学科：数学
专题：含参一元二次方程的解法
主讲教师：黄炜 北京四中数学教师
[]
重难点易错点解析
题一：
题面：方程(x+m)2=n2的根是 .
金题精讲
题一：
题面：关于x的一元二次方程x2 3mx+2m2 mn n2=0(m＞0，n＞0)的解是x1=2m+n，x2=m-n ．[]
满分冲刺[]
题一：
题面：解关于x的方程：
题二：
题面：解关于x的方程：(m 1)x2+2mx+m+3=0．
题三：
题面：如果方程的两个根是，那么请根据以上结论，解决下列问题：已知a、b、c满足，求正数的最小值.
课后练习详解
重难点易错点解析
题一：
答案：x=±n m
详解：∵(x+m)2=n2，∴x+m=±n，∴x=±n m.
金题精讲
题一：
答案：x1=2m+n，x2=m n
详解：∵b2 4ac===(m+2n)2，
又m＞0，n＞0
∴，
∴x1=2m+n，x2=m n．
满分冲刺
题一：
答案：
详解：(1)原方程整理为
或
题二：
答案： 当m=1时，x= 2；
当m≠1时，①△＞0时，即4m2 4（m 1）（m+3）＞0，m＜且m≠1时，x=；
②△=0时，即m=时， x1=x2= 3；
③△＜0时，即m＞时，方程无解
详解：当m 1=0，即m=1时，方程为一元一次方程，解得：x= 2；
当m 1≠0，即m≠1时，方程为一元二次方程，
①△＞0时，即4m2 4(m 1)(m+3)＞0，
解得：m＜，此时x=；
②△=0时，即m=时，此时x1=x2= 3；
③△＜0时，即m＞时，方程无解．
题三：
答案：正数的最小值为4。
详解：∵且， ∴。
∴是一元二次方程的两个根，
化简，得。
又∵此方程必有实数根，∴此方程的△，即，。
又∵ ∴。 ∴。
∴正数的最小值为4．学科：数学
专题：含参一元二次方程的解法
主讲教师：黄炜 北京四中数学教师
重难点易错点解析
题一：
题面： ≤0当n≤0时，方程（x p）2+n=0为一元二次方程，其解为 ．
[]
金题精讲
题一：
题面：用因式分解法解关于x的一元二次方程x2 mx 6m2=0的根是x1=3m，x2=-2m ．
满分冲刺
题一：
题面：解关于x的方程：
题二：
题面：解方程：mx2 3=x2+2（m≠1）．
题三：
题面：已知关于x的一元二次方程x2+2x a=0有两个相等的实数根，则a的值是（ ）
A． 1 B． 1 C． D．
课后练习详解
重难点易错点解析
题一：
答案：x=±+p．
详解：当n≤0时，方程（x p）2+n=0为一元二次方程，（x p）2+n=0
移项得：（x p）2=-n，两边直接开平方得：x p=±，
x=±+p．[]
金题精讲
题一：
答案：x1=3m，x2= 2m．[]
详解：∵（x 3m）（x+2m）=0，∴x 3m=0或x+2m=0，∴x1=3m，x2= 2m．[]
满分冲刺
题一：
答案：
详解：原方程化为或
题二：
答案：当m＜1时，无解；
当m＞1时，x ＝
详解：移项得：mx2 x2=2+3，化简得：（m 1）x2=5，
∵m≠1，∴x2＝，
当m 1＜0时，x2＝＜0，
∴原方程无实数解，
当m 1＞0时，x2＝＞0，
∴x ＝，
所以m＞1时原方程的解是x ＝，m＜1时原方程无实数解．
题三：
答案：B
详解：∵关于x的一元二次方程x2+2x a=0有两个相等的实数根，∴△=22+4a=0，解得a= 1．
故选B．学科：数学
专题：含参一元二次方程的解法
主讲教师：黄炜 北京四中数学教师
重难点易错点解析
当系数中含有字母时，注意有实解的判断。
题一
题面：(x－m)2=n．(n为正数)
金题精讲
题一
题面：解关于x的一元二次方程
1. x2＋2mx=n．(n＋m2≥0)．
2. x2－2mx＋m2－n2=0．
3.
4. abx2－(a2＋b2)x＋ab=0．(ab≠0)
解含参的一元二次方程：配方法、因式分解
满分冲刺
题一
题面：解关于x的一元二次方程
1.
2.
3.
解含参的一元二次方程：因式分解
题二
题面：解关于x的方程kx2－(k＋1)x＋1=0．
解含参的方程，分类讨论。
题三
题面：已知关于x的方程x2－2ax－a＋2b＝0，其中a，b为实数．
(1)若此方程有一个根为2a(a＜0)，判断a与b的大小关系并说明理由；
(2)若对于任何实数a，此方程都有实数根，求b的取值范围．
一元二次方程的解，判别式。
讲义参考答案
重难点易错点解析
题一
答案：
金题精讲
题一
答案：1.
2. x1＝m＋n，x2＝m－n.
3.
4.
满分冲刺
题一
答案：(1) (2)
(3)当b=0时，；当b0时，无实根。
题二
答案：k＝0时，x＝1；k≠0时，
题三
答案：解：(1)∵方程x2－2ax－a＋2b＝0有一个根为2a，∴4a2－4a2－a＋2b＝0．
整理，得．
∵，∴，即
(2)△＝4a2－4(－a＋2b)＝4a2＋4a－8b．
∵对于任何实数a，此方程都有实数根，
∴对于任何实数a，都有4a2＋4a－8b≥0，即a2＋a－2b≥0．
∴对于任何实数a，都有
∵
当时，有最小值．
∴b的取值范围是
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