学科：数学
专题：一元二次方程的判别式
主讲教师：黄炜 北京四中数学教师
重难点易错点解析
一元二次方程有两个相等实根方程只有一个实根。
题一
k为何值时，关于x的方程kx2－6x＋9=0有：(1) 相等的两实根；(2) 只有一个实根。
金题精讲
题一
题面：m为何值时，关于x的方程x2－2x－m=0有：(1)不等的两实根；(2)相等的两实根；(3)没有实根．
由根的情况求字母取值。
满分冲刺
题一
题面：m为何值时，关于x的方程(m－1)x2＋2mx＋m＋3＝0．
(1) 有两个实根； (2)只有一个实根；(3)有实根．
由根的情况求字母取值
题二
题面：已知关于x的两个一元二次方程：
方程： ①
方程： ②
(1)若方程①、②都有实数根，求k的最小整数值；
(2)若方程①和②中只有一个方程有实数根；则方程①，②中没有实数根的方程是______(填方程的序号)，并说明理由；
(3)在(2)的条件下，若k为正整数，解出有实数根的方程的根．
判别式、代数证明
题三
题面：若a，b，c，d都是实数，且ab=2(c＋d)，求证：关于x的方程x2＋ax＋c=0，x2＋bx＋d=0中至少有一个方程有实数根．
判别式、代数证明
讲义参考答案
重难点易错点解析
题一
答案：（1）k＝1 （2）k＝0
金题精讲
题一
答案：（1）m>1 （2）m=－1 (3)m<1
满分冲刺
题一
答案：解：(1) 由题意得m≠1且b2－4ac≥0．
解得且m≠1．
∴当且m≠1时，方程有两个实数根．
(2)由题意，方程为一元一次方程．此时m－1＝0．解得m＝1．
∴当m＝1时，方程为2x＋4＝0，方程只有一个实数根．
(3)①当m＝1时，方程为2x＋4＝0，方程有一个实数根；
②当m≠1时，由题意，要使方程有实根，
只需b2－4ac＝(2m)2－4(m－1)(m＋3)＝－8m＋12≥0．解得．
∴当且时，方程有两个实数根．
综上所述，时，方程有实根．
题二
答案：(1)7；(2)①； 2－ 1＝（k－4)2＋4>0，若方程①、②只有一个有实数根，则 2≥0＞ 1；(3)k＝5时，方程②的根为k＝6时，方程②的根为x1＝
题三
答案：设两个方程的判别式分别为 1， 2，则 1＝a2－4c， 2＝b2－4d．
∴ 1＋ 2＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0．
从而 1， 2中至少有一个非负数，即两个方程中至少有一个方程有实数根．
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第 - 3 - 页学科：数学
专题：一元二次方程的判别式
主讲教师：黄炜 北京四中数学教师
重难点易错点解析
题一：
题面：若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
金题精讲
题一：
题面：若关于x的一元二次方程x2 4x + 2k = 0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A、k≥2 B、k≤2 C、k＞ 2 D、k＜ 2
满分冲刺
题一：
题面：方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ）．
A． k≥1 B． k≤1 C． k＞1 D． k＜1
题二：
题面：关于x的一元二次方程x2 3x k=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）当k取最小整数值时，是关于k的方程k2 mk 3=0的一个根，求方程的另一个根．
[]
题三：
题面：关于x的方程的根的情况是 ．
[]
课后练习详解
重难点易错点解析
题一：
答案：B
详解：由一元二次方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的取值范围：
∵一元二次方程有实数解，∴△=b2－4ac=22－4m≥0，解得：m≤1．
∴m的取值范围是m≤1．故选B．
金题精讲
题一：
答案：B
详解：由于已知方程有两个实数根，根据一元二次方程的根与判别式的关系，建立关于k的不等式，解不等式即可求出k的取值范围：∵a＝1，b＝ 4，c＝2k，且方程有两个实数根，∴△＝b2 4ac＝16 8k≥0，解得，k≤2．故选B．
满分冲刺
题一：
答案：D．
详解：当k=1时，原方程不成立，故k≠1，
当k≠1时，方程为一元二次方程。
∵此方程有两个实数根，
∴，解得：k≤1，
又∵，∴k≤1，
综上k的取值范围是k＜1．故选D．
题二：
答案：（1）k＞ ；（2）．
详解：（1）x的一元二次方程x2-3x k=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2 4ac=9+4k＞0，解得k＞ ．
（2）∵k＞ ，
∴最小的整数为 2，
∴将k= 2代入关于k的方程k2 mk 3=0中得：4+2m 3=0
解得：m= ∴方程k2 mk 3=0为：2k2+k 6=0
设另一根为x，则根据根与系数的关系得： 2x=．
解得：x=，故方程的另一根为．
题三：[]
答案：无实根．[]
详解： 原方程无实根．学科：数学
专题：一元二次方程的判别式
主讲教师：黄炜 北京四中数学教师
重难点易错点解析
题一：
题面：如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ）
A．k＜ B．k＜且k≠0 C． ≤k＜ D． ≤k＜且k≠0
[][]
金题精讲
题一：
题面：已知关于x的一元二次方程(a l)x2 2x+l=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A．a＞2 B．a＜2 C．a＜2且a≠l D．a＜ 2
满分冲刺
题一：
题面：当 时，方程有实数根．
题二：
题面：当m是什么整数时，关于x的方程与的根都是整数
题三：
题面：当是实数时，求证：方程必有两个实数根，并求两根相等的条件．
课后练习详解
重难点易错点解析
题一：
答案：D
详解：由题意，根据一元二次方程二次项系数不为0定义知： k≠0；根据二次根式被开方数非负数的条件得：2k+1≥0；根据方程有两个不相等的实数根，得△=2k+1 4k＞0.三者联立，解得 ≤k＜且k≠0.
故选D.
金题精讲
题一：
答案：C
详解：利用一元二次方程根的判别式列不等式，解不等式求出a的取值范围，结合一元二次方程定义作出判断：∵由△=4 4(a 1)=8 4a＞0解得：a＜2.
又根据一元二次方程二次顶系数不为0的定义，a 1≠0，∴a＜2且a≠1.故选C.
满分冲刺
题一：
答案：
详解：方程有实数根．
题二：
答案：
详解：一元二次方程有整数根
①
又方程有整数根
由得：为整数
当m=0时，代入第二个方程，得不到整数解，不合题意，舍去；
当时，方程为其根为[]
方程为其根为
当时，方程为其根不是整数；
综上，当时，方程与方程的根都是整数．
题三：
答案：且
详解：
方程必有两个实数根，
当方程两根相等时，且且
原方程两根相等的条件是且
