意得到，进而根据位似图形的性质即可求解。
13．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由题意得正五边形的每一个内角为，
由折叠得∠MAB=54°，
∴∠B'AF=27°，∠B=∠FB'A=108°，
∴∠AFB'=180°-108°-27°=45°，
故答案为：45
【分析】先根据多边形的内角和公式结合题意求出正五边形的每一个内角的度数，进而根据折叠的性质得到∠MAB=54°，∠B'AF=27°，∠B=∠FB'A=108°，进而运用三角形内角和定理即可求解。
14．【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：由题意得B（40，4），H（0，20），A（-40，4），
设抛物线的解析式为，
将A（-40，4）代入解得，
∴，
∵两辆消防车同时后退米，两条水柱的形状及喷水口、到地面的距离均保持不变，
∴抛物线的解析式变为，
当x=0时，y=19，
故答案为：19
【分析】先根据题意得到B（40，4），H（0，20），A（-40，4），进而运用待定系数法求出抛物线的解析式，进而得到平移后的抛物线解析式，再令x=0即可求解。
15．【答案】解：
当时，原式
【知识点】代数式求值；单项式乘多项式；完全平方公式及运用
【解析】【分析】先运用完全平方公式、单项式乘多项式进行化简，进而代入求值即可求解。
16．【答案】解：画树状图如下：
共有种可能，获一等奖即两次颜色不相同的可能有种，
则某同学获一等奖的概率为：，
答：某同学获一等奖的概率为．
【知识点】列表法与树状图法；等可能事件的概率
【解析】【分析】先画出树状图，进而即可得到共有种可能，获一等奖即两次颜色不相同的可能有种，再根据等可能事件的概率即可求解。
17．【答案】解：设原计划平均每天制作个，根据题意得，
解得：
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：原计划平均每天制作个摆件．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】设原计划平均每天制作个，根据“某工厂计划制作个伽瑶玩偶摆件，为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的倍，结果提前天完成任务”即可列出分式方程，进而即可求解。
18．【答案】（1）证明：由题意可知，
，，
，
四边形地平行四边形；
（2）
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等及其性质；含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：（2）由题意得∠BAC=30°，∠ACB=90°，CB=6cm，
∴BA=12cm，∠CBA=60°，
∵四边形AFDC为菱形，
∴∠ADF=∠ADC=30°，
∴∠DCB=30°，
∴∠ADC=∠DCB，
∴AD=DB+BA=18cm，
故答案为：18
【分析】（1）先根据三角形全等的性质即可得到，，进而根据平行四边形的判定即可求解；
（2）先根据含30°角的直角三角形的性质结合题意即可得到BA=12cm，∠CBA=60°，进而根据菱形的性质结合题意即可得到∠ADF=∠ADC=30°，进而根据三角形外角的性质结合题意得到∠ADC=∠DCB，最后根据AD=DB+BA即可求解。
19．【答案】（1）解：抽取了人，
属于偏胖的人数为：，
补全统计图如图所示，
（2）解：（人）
（3）
【知识点】一元一次不等式的应用；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：（3）设小张的体重需要减掉xkg，由题意得，
解得x＞8.67，
∴他的体重至少需要减掉9kg，
故答案为：9
【分析】（1）先根据题意求出总人数，进而根据总人数减去其余的人数即可得到属于偏胖的人数，再补充条形统计图即可求解；
（2）根据样本估计总体的知识即可求解；
（3）设小张的体重需要减掉xkg，根据题目提供的公式列出不等式，进而即可求解。
20．【答案】（1）解：如图所示，
以为底，设边上的高为，
依题意得：
解得：
即点在上方且到距离为个单位的线段上的格点即可，
答案不唯一；
（2）解：由网格可知，
以为底，设边上的高为，
依题意得：
解得：
将绕或旋转，过线段的另一个端点作的平行线，与网格格点的交点即为点，
答案不唯一，
（3）解：如图所示，
作，过点作，交于格点，
由网格可知，
，，
∴是直角三角形，且
∵
∴．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；作图-平行线；作图-三角形
【解析】【分析】（1）根据题意运用三角形的面积公式画图即可求解；
（2）先根据勾股定理即可求出AB，进而以为底，设边上的高为，再根据三角形的面积即可求出h，将绕或旋转，过线段的另一个端点作的平行线，与网格格点的交点即为点。
（3）作，过点作，交于格点，进而连接A、B、C即可求解。
21．【答案】（1）解：设乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为，将，代入得，
，
解得：，
∴；
（2）解：设甲距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为
将点代入得，
解得：，
∴；
联立
解得：
∴乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度为米.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）运用待定系数法求一次函数即可得到设乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式；
（2）先运用待定系数法求一次函数得到甲距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式，进而联立两个解析式即可求解。
22．【答案】（1）
（2）解：延长至点E，使，连结，
四边形是的内接四边形，
．
，
．
是等边三角形．
，
，
∴，，
，
是等边三角形，
，
，
即；
（3）
【知识点】圆的综合题
【解析】【解答】（1）由题意得=45°，
故答案为：45
（3） 延长 至点E，使 ，连结 ，
四边形 是 的内接四边形，
．
，
．
，
，
∴ ， ，
，
是等腰直角三角形，
，
，
即 ，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
【分析】（1）直接根据圆周角定理即可求解；
（2）延长至点E，使，连结，先根据圆内接四边形的性质即可得到，进而得到，再根据等边三角形的判定与性质即可得到，然后根据三角形全等的判定与性质证明即可得到，，进而得到，再根据等边三角形的判定与性质即可得到，进而结合题意即可求解；
（3）延长 至点E，使 ，连结 ，先根据圆内接四边形的性质即可得到 ，进而结合三角形全等的判定与性质证明 即可得到 ， ，再根据等腰直角三角形、勾股定理结合题意求出PB和PC，进而即可求解。
23．【答案】（1）
（2）解：如图所示，
∵，，
∴，
∴
∴，
∴，
∵，，
∴；
（3）解：如图所示，过点作于点，
∵，，
∴，
则四边形是矩形，
∴
又∵
∴，
∴
∴
∴是等腰直角三角形；
（4）或或
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1） 如图所示，连接 ，
∵四边形 是矩形
∴
∵ ，
∴四边形 是矩形，
当点 和点 重合时，
∴ ，
在 中， ，
故答案为： ．
（4） ①如图所示，当点 在 上时，
∵ ，
在 中， ，
则 ，
∵ ，则 ， ，
在 中， ，
∴
解得：
当 时，点 在矩形内部，符合题意，
∴ 符合题意，
②当 点在 上时，当 重合时符合题意，此时如图，
则 ， ，
在 中，
，
解得： ，
③当点 在 上，当 重合时，此时 与点 重合，则 是正方形，此时
综上所述， 或 或 ．
【分析】（1）连接 ，先根据矩形的判定与性质证明四边形 是矩形，进而得到当点 和点 重合时， ， ，再运用勾股定理即可求解；
（2）先根据题意即可得到，进而运用相似三角形的判定与性质证明即可得到，再代入数值即可求解；
（3）过点作于点，先根据矩形的判定与性质证明四边形是矩形即可得到，进而得到，再运用三角形全等的判定与性质证明即可得到，从而即可求解；
（4）分类讨论： ①如图所示，当点 在 上时，②当 点在 上时，当 重合时符合题意，③当点 在 上，当 重合时，此时 与点 重合，则 是正方形，进而运用勾股定理结合正方形的性质即可求解。
24．【答案】（1）解：将点代入抛物线，得，
解得：
∴抛物线解析式为；
∵，
∴顶点坐标为，
（2）解：由，
当时，，
解得：，
∵抛物线上的点在轴上时，横坐标为．其中．
∴
∴
解得：，
∵点的坐标为，
∴；
（3）解：①如图所示，当，即时，
抛物线在点和点之间的部分（包括、两点）的最高点为顶点，最低点为点，
∵顶点坐标为，
则纵坐标之差为
依题意，
解得：；
②当，即时，
∵，即，
依题意，，
解得：或（舍去），
③当，即时，
则，
解得：或（舍去），
④当，即，
则，
解得：（舍去）或，
综上所述，或或或；
（4）或或
【知识点】二次函数-动态几何问题；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】（4） 解：如图所示，
∵ 在 轴的上方，
∴
∴
∵以点 、 、 、 为顶点的四边形的面积是四边形 面积的一半，线段 的中点为
∴
∵ ，
①当 是 的中点，如图所示
则 ，
∴ 代入 ，
即 ，
解得： （舍去）或 ；
②同理当 为 的中点时，如图所示， ， ，则点 、 、 、 为顶点的四边形的面积是四边形 面积的一半，
∴ ，
解得： ，
③如图所示，
设 ，则 ，
∵以点 、 、 、 为顶点的四边形的面积是四边形 面积的一半，线段 的中点为
∴
即
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 关于 对称，
∴ ，
解得： ，
综上所述， 或 或 ．
【分析】（1）先将点代入即可得到，进而将函数解析式化为顶点式即可求解；
（2）先根据题意令y=0即可得到，进而结合题意即可得到m，从而即可得到点A的坐标；
（3）分类讨论：①如图所示，当，即时，③当，即时，④当，即，进而根据题意即可求出m；
（4）先根据题意得到m的取值范围，进而根据题意得到，再结合“ ， ”分类讨论：①当 是 的中点，②同理当 为 的中点时，如图所示， ， ，则点 、 、 、 为顶点的四边形的面积是四边形 面积的一半，③如图所示，设 ，则 ，进而根据三角形的面积结合题意即可求出m，进而总结即可求解。
1 / 1吉林省长春市2023年中考数学试卷
一、单选题
1．实数、、、数轴上对应点位置如图所示，这四个数中绝对值最小的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：由题意得，
∴绝对值最小的是b，
故答案为：B
【分析】根据绝对值的定义结合题意即可求解。
2．长春龙嘉国际机场T3A航站楼设计创意为“鹤舞长春”，如图所示，航站楼的造型如仙鹤飞翔，蕴含了对吉春大地未来发展的美好愿景．本期工程按照满足年旅客吞吐量人次目标设计的，其中这个数用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法—记绝对值大于1的数
【解析】【解答】解：由题意得这个数用科学记数法表示为，
故答案为：D
【分析】 把一个数写成a×10的形式(其中1＜|a|≤10 ， n为整数) ，这种记数的方法叫做科学记数法。
3．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方
【解析】【解答】解：
A、，A不符合题意；
B、，B符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘除法、幂的乘方结合题意进行运算，进而即可求解。
4．下图是一个多面体的表面展开图，每个面都标注了数字．若多面体的底面是面③，则多面体的上面是（ ）
A．面① B．面② C．面⑤ D．面⑥
【答案】C
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：由题意得多面体的底面是面③，则多面体的上面是面⑤，
故答案为：C
【分析】根据长方体的展开图结合题意即可求解。
5．如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为、的中点，只要量出的长度，就可以道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（ ）
A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C．两余直线被一组平行线所截，所的对应线段成比例
D．两点之间线段最短
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定（SAS）；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵点O为、的中点，
∴OB=OB'，OA=OA'，
∵∠A'OB'=∠AOB，
∴△B'OA'≌△BOA（SAS），
∴AB=A'B'，
故答案为：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
【分析】根据对顶角的性质结合三角形全等的判定证明△B'OA'≌△BOA（SAS）即可求解。
6．学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳到地面，如图所示．已彩旗绳与地面形成角（即）、彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32米（即米），则彩旗绳的长度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】D
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意得CA⊥CB，
∴，
故答案为：D
【分析】先根据题意即可得到CA⊥CB，进而根据解直角三角形的知识结合题意即可求解。
7．如图，用直尺和圆规作的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：由题意得DA=EA，DF=EF，A、C不符合题意；
∵A和F在ED的垂直平分线上，
∴，D不符合题意；
∴不一定成立，B符合题意；
故答案为：B
【分析】根据作图-角平分线，进而根据垂直平分线的判定对选项逐一分析即可求解。
8．如图，在平面直角坐标系中，点、在函数的图象上，分别以、为圆心，为半径作圆，当与轴相切、与轴相切时，连结，，则的值为（ ）
A．3 B． C．4 D．6
【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：过点A、B作y轴、x轴的垂线，如图所示：
由题意得点A的纵坐标为1，点B的横坐标为1，
设A（k，1），B（1，k），
∴C（1，1），
∴CA=k-1，BC=k-1，
由勾股定理得，
解得k=4，
故答案为：C
【分析】过点A、B作y轴、x轴的垂线，进而得到点A的纵坐标为1，点B的横坐标为1，再根据反比例函数的性质设A（k，1），B（1，k），进而得到C（1，1），CA=k-1，BC=k-1，再根据勾股定理即可求出k。
二、填空题
9．（2018八上·自贡期末）分解因式： = .
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】原式
故答案为：
【分析】观察代数式的特点，利用平方差公式分解即可。
10．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
故答案为：
【分析】根据一元二次方程根的判别式结合题意即可求解。
11．（2023·长春）2023长春马拉松于5月21日在南岭体育场鸣枪开跑，某同学参加了7.5公里健康跑项目，他从起点开始以平均每分钟x公里的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终点的路程为 公里．（用含x的代数式表示）
【答案】
【知识点】代数式的定义
【解析】【解答】解：由题意得他离健康跑终点的路程为公里，
故答案为：
【分析】根据题意列出代数式即可求解。
12．如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的周长之比为 ．
【答案】
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵和是以点为位似中心的位似图形，，
∴，
∴和的周长之比为，
故答案为：
【分析】先根据题意得到，进而根据位似图形的性质即可求解。
13．如图，将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，则的大小为 度．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由题意得正五边形的每一个内角为，
由折叠得∠MAB=54°，
∴∠B'AF=27°，∠B=∠FB'A=108°，
∴∠AFB'=180°-108°-27°=45°，
故答案为：45
【分析】先根据多边形的内角和公式结合题意求出正五边形的每一个内角的度数，进而根据折叠的性质得到∠MAB=54°，∠B'AF=27°，∠B=∠FB'A=108°，进而运用三角形内角和定理即可求解。
14．（2023·长春）年5月8日，商业首航完成——中国民商业运营国产大飞机正式起步．时分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”、是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为米时，两条水柱在物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面米，喷水口A、B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退米，两条水柱的形状及喷水口、到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点距地面 米．
【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：由题意得B（40，4），H（0，20），A（-40，4），
设抛物线的解析式为，
将A（-40，4）代入解得，
∴，
∵两辆消防车同时后退米，两条水柱的形状及喷水口、到地面的距离均保持不变，
∴抛物线的解析式变为，
当x=0时，y=19，
故答案为：19
【分析】先根据题意得到B（40，4），H（0，20），A（-40，4），进而运用待定系数法求出抛物线的解析式，进而得到平移后的抛物线解析式，再令x=0即可求解。
三、解答题
15．（2023·长春）先化简．再求值：，其中．
【答案】解：
当时，原式
【知识点】代数式求值；单项式乘多项式；完全平方公式及运用
【解析】【分析】先运用完全平方公式、单项式乘多项式进行化简，进而代入求值即可求解。
16．（2023·长春）班级联欢会上有一个抽奖活动，每位同学均参加一次抽奖，活动规则下：将三个完全相同的不透明纸杯倒置放在桌面上，每个杯子内放入一个彩蛋，彩蛋颜色分别为红色、红色、绿色．参加活动的同学先从中随机选中一个杯子，记录杯内彩蛋颜色后再将杯子倒置于桌面，重新打乱杯子的摆放位置，再从中随机选中一个杯子，记录杯内彩蛋颜色．若两次选中的彩蛋颜色不同则获一等奖，颜色相同则获二等奖．用画树状图（或列表）的方法，求某同学获一等奖的概率．
【答案】解：画树状图如下：
共有种可能，获一等奖即两次颜色不相同的可能有种，
则某同学获一等奖的概率为：，
答：某同学获一等奖的概率为．
【知识点】列表法与树状图法；等可能事件的概率
【解析】【分析】先画出树状图，进而即可得到共有种可能，获一等奖即两次颜色不相同的可能有种，再根据等可能事件的概率即可求解。
17．随着中国网民规模突破亿、博物馆美育不断向线上拓展．敦煌研究院顺势推出数字敦煌文化大使伽瑶，受到广大敦煌文化爱好者的好评．某工厂计划制作个伽瑶玩偶摆件，为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的倍，结果提前天完成任务．问原计划平均每天制作多少个摆件？
【答案】解：设原计划平均每天制作个，根据题意得，
解得：
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：原计划平均每天制作个摆件．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】设原计划平均每天制作个，根据“某工厂计划制作个伽瑶玩偶摆件，为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的倍，结果提前天完成任务”即可列出分式方程，进而即可求解。
18．（2023·长春）将两个完全相同的含有角的直角三角板在同一平面内按如图所示位置摆放．点A，E，B，D依次在同一直线上，连结、．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）已知，当四边形是菱形时．的长为 ．
【答案】（1）证明：由题意可知，
，，
，
四边形地平行四边形；
（2）
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等及其性质；含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：（2）由题意得∠BAC=30°，∠ACB=90°，CB=6cm，
∴BA=12cm，∠CBA=60°，
∵四边形AFDC为菱形，
∴∠ADF=∠ADC=30°，
∴∠DCB=30°，
∴∠ADC=∠DCB，
∴AD=DB+BA=18cm，
故答案为：18
【分析】（1）先根据三角形全等的性质即可得到，，进而根据平行四边形的判定即可求解；
（2）先根据含30°角的直角三角形的性质结合题意即可得到BA=12cm，∠CBA=60°，进而根据菱形的性质结合题意即可得到∠ADF=∠ADC=30°，进而根据三角形外角的性质结合题意得到∠ADC=∠DCB，最后根据AD=DB+BA即可求解。
19．近年来，肥胖经成为影响人们身体健康的重要因素．目前，国际上常用身体质量指数（ ，缩写）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是
例如：某人身高，体重，则他的．
中国成人的数值标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖．
某公司为了解员工的健康情况，随机抽取了一部分员工的体检数据，通过计算得到他们的值并绘制了如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息回答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）请估计该公司名员工中属于偏胖和肥胖的总人数；
（3）基于上述统计结果，公司建议每个人制定健身计划．员工小张身高，值为，他想通过健身减重使自己的值达到正常，则他的体重至少需要减掉 ．（结果精确到）
【答案】（1）解：抽取了人，
属于偏胖的人数为：，
补全统计图如图所示，
（2）解：（人）
（3）
【知识点】一元一次不等式的应用；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：（3）设小张的体重需要减掉xkg，由题意得，
解得x＞8.67，
∴他的体重至少需要减掉9kg，
故答案为：9
【分析】（1）先根据题意求出总人数，进而根据总人数减去其余的人数即可得到属于偏胖的人数，再补充条形统计图即可求解；
（2）根据样本估计总体的知识即可求解；
（3）设小张的体重需要减掉xkg，根据题目提供的公式列出不等式，进而即可求解。
20．（2023·长春）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，点C在格点上．
（1）在图①中，的面积为；
（2）在图②中，的面积为5
（3）在图③中，是面积为的钝角三角形．
【答案】（1）解：如图所示，
以为底，设边上的高为，
依题意得：
解得：
即点在上方且到距离为个单位的线段上的格点即可，
答案不唯一；
（2）解：由网格可知，
以为底，设边上的高为，
依题意得：
解得：
将绕或旋转，过线段的另一个端点作的平行线，与网格格点的交点即为点，
答案不唯一，
（3）解：如图所示，
作，过点作，交于格点，
由网格可知，
，，
∴是直角三角形，且
∵
∴．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；作图-平行线；作图-三角形
【解析】【分析】（1）根据题意运用三角形的面积公式画图即可求解；
（2）先根据勾股定理即可求出AB，进而以为底，设边上的高为，再根据三角形的面积即可求出h，将绕或旋转，过线段的另一个端点作的平行线，与网格格点的交点即为点。
（3）作，过点作，交于格点，进而连接A、B、C即可求解。
21．甲、乙两个相约登山，他们同时从入口处出发，甲步行登山到山顶，乙先步行15分钟到缆车站，再乘坐缆车到达山顶．甲、乙距山脚的垂直高度y（米）与甲登山的时间x（分钟）之间的函数图象如图所示．
（1）当时，求乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式；
（2）求乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度．
【答案】（1）解：设乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为，将，代入得，
，
解得：，
∴；
（2）解：设甲距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为
将点代入得，
解得：，
∴；
联立
解得：
∴乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度为米.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）运用待定系数法求一次函数即可得到设乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式；
（2）先运用待定系数法求一次函数得到甲距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式，进而联立两个解析式即可求解。
22．（2023·长春）
（1）【感知】如图①，点A、B、P均在上，，则锐角的大小为 度．
（2）【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，是等边三角形的外接圆，点P在上（点P不与点A、C重合），连结、、．求证：．小明发现，延长至点E，使，连结，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证．
下面是小明的部分证明过程：
证明：延长至点E，使，连结，
四边形是的内接四边形，
．
，
．
是等边三角形．
，
请你补全余下的证明过程．
（3）【应用】如图③，是的外接圆，，点P在上，且点P与点B在的两侧，连结、、．若，则的值为 ．
【答案】（1）
（2）解：延长至点E，使，连结，
四边形是的内接四边形，
．
，
．
是等边三角形．
，
，
∴，，
，
是等边三角形，
，
，
即；
（3）
【知识点】圆的综合题
【解析】【解答】（1）由题意得=45°，
故答案为：45
（3） 延长 至点E，使 ，连结 ，
四边形 是 的内接四边形，
．
，
．
，
，
∴ ， ，
，
是等腰直角三角形，
，
，
即 ，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
【分析】（1）直接根据圆周角定理即可求解；
（2）延长至点E，使，连结，先根据圆内接四边形的性质即可得到，进而得到，再根据等边三角形的判定与性质即可得到，然后根据三角形全等的判定与性质证明即可得到，，进而得到，再根据等边三角形的判定与性质即可得到，进而结合题意即可求解；
（3）延长 至点E，使 ，连结 ，先根据圆内接四边形的性质即可得到 ，进而结合三角形全等的判定与性质证明 即可得到 ， ，再根据等腰直角三角形、勾股定理结合题意求出PB和PC，进而即可求解。
23．如图①．在矩形．，点在边上，且．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度运动，作，交边或边于点，连续．当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为秒．（）
（1）当点和点重合时，线段的长为 ；
（2）当点和点重合时，求；
（3）当点在边上运动时，的形状始终是等腰直角三角形．如图②．请说明理由；
（4）作点关于直线的对称点，连接、，当四边形和矩形重叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出的取值范围．
【答案】（1）
（2）解：如图所示，
∵，，
∴，
∴
∴，
∴，
∵，，
∴；
（3）解：如图所示，过点作于点，
∵，，
∴，
则四边形是矩形，
∴
又∵
∴，
∴
∴
∴是等腰直角三角形；
（4）或或
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1） 如图所示，连接 ，
∵四边形 是矩形
∴
∵ ，
∴四边形 是矩形，
当点 和点 重合时，
∴ ，
在 中， ，
故答案为： ．
（4） ①如图所示，当点 在 上时，
∵ ，
在 中， ，
则 ，
∵ ，则 ， ，
在 中， ，
∴
解得：
当 时，点 在矩形内部，符合题意，
∴ 符合题意，
②当 点在 上时，当 重合时符合题意，此时如图，
则 ， ，
在 中，
，
解得： ，
③当点 在 上，当 重合时，此时 与点 重合，则 是正方形，此时
综上所述， 或 或 ．
【分析】（1）连接 ，先根据矩形的判定与性质证明四边形 是矩形，进而得到当点 和点 重合时， ， ，再运用勾股定理即可求解；
（2）先根据题意即可得到，进而运用相似三角形的判定与性质证明即可得到，再代入数值即可求解；
（3）过点作于点，先根据矩形的判定与性质证明四边形是矩形即可得到，进而得到，再运用三角形全等的判定与性质证明即可得到，从而即可求解；
（4）分类讨论： ①如图所示，当点 在 上时，②当 点在 上时，当 重合时符合题意，③当点 在 上，当 重合时，此时 与点 重合，则 是正方形，进而运用勾股定理结合正方形的性质即可求解。
24．（2023·长春）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线（是常数）经过点．点的坐标为，点在该抛物线上，横坐标为．其中．
（1）求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标；
（2）当点在轴上时，求点的坐标；
（3）该抛物线与轴的左交点为，当抛物线在点和点之间的部分（包括、两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求的值．
（4）当点在轴上方时，过点作轴于点，连结、．若四边形的边和抛物线有两个交点（不包括四边形的顶点），设这两个交点分别为点、点，线段的中点为．当以点、、、（或以点、、、）为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半时，直接写出所有满足条件的的值．
【答案】（1）解：将点代入抛物线，得，
解得：
∴抛物线解析式为；
∵，
∴顶点坐标为，
（2）解：由，
当时，，
解得：，
∵抛物线上的点在轴上时，横坐标为．其中．
∴
∴
解得：，
∵点的坐标为，
∴；
（3）解：①如图所示，当，即时，
抛物线在点和点之间的部分（包括、两点）的最高点为顶点，最低点为点，
∵顶点坐标为，
则纵坐标之差为
依题意，
解得：；
②当，即时，
∵，即，
依题意，，
解得：或（舍去），
③当，即时，
则，
解得：或（舍去），
④当，即，
则，
解得：（舍去）或，
综上所述，或或或；
（4）或或
【知识点】二次函数-动态几何问题；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】（4） 解：如图所示，
∵ 在 轴的上方，
∴
∴
∵以点 、 、 、 为顶点的四边形的面积是四边形 面积的一半，线段 的中点为
∴
∵ ，
①当 是 的中点，如图所示
则 ，
∴ 代入 ，
即 ，
解得： （舍去）或 ；
②同理当 为 的中点时，如图所示， ， ，则点 、 、 、 为顶点的四边形的面积是四边形 面积的一半，
∴ ，
解得： ，
③如图所示，
设 ，则 ，
∵以点 、 、 、 为顶点的四边形的面积是四边形 面积的一半，线段 的中点为
∴
即
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 关于 对称，
∴ ，
解得： ，
综上所述， 或 或 ．
【分析】（1）先将点代入即可得到，进而将函数解析式化为顶点式即可求解；
（2）先根据题意令y=0即可得到，进而结合题意即可得到m，从而即可得到点A的坐标；
（3）分类讨论：①如图所示，当，即时，③当，即时，④当，即，进而根据题意即可求出m；
（4）先根据题意得到m的取值范围，进而根据题意得到，再结合“ ， ”分类讨论：①当 是 的中点，②同理当 为 的中点时，如图所示， ， ，则点 、 、 、 为顶点的四边形的面积是四边形 面积的一半，③如图所示，设 ，则 ，进而根据三角形的面积结合题意即可求出m，进而总结即可求解。
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