学科：数学
专题：一元二次方程的应用
主讲教师：黄炜 北京四中数学教师
重难点易错点解析
题一：
题面：常德市工业走廊南起汉寿县太子庙镇，北至桃源县盘塘镇创元工业园．在这一走廊内的工业企业2008年完成工业总产值440亿元，如果要在2010年达到743.6亿元，那么2008年到2010年的工业总产值年平均增长率是多少？《常德工业走廊建设发展规划纲要（草案）》确定2012年走廊内工业总产值要达到1200亿元，若继续保持上面的增长率，该目标是否可以完成？
金题精讲
题一：
题面：王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税）
满分冲刺
题一：
题面：益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（350－10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？
[]
题二：
题面：如图所示，我海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C，小岛D恰好位于AC的中点，岛上有一补给码头；小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向，一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航．一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送往军舰.
（1）小岛D和小岛F相距多少海里？
（2）已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？（精确到0.1海里）
题三：[]
题面：如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.
（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？
（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.
课后练习详解
重难点易错点解析
题一：[]
答案：2008年到2010年的工业总产值年平均增长率为 30%，若继续保持上面的增长率，
在2012年将达到1200亿元的目标．[]
详解：设2008年到2010年的年平均增长率为 x，则
化简得 ： ， （舍去）
答：2008年到2010年的工业总产值年平均增长率为30%，若继续保持上面的增长率，
在2012年将达到1200亿元的目标．
金题精讲
题一：
答案：2.04%.
详解：设第一次存款时的年利率为x.
则根据题意，得[1000(1+x)－500](1+0.9x)＝530.整理，得90x2+145x－3＝0.
解这个方程，得x1≈0.0204＝2.04%，x2≈－1.63.由于存款利率不能为负数，所以将x2≈－1.63舍去.
答：一次存款的年利率约是2.04%.
满分冲刺
题一：
答案：100件，25元.
详解：根据题意，得(a－21)(350－10a)＝400，整理，得a2－56a+775＝0，
解这个方程，得a1＝25，a2＝31.
因为21×(1+20%)＝25.2，所以a2=31不合题意，舍去.
所以350－10a＝350－10×25＝100（件）.
答：需要进货100件，每件商品应定价25元.
题二：
答案：（1）100海里；（2）118.4海里.
详解：（1）F位于D的正南方向，则DF⊥BC.因为AB⊥BC，D为AC的中点，所以DF＝AB＝100海里，所以，小岛D与小岛F相距100海里.
（2）设相遇时补给船航行了x海里，那么DE＝x海里，AB+BE＝2x海里，EF＝AB+BC－(AB+BE)－CF＝(300－2x)海里.
在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程x2＝1002+(300－2x)2，整理，得3x2－1200x+100000＝0.解这个方程，得x1＝200－≈118.4，x2＝200+（不合题意，舍去）.
所以，相遇时补给船大约航行了118.4海里.
题三：
答案：2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2；不存在使△PCQ的面积等于△ABC面积一半的时刻.
详解： 因为∠C＝90°，所以AB＝＝＝10（cm）.
（1）设xs后，可使△PCQ的面积为8cm2，所以 AP＝xcm，PC＝(6－x)cm，CQ＝2xcm.
则根据题意，得·(6－x)·2x＝8.整理，得x2－6x+8＝0，解这个方程，得x1＝2，x2＝4.
所以P、Q同时出发，2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2.
（2）设点P出发x秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的一半.
则根据题意，得(6－x)·2x＝××6×8.整理，得x2－6x+12＝0.
由于此方程没有实数根，所以不存在使△PCQ的面积等于△ABC面积一半的时刻.学科：数学
专题：一元二次方程的应用
主讲教师：黄炜 北京四中数学教师
重难点易错点解析
分清当月产量和总产量。
某工厂一月份产值是5万元，二、三月份的月平均增长率为x．
（1） 若三月份的产值是11.25万元， 则可列方程为___________________；
（2） 若前三月份的总产值是11.25万元， 则可列方程为___________________.
金题精讲
题一
题面：某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用作购物，剩下的1000元及所得利息又全部按一年定期存入银行．若银行存款的利息不变，到期后得本金和利息共1320元．求这种存款方式的年利率(问题中不考虑利息税)．
列表法，应用一元二次方程的解决实际问题
满分冲刺
题一
题面：某商场销售一批衬衫，现在平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售量，增加盈利，减少库存，商场决定采用降价措施，经调查发现，如果每件衬衫的售价降低1元，那么商场平均每天可多售出2件．商场若要平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元
应用一元二次方程的解决实际问题
题二
题面：如图, 一艘轮船以20 海里/时的速度由西向东航行, 途中接到台风警报, 台风中心正以40海里/时的速度由南向北移动, 距台风中心海里的圆形区域(包括边界)都属于台风区. 当轮船到A处时, 测得台风中心位于点A正南方向的B处, 且AB = 100 海里. 若这艘轮船从A处仍按原速度继续航行, 在途中会不会遇到台风 若会, 试求轮船最初遇到台风的时间; 若不会, 请说明理由.
数形结合，应用一元二次方程的解决实际问题
题三
题面：如图，菱形ABCD中，AC，BD交于O，AC＝8m，BD＝6m，动点M从A出发沿AC方向以2m/s匀速直线运动到C，动点N从B出发沿BD方向以1m/s匀速直线运动到D，若M，N同时出发，问出发后几秒钟时，ΔMON的面积为
数形结合，分类讨论
讲义参考答案
重难点易错点解析
题一
答案：（1）5(1+x)2=11.25 (2)5+5(1+x)+5(1+x)2=11.25
金题精讲
题一
答案：10％．
满分冲刺
题一
答案：20元．
题二
答案：1小时.
题三
答案：设出发后x秒时，
(1)当x<2时，点M在线段AO上，点N在线段BO上．
解得
(2)当2解得
(3)当3解得
综上所述，出发后或时，△MON的面积为
A
东
B
北
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专题：一元二次方程的应用
主讲教师：黄炜 北京四中数学教师
重难点易错点解析
题一：
题面：某企业2006年盈利1500万元，2008年克服全球金融危机的不利影响，仍实现盈利2160万元．从2006年到2008年，如果该企业每年盈利的年增长率相同，求：该企业2007年盈利多少万元？[]
[]
金题精讲
题一：
题面：小明将勤工俭学挣得的100元钱按一年定期存入银行，到期后取出50元用来购买学习用品，剩下的50元和应得的利息又全部按一年定期存入．若存款的年利率保持不变，这样到期后可得本金和利息共66元，求这种存款的年利率．
满分冲刺
题一：
题面：某种服装，平均每天可以销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？
题二：
题面：在某岛A的正东方向有台风，且台风中心B距离小岛Akm，台风中心正以30km/h的速度向西北方向移动，距离中心50公里以内圆形区域（包括边界）都受影响，则小岛A受到台风影响的时间为________。
题三：
题面：如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=12cm，点D从点A开始沿边AB以2cm/s的速度向点B移动，移动过程中始终保持DE∥AC，则点D出发几秒后△DBE的面积为50cm2？
课后练习详解
重难点易错点解析
题一：
答案：2007年该企业盈利1800万元．
详解：设每年盈利的年增长率为，根据题意，得．
解得（不合题意，舍去）．
．
答：2007年该企业盈利1800万元．
金题精讲
题一：
答案：10%．
详解：设存款利率为x，则第一年提取50元后存款为[100×（1+x） 50] 元，
根据题意第二年的存款为66元，可列方程为：[100×（1+x） 50]×（1+x）=66，
解得x=0.1=10%或x= 1.6（舍去）．
答：这种存款的年利率为10%．
满分冲刺
题一：[]
答案：每件降价4元
详解：设每件降价为x元，则可多售出5x件，每件服装盈利(44 x)元，
依题意x≤10∴(44 x)(20+5x)=1600
展开后化简得：x 44x+144=0即(x 36)(x 4)=0∴x=4或x=36(舍)[]
即每件降价4元
题二：[]
答案：2小时.
详解：假设D、E为刚好受影响的点，
过A作AC⊥BE，连接AE、AD，可得出AE=AD=50公里，
∵BE为西北方向，
∴∠ABE=45°，又∠ACB=90°，AB=40公里，
∴AC=BC=40公里，
在Rt△ADC中，AD=50公里，AC=40公里，
根据勾股定理得：DC==30公里，
∴ED=2DC=60公里，又台风速度为30公里/时，
则小岛A受到台风影响的时间为60÷30=2（小时）．
题三：
答案：1秒后.
详解：设点D出发x秒后△DBE的面积为50cm2，根据题意，得
（12 2x）2=50解之，得
x1=1，x2=11经检验x2=11不符合题意，舍去．
∴x=1．
答：点D出发1秒后，△DBE的面积为50cm2．
