学科：数学
专题：几何变换
主讲教师：黄炜 北京四中数学教师
重难点易错点解析
在利用轴对称求解最短距离时，必须分清对称轴是谁.
题面：如图，在平面直角坐标系中有四个点A(－6，3)，B(－2，5)，C(0，m)，D(n，0)，当四边形ABCD的周长最短时，求m，n的值．
金题精讲
题一
题面：如图1，已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A，C重合)，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F．
图1
(1)求证：BP＝DP；
(2)如图2，若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，连接BE，DF．探究BE与DF的位置关系和数量关系，并证明你的结论．
图2
满分冲刺
题一
题面：如图1，在矩形中，.将射线绕着点顺时针旋转≤得到射线，点与点关于直线对称.若，图中某点到点的距离为，表示与的函数关系的图象如图2所示，则这个点为图1中的（ ）
A.点 B. 点 C. 点 D. 点
图1 图2
题二
题面：如图，在正方形ABCD中，E是CD边上的一个动点，以EC为一边向正方形ABCD外作正方形ECFG，连接DF交BE的延长线于H．若正方形ABCD的边长为1，则点E由C运动到D时，点H所经过的路径长为（ ）
A． B． C． D．
讲义参考答案
重难点易错点解析
答案：m＝3，n＝－3
金题精讲
题一
答案：(1)略；(2) BE，DF互相垂直且相等，证明略
满分冲刺
题一
答案：C
题二
答案：B
PAGE
第 - 2 - 页学科：数学
专题：几何变换
主讲教师：黄炜 北京四中数学教师
重难点易错点解析
题一：
题面：平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(，1)，将OA绕原点按逆时针方向旋转30°得OB，则点B的坐标为（ ）
A.(1，) B.( －1，) C.(0，2) D.(2，0)
金题精讲
题一：
题面：如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将△AEF绕顶点A旋转，在旋转过程中，当BE=DF时，∠BAE的大小可以是 ．
满分冲刺
题一：
题面：如图，两个边长相等的正方形ABCD和EFGH，正方形EFGH的顶点E固定在正方形ABCD的对称中心位置，正方形EFGH绕点E顺时针方向旋转，设它们重叠部分的面积为S，旋转的角度为θ，S与θ的函数关系的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
题二：
题面：以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB的最小值是 ．
课后练习详解
重难点易错点解析
题一：
答案：A.
详解：如图，作AC⊥x轴于C点，BD⊥y轴于D点，
∵点A的坐标为（，1），∴AC=1，OC=.
∴OA=.∴∠AOC=30°.
∵OA绕原点按逆时针方向旋转30°得OB，
∴∠AOB=30°，OA=OB.∴∠BOD=30°.
∴Rt△OAC≌Rt△OBD（AAS）.
∴DB=AC=1，OD=OC=.∴B点坐标为（1，）.故选A.
金题精讲
题一：
答案：15°或165°.
详解：正三角形AEF可以在正方形的内部也可以在正方形的外部，所以要分两种情况分别求解：
①当正三角形AEF在正方形ABCD的内部时，如图1，
∵正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，
∴AB=AD，AE=AF.
∵当BE=DF时，在△ABE和△ADF中，AB=AD，BE=DF，AE=AF，
∴△ABE≌△ADF（SSS）.∴∠BAE=∠FAD.
∵∠EAF=60°，∴∠BAE+∠FAD=30°.∴∠BAE=∠FAD=15°.
②当正三角形AEF在正方形ABCD的外部，顺时针旋转小于180°时，如图2，
同上可得△ABE≌△ADF（SSS）.∴∠BAE=∠FAD.
∵∠EAF=60°，∴∠BAF=∠DAE.
∵90°＋60°＋∠BAF＋∠DAE=360°，∴∠BAF=∠DAE=105°.
∴∠BAE=∠FAD=165°.
③当正三角形AEF在正方形ABCD的外部，顺时针旋转大于180°时，如图3，
同上可得△ABE≌△ADF（SSS）. ∴∠BAE=∠FAD.
∵∠EAF=60°，∠BAE=90°，
∴90°＋∠DAE=60°＋∠DAE，这是不可能的.
∴此时不存在BE=DF的情况.
综上所述，在旋转过程中，当BE=DF时，∠BAE的大小可以是15°或165°.
满分冲刺
题一：
答案：B.
详解：如图，过点E作EM⊥BC于点M，EN⊥AB于点N，
∵点E是正方形的对称中心，∴EN=EM，EMBN是正方形.
由旋转的性质可得∠NEK=∠MEL，
在Rt△ENK和Rt△EML中，
∠NEK=∠MEL，EN=EM，∠ENK=∠EML，
∴△ENK≌△EML（ASA）.
∴阴影部分的面积始终等于正方形面积的，即它们重叠部分的面积S不因旋转的角度θ的改变而改变.故选B.
题二：
答案：.
详解：∵四边形CDEF是正方形，∴∠OCD=∠ODB=45°，∠COD=90°，OC=OD.
∵AO⊥OB，∴∠AOB=90°.
∴∠CAO+∠AOD=90°，∠AOD+∠DOB=90°，∴∠COA=∠DOB.
∵在△COA和△DOB中，∠OCA=∠ODB，OC=OD，∠COA=∠DOB，
∴△COA≌△DOB（ASA）.∴OA=OB.
∵∠AOB=90°，∴△AOB是等腰直角三角形.
由勾股定理得：.
∴要使AB最小，只要OA取最小值即可.
根据垂线段最短的性质，当OA⊥CD时，OA最小.
∵四边形CDEF是正方形，∴FC⊥CD，OD=OF.∴CA=DA，∴OA=CF=1.
∴AB=.学科：数学
专题：几何变换
主讲教师：黄炜 北京四中数学教师
重难点易错点解析
题一：
题面：如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A旋转90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是 ．
金题精讲
题一：
题面：如图，O是正△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：
①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；
②点O与O′的距离为4；
③∠AOB=150°；
④；
⑤．
其中正确的结论是（ ）
A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②③
满分冲刺
题一：
题面：如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME=MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为（ ）
A B C D
题二：
题面：点P是正方形ABCD边AB上一点（不与A、B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针旋转90°，得线段PE，连接BE，则∠CBE等于（ ）
A．75° B．60° C．45° D．30°
课后练习详解
重难点易错点解析
题一：
答案：（﹣1，﹣2）或（5，2）.
详解：当y=0时，，解得x=2；当x=0时，y=3.
∴点A（2，0），B（0，3）.∴OA=2，OB=3，
根据旋转不变性可得△AOB≌△AO′B′，
∴AO′=AO=2，O′B′=OB=3，
①如果△AOB是逆时针旋转90°，则点B′（﹣1，﹣2），
②如果△AOB是顺时针旋转90°，则点B′（5，2）.
综上，点B′的坐标是（﹣1，﹣2）或（5，2）.
金题精讲
题一：
答案：A.
详解：∵正△ABC，∴AB=CB，∠ABC=600.
∵线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，∴BO=BO′，∠O′AO=600.
∴∠O′BA=600－∠ABO=∠OBA.∴△BO′A≌△BOC.
∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到.故结论①正确.
连接OO′，
∵BO=BO′，∠O′AO=600，∴△OBO′是等边三角形.∴OO′=OB=4.故结论②正确.
∵在△AOO′中，三边长为O′A=OC=5，OO′=OB=4，OA=3，是一组勾股数，
∴△AOO′是直角三角形.
∴∠AOB=∠AOO′＋∠O′OB =900＋600=150°.故结论③正确.
.故结论④错误.
如图所示，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，
点O旋转至O″点．
易知△AOO″是边长为3的等边三角形，△COO″是边长为3、4、5的
直角三角形.
则.
故结论⑤正确.
综上所述，正确的结论为：①②③⑤.故选A.
满分冲刺
题一：
答案：D.
详解：利用勾股定理求出CM的长，即ME的长，有DM=DE，所以可以求出DE，从而得到DG的长：∵四边形ABCD是正方形，M为边AD的中点，∴DM=DC=1.
∴.∴ME=MC=.∴ED=EM－DM=.
∵四边形EDGF是正方形，∴DG=DE=.故选D.
题二：
答案：C.
详解：过点E作EF⊥AF，交AB的延长线于点F，则∠F=90°，
∵四边形ABCD为正方形，∴AD=AB，∠A=∠ABC=90°.∴∠ADP+∠APD=90°.
由旋转可得：PD=PE，∠DPE=90°，∴∠APD+∠EPF=90°.
∴∠ADP=∠EPF.
在△APD和△FEP中，∵∠ADP=∠EPF，∠A=∠F，PD=PE，
∴△APD≌△FEP（AAS）.∴AP=EF，AD=PF.
又∵AD=AB，∴PF=AB，即AP+PB=PB+BF.∴AP=BF.∴BF=EF
又∵∠F=90°，∴△BEF为等腰直角三角形.∴∠EBF=45°.
又∵∠CBF=90°，∴∠CBE=45°.故选C.
