学科：数学
专题：圆的有关概念与性质
主讲教师：黄炜 北京四中数学教师
重难点易错点辨析
1、等弧的概念，区别于长度相等的弧.
2、利用圆周角定理求角时，注意分类讨论.
例题2.1：
题面：∠AOB=100o, 点C在⊙O上, 且点C不与A、B重合, 则∠ACB的度数为（ ）
A.50° B.80°或50° C.130° D.50°或130°
3、在应用垂径定理的计算中，注意分类讨论.
例题3.1：
题面：已知⊙O的半径为5cm，AB和CD是⊙O的弦，AB//CD, AB=6cm，CD=8cm，求AB与CD之间的距离是多少？
金题精讲
题一
题面：已知，如图，△ABC内接于⊙O，BC=12cm，∠A=60°. 求⊙O的直径．
题二
题面：已知，如图，A，B是半圆O上的两点，CD是⊙O的直径，∠AOD=80°，B是弧AD的中点．
(1)在CD上求作一点P，使得AP+PB最短；
(2)若CD=4cm，求AP+PB的最小值．
满分冲刺
题一
题面：如图,在平面直角坐标系中,⊙P的圆心是(2,a)(a﹥2),半径为2，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（ ）
A. 2 B.2+ C. 2 D. 2+
题二
题面：如图，在⊙O中，直径AB=15cm，有一条长为9cm的动弦CD在上滑动(点C与A，点D与B不重合)，CF⊥CD交AB于F，DE⊥CD交AB于E．
(1)求证：AE=BF；
(2)在动弦CD滑动的过程中，四边形CDEF的面积是否为定值 若是定值，请给出证明并求这个定值；若不是，请说明理由
讲义参考答案
重难点辨析
例题2.1
答案： D
例题3.1
答案：1cm 或7cm
金题精讲
题一
答案：8cm
题二
答案：(1)提示：作A 点或者B点关于直径CD的对称点A’或者B’，然后连接A’B或者B’A。
(2) 最小值2cm
满分冲刺
题一
答案： B
题二
答案： （1）提示：过O点作OH垂直于CD交CD于H点，利用梯形中位线判定定理先证明OE=OF。
(2) 是定值。面积为54cm2
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第 页学科：数学
专题：圆的有关概念与性质
主讲教师：黄炜 北京四中数学教师
例题
题一：
题面：在半径为5的圆中，AB为直径，AC和AD为圆的两条弦，其长度分别为5，求∠CAD的度数。
题二：
题面：CD是⊙O的一条弦，作直径AB，使AB⊥CD，垂足为E，若AB＝10，CD＝8，则BE的长是（ ）
A.8 B.2 C.2或8 D.3或7
金题精讲
题一：
题面：如图，⊙O直径AB＝8， ∠CBD＝30°，则CD＝________．
题二：
题面：在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y=kx-3k+4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为 .
满分冲刺
题一：
题面：如图，在平面直角坐标系中，直线l经过原点O，且与x轴正半轴的夹角为30°，点M在x轴上，⊙M半径为2，⊙M与直线l相交于A、B两点，若△ABM为等腰直角三角形，则点M的坐标为______________．
题二：
题面：如图，是⊙O的内接三角形，点是优弧上一点（点不与重合），设，．
（1）当时，求的度数；
（2）猜想与之间的关系，并给予证明．
课后练习详解
例题
题一：
答案：∠CAD=15°或者75°
解析：本题要根据条件画出图形。如图：
连结CB、BD.
∵AB为直径，
∴∠ACB ＝∠ADB ＝90°
图1中，在Rt△ABC中，AC=，AB=10，则cos∠CAB＝= EQ \f(,2)，∴∠CAB ＝45°
同理在Rt△ADB中，∠DAB＝30°.
∴∠CAD=45°－30°＝15°
同样根据图2，我们可得: ∠CAD=45°+30°＝75°
题二：
答案：C
解析：如图(1),
∵AB＝10
∴OA＝OC＝OB＝5
∵直径AB，AB⊥CD
∴CE＝ED .
∵CD＝8，∴CE＝4
连结OC，在Rt△COE中，
由勾股定理得，OE＝
∵OB＝5 ∴BE＝5－3＝2 ∴BE＝2
如图(2),
∵AB＝10,∴OA＝OC＝OB＝5
∵直径AB ，AB⊥CD
∴CE＝ED .
∵CD＝8，∴CE＝4
连结OC，在Rt△COE中，
由勾股定理得， OE＝
∵OB＝5 ∴BE＝OE+OB＝3+5＝8 答案是C
金题精讲
题一：
答案：4
解析：连接OC、OD
∵∠CBD＝30°
∴∠COD＝60°
∵OC＝OD
∴△COD是等边三角形
∴CD＝OC＝OB＝4
题二：
答案：24.
解析：∵直线y=kx﹣3k+4必过点D（3，4），
∴最短的弦CD是过点D且与该圆直径垂直的弦，
∵点D的坐标是（3，4），
∴OD==5，
∵以原点O为圆心的圆过点A（13，0），
∴圆的半径为13，
∴OB=13，
∴BD＝==12，
∵OD⊥BC，∴BC=2BD=12×2=24，
∴弦BC的长的最小值为24.
满分冲刺
题一：
答案： 或
解析：过点M作MC⊥l垂足为C
∵△MAB是等腰直角三角形
∴MA＝MB
∴∠BAM＝∠ABM＝45°
∵MC⊥直线l
∴∠BAM＝∠CMA＝45°
∴AC＝CM
Rt△ACM中
∵AC 2＋CM2＝AM 2
∵2 CM2＝4即CM＝
Rt△OCM中 ∠COM＝30°
∴CM＝OC
∴OM＝2CM＝2
∴M（2，0）
根据对称性，在负半轴的点M （－2，0）也满足条件，故答案是 或
题二：
答案：（1）；（2）
解析：（1）解：连结，则，
．
．
．
（2）答：与之间的关系是．
证一：连结，则．
．
．
．
．
证二：连结，则．
．
过作于点，则平分．
．
在中，，
．
证三：延长交⊙O于，连结，
则．
是⊙O的直径，．
，
．
C
B
A
O
B
A
C
D
E
·
O
(1)
A
B
C
D
E
·
O
(2)
C
B
A
O
C
B
A
O
D
C
B
A
O
E学科：数学
专题：圆的有关概念与性质
主讲教师：黄炜 北京四中数学教师
例题
题一：
题面：一条弦分圆周为5:7，这条弦所对的圆周角为( )
A.75° B.105° C.60°或120° D.75°或105°
题二：
题面：在半径为13的⊙O中，弦AB∥CD，弦AB和CD的距离为7，若AB=24，则CD的长为（ ）
A.10 B. C.10或 D.10或
金题精讲
题一：
题面：如图，在⊙O中，弦BC＝1，点A是圆上一点，且∠BAC＝30°，则⊙O的半径是( )
A．1 B．2 C． D．
题二：
题面：如图，是⊙O的直径，，点在⊙O上，，为弧AN的中点，是直径上一动点，则的最小值为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
满分冲刺
题一：
题面： 如图，圆心在y轴的负半轴上，半径为5的⊙B与y轴的正半轴交于点A(0,1)，过点P(0,-7)的直线l与⊙B相交于C、D两点，则弦CD的长所有可能的整数值有（ ）
A．1个 B.2个 C.3个 D.4个
题二：
题面：如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点，若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为
课后练习详解
例题
题一：
答案：D
解析：弦所对的圆心角度数是唯一的，但是弦两侧都有不同度数的圆周角，所以本题一定有两解。这条弦将圆周分成了150°和210°两部分，因此这两个圆周角分别为105°和75°，故答案为D。
题二：
答案：D
解析：如图所示，连接OA，OC．作直线EF⊥CD于E，交AB于F，则EF⊥AB．∵OF⊥AB，OE⊥CD，∴AF=AB=12，CE=CD．
在Rt△AOF中，根据勾股定理，得OF==5
①当AB和CD在圆心的两侧时，则OE = EF－OF=2.
在Rt△COE据勾股定理，得CE==，CD=2；
②当AB和CD在圆心的同侧时，则OE = EF +OF=12．
在Rt△COE据勾股定理，得CE==5，CD=10.
则CD的长为10或．答案为D.
金题精讲
题一：
答案：A
解析：解法一：连接OB，OC．
∵∠BAC＝30°，∴∠BOC＝2∠BAC＝60°，
∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，
∴OB＝OC＝BC ＝1．
故选A．
解法二：作直径CD，连接BD．
则∠CBD＝90°，
∵∠BDC＝∠BAC＝30°，∴CD＝2BC＝2，
∴OC＝CD＝1．故选A．
题二：
答案：B
解析：作点A 关于MN的对称点A1 ，连结BA1交直径MN于P，这个P点就是使有最小值的P点。＝PA1+PB＝A1B.
连结BO交圆O于点C，连结CA1，∴∠CA1B=90°，
在Rt△A1BC中，∠C=30°+15°=45°，
A1B＝BC×sin45°＝.
因此答案为B.
解析：本题思路可以如下：求的最小值考虑轴对称作辅助线后需求BA1的长构造直角三角形解直角三角形求出BA1。按照思路各个击破，得到正确答案.本题涉及的知识点很多，有轴对称、解直角三角形，圆周角定理等，需要较强的综合能力。
满分冲刺
题一：
答案：C
解析：半径为5的⊙B与y轴的正半轴交于点A(0,1)，可知OB=4，所以点B(0,－4)。因为P(0,－7)，BP=3.当弦CD⊥AB时，弦CD最短.由题意可求连接BC，由勾股定理得，由垂径定理可知CD=2CP=8;当弦CD是⊙B的直径时，CD=10.所以8≤CD≤10，所以CD的整数值为:8、9、10共三个。
题二：
答案：10.5
解析：显然，当AC(或BC)为⊙O的直径时，如图所示，GE+FH的值最大。
∵AC为⊙O的直径，∴∠ABC为直角，AC=14，∠ACB=300，∴AB=7.
点E、F分别是AC、BC的中点，则EF=AB=×7=3.5
GH经过⊙O直径AC的中点，则GH也是⊙O的直径，∴GH=14，
∴GE+FH=GH-EF=14-3.5=10.5
M
O
P
N
B
A
D
