【北京市特级教师满分冲刺精讲】2014届人教版九年级数学专题讲解+课后训练:相似三角形有关的综合问题(6份)

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名称 【北京市特级教师满分冲刺精讲】2014届人教版九年级数学专题讲解+课后训练:相似三角形有关的综合问题(6份)
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资源类型 教案
版本资源 人教版(新课程标准)
科目 数学
更新时间 2014-11-06 12:30:43

文档简介

学科:数学
专题:相似三角形有关的综合问题1
主讲教师:黄炜 北京四中数学教师
重难点易错点解析
题面:己知在平行四边形ABCD中,AD=6,点E在直线AD上,且DE=3,连接BE与对角线AC相交于点M,则= .
金题精讲
题面:如图,△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的高,∠CAB的角平分线分别交BC、CD于点E、F;过点E作EG⊥AB,垂足为G.
(1)求证:CF=CE;
(2)求证:CE:BE=AC:AB;
(3)若AB=10,AC=6,求CF的长.
满分冲刺
题面:如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的高,ED⊥DF,且DE、DF分别交AC、BC于E、F.求证:.
课后练习详解
重难点易错点解析
答案:或.
详解:分两种情况:
(1)点E在线段AD上时,△AEM∽△CBM,则;
(2)点E在线段AD的延长线上时,△AME∽△CMB,则.
金题精讲
答案:(1)CF=CE;(2)CE:BE=AC:AB ;(3)3.
详解:(1)∵AE平分∠CAB,∠ACB=90°,EG⊥AB
∴EG=CE
∴△ACE≌△AGE
∴∠AEC=∠AEG
∵CD⊥AB,EG⊥AB
∴CD∥EG
∴∠GEF=∠CFE
∴∠CEF=∠CFE
∴CF=CE
(2)证明:∵∠ACB=90°,EG⊥AB,∠B=∠B
∴△ACB∽△EGB
∴AC:AB=EG:EB
∵EG=CE
∴CE:BE=AC:AB
(3)解:∵∠ACB=90°,AB=10,AC=6
∴CB=8
∵EC:EB=AC:AB=3:5
∴EC=3
∴CF=EC=3.
满分冲刺
答案:.
详解:∵∠ACB=90°,CD⊥AB,
∴∠FCD+∠ACD=∠A+∠ACD=90°,
∴∠FCD=∠A,
同理可证∠CDF=∠ADE,
∴△ADE∽△CDF,
∴.学科:数学
专题:相似三角形有关的综合问题2
主讲教师:黄炜 北京四中数学教师
金题精讲
题一:
题面:在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax2+bx 2经过(2,1)和(6, 5)两点.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)设此抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于C点,点P是在直线x=4右侧的抛物线上一点,过点P作PM⊥x轴,垂足为M,若以A、P、M为顶点的三角形与△OCB相似,求点P的坐标.
满分冲刺
题一:
题面:如图,在平行四边形ABCD中,AB=5,BC=10,BC边上的高AM=4,E为BC边上的一个动点(不与B、C重合).过E作直线AB的垂线,垂足为F.FE与DC的延长线相交于点G,连结DE,DF.
(1)求证:△BEF∽△CEG;
(2)当点E在线段BC上运动时,△BEF和△CEG的周长之间有什么关系?并说明你的理由.
题二:
题面:如图,已知抛物线y=x2﹣(b+1)x+(b是实数且b>2)与x轴的正半轴分别交于点A、B(点A位于点B的左侧),与y轴的正半轴交于点C.
(1)求点B的坐标,点C的坐标 (用含b的代数式表示);
(2)请你探索在第一象限内是否存在点P,使得四边形PCOB的面积等于2b,且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由;
(3)请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q,使得△QCO,△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似(全等可作相似的特殊情况)?如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.
课后练习详解
金题精讲
题一:
答案:(1)抛物线的解析式为y=x2+x 2;(2)点P的坐标为(8, 14)或(5, 2).
详解:(1)把(2,1)和(6, 5)两点坐标代入得4a+2b 2=1,36a+6b 2= 5,
解这个方程组,得 a=,b=,
故抛物线的解析式为y=x2+x 2;
(2)令y=0,得x2+x 2=0,
解这个方程,得x1=1,x2=4.
∴A(1,0),B(4,0).
令x=0,得y= 2.
∴C(0, 2).
设P(m,),
∵∠COB=∠AMP=90°,
①当时,△OCB∽△MAP.
∴,
解这个方程,得m1=8,m2=1(舍).
∴点P的坐标为(8, 14),
②当时,△OCB∽△MPA,
∴,
解这个方程,得m1=5,m2=1(舍).
∴点P的坐标为(5, 2).
∴综上,点P的坐标为(8, 14)或(5, 2).
满分冲刺
题一:
答案:(1)△BEF∽△CEG;(2)24.
详解:(1)因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB∥DG,
所以∠B=∠GCE,∠G=∠BFE,
所以△BEF∽△CEG.
(2)△BEF与△CEG的周长之和为定值.过点C作FG的平行线交直线AB于H,
因为GF⊥AB,所以四边形FHCG为矩形.
所以FH=CG,FG=CH,
因此,△BEF与△CEG的周长之和等于BC+CH+BH,
∵∠B=∠B,∠AMB=∠BHC=90°
∴△ABM∽△CBH,
∴.
由BC=10,AB=5,AM=4,
可得CH=8,
∴BH=6,
所以BC+CH+BH=24.
题二:
答案:(1)(b,0),(0,);(2)P的坐标为(,);(3)存在点Q(1,2+)或Q(1,4),使得△QCO,△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似.
详解:(1)令y=0,即y=x2﹣(b+1)x+=0,解得:x=1或b,∵b是实数且b>2,点A位于点B的左侧,∴点B的坐标为(b,0),令x=0,解得:y=,∴点C的坐标为(0,),故答案为:(b,0),(0,);(2)存在,假设存在这样的点P,使得四边形PCOB的面积等于2b,且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形.设点P的坐标为(x,y),连接OP.则S四边形POCB=S△PCO+S△POB= x+ b y=2b,∴x+4y=16.过P作PD⊥x轴,PE⊥y轴,垂足分别为D、E,∴∠PEO=∠EOD=∠ODP=90°.∴四边形PEOD是矩形.∴∠EPO=90°.∴∠EPC=∠DPB.∴△PEC≌△PDB,∴PE=PD,即x=y.由解得由△PEC≌△PDB得EC=DB,即﹣=b﹣,解得b=>2符合题意.∴P的坐标为(,);(3)假设存在这样的点Q,使得△QCO,△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似.∵∠QAB=∠AOQ+∠AQO,∴∠QAB>∠AOQ,∠QAB>∠AQO.∴要使△QOA与△QAB相似,只能∠QAO=∠BAQ=90°,即QA⊥x轴.∵b>2,∴AB>OA,∴∠QOA>∠ABQ.∴只能∠AOQ=∠AQB.此时∠OQB=90°,由QA⊥x轴知QA∥y轴.∴∠COQ=∠OQA.∴要使△QOA与△OQC相似,只能∠QCO=90°或∠OQC=90°.(I)当∠OCQ=90°时,△CQO≌△QOA.∴AQ=CO=.由AQ2=OA AB得:()2=b﹣1.解得:b=8±4.∵b>2,∴b=8+4.∴点Q的坐标是(1,2+).(II)当∠OQC=90°时,△QCO∽△QOA,∴=,即OQ2=OC AQ.又OQ2=OA OB,∴OC AQ=OA OB.即 AQ=1×b.解得:AQ=4,此时b=17>2符合题意,∴点Q的坐标是(1,4).∴综上可知,存在点Q(1,2+)或Q(1,4),使得△QCO,△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似.学科:数学
专题:相似三角形有关的综合问题1
主讲教师:黄炜 北京四中数学教师
重难点易错点解析
题面:如图,四边形ABCD是菱形,∠A=60°,直线EF经过点C,分别交AB、AD的延长线于E、F两点,连接ED、FB相交于点H.
(1)找出图中与△BEC相似的三角形,并选一对给予证明;
(2)如果菱形的边长是3,DF=2,求BE的长.
金题精讲
题面:如图,点D在△ABC的边BC上,DC=AC=BD,∠ACB的平分线CF交AD于F,点E是AB的中点,连接EF.
(1)求证:△AEF∽△ABD.
(2)若△AEF的面积为1,求△ABC的面积.
满分冲刺
题面:如图,Rt△ABC中,∠BCA=90°,AC=BC,点D是BC的中点,点F在线段AD上,DF=CD,BF交CA于E点,过点A作DA的垂线交CF的延长线于点G,下列结论:①CF2=EF BF;②AG=2DC;③AE=EF;④AF EC=EF EB.其中正确的结论有 .
课后练习详解
重难点易错点解析
答案:(1)△BEC∽△AEF;(2)BE=4.5.
详解:(1)△BEC∽△DCF;△BEC∽△AEF,
∵四边形ABCD是菱形,
∴BC∥AF,
∴△BEC∽△AEF;
(2)∵四边形ABCD是菱形,
∴BC∥AD,
∴△BCE∽△AFE,
∴,
即 ,
即BE=4.5.
金题精讲
答案:(1)△AEF∽△ABD;(2)8.
详解:(1)证明:∵DC=AC,CF是∠ACB的平分线,
∴AF=DF,
∵点E是AB的中点,
即AE=BE,
∴EF是△ABD的中位线,
∴EF∥BD,
∴△AEF∽△ABD;
(2)∵△AEF∽△ABD,
∴,
∵AE=AB,S△AEF=1,
∴S△ABD=4,
∵BD=CD,
∴S△ABC=2S△ABD=8.
满分冲刺
答案:①②④.
详解:∵DF=CD,
∴∠DCF=∠DFC,
∵AC=BC,点D是BC的中点,
∴DF=DB=DC,
∴∠DBF=∠DFB,
又∵∠DBF+∠DFB+∠DFC+∠DCF=180°,
∴∠BFC=×180°=90°,
∴CF⊥BE,
∴Rt△BCF∽Rt△CEF,
∴,
∴CF2=EF BF,故①正确;
∵AG⊥AD,
∴∠G+∠AFG=90°,
又∵∠ACG+∠DCF=90°,∠DCF=∠DFC=∠AFG,
∴∠G=∠ACG,
∴AG=AC,
∵AC=BC,
∴AG=BC,
又∵∠CBE=∠ACG,
∴∠CBE=∠G,
在△BCE和△AGF中,
∵∠GAF=∠BCE=90°,∠CBE=∠G, AG=BC,
∴△BCE≌△AGF(AAS),
∴AG=BC,
∵点D是BC的中点,
∴BC=2DC,
∴AG=2DC,故②正确;
根据角的互余关系,∠EAF+∠ADC=90°,∠AFE+∠DFC=90°,
∵tan∠ADC=2,
∴∠ADC≠60°,
∵∠DCF=∠DFC,
∴∠FDC≠∠DFC,
∴∠EAF≠∠EFA,
∴AE≠EF,故③错误;
∵∠ACB=90°,CF⊥BE,
∴△CEF∽△BCE,
∴,
∴EC2=EF EB,
∵△BCE≌△AGF(已证),
∴AF=EC,
∴AF EC=EF EB,故④正确;
所以,正确的结论有①②④.学科:数学
专题:相似三角形有关的综合问题2
主讲教师:黄炜 北京四中数学教师
金题精讲
题一:
题面:在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=1,并且经过( 2, 5)和(5, 12)两点.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)设此抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于C 点,D是线段BC上一点(不与点B、C重合),若以B、O、D为顶点的三角形与△BAC相似,求点D的坐标.
满分冲刺
题一:
题面:如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=5,BC=10,高AG=4,E为BC边上的一个动点(不与B、C重合).F是腰AB上的一点,且EF⊥AB,连接DE、DF.
(1)求证:△BEF∽△BAG;
(2)当点E在线段BC上运动时,设BE=x.△DEF的面积为y.①请你求出y和x之间的函数关系式,并写出自变量的取值范围;②求当x为何值时,y有最大(小)值.
题二:
题面:如图,Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上,O为坐标原点,A、B两点的坐标分别为(-3,0)、(0,4),抛物线经过点B,且顶点在直线上.
(1)求抛物线对应的函数关系式;
(2)若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE,点A、B、O的对应点分别是D、C、E,当四边形ABCD是菱形时,试判断点C和点D是否在该抛物线上,并说明理由;
(3)在(2)的条件下,连结BD,已知在对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小,求出P点的坐标;
(4)在(2)、(3)条件下,若点M是线段OB上的一个动点(点M与点O、B不重合),过点M作MN∥BD交x轴于点N,连结PM、PN,设OM的长为t,△PMN的面积为S,求S与t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围.S是否存在最大值?若存在,求出最大值和此时M点的坐标;若不存在,说明理由.
课后练习详解
金题精讲
题一:
答案:(1)y= x2+2x+3;(2)(,)或(1,2).
详解:(1)由题意,得,4a 2b+c= 5,25a+5b+c= 12.,
解这个方程组,得a= 1,b=2,c=3.,
∴抛物线的解析式为y= x2+2x+3.
(2)令y=0,得 x2+2x+3=0.
解这个方程,得x1= 1,x2=3.
∴A( 1,0),B(3,0).
令x=0,得y=3.
∴C(0,3).
∴AB=4,OB=OC=3,∠OBC=45°.
∴BC=.
过点D作DE⊥x轴于点E.
∵∠OBC=45°,
∴BE=DE.
要使△BOD∽△BAC或△BDO∽△BAC,
已有∠ABC=∠OBD,则只需或成立.
若成立,
则有BD=.
在Rt△BDE中,由勾股定理,得BE2+DE2=2BE2=BD2=()2.
∴BE=DE=.
∴OE=OB BE=3 =.
∴点D的坐标为(,).
若成立,则有BD=.
在Rt△BDE中,由勾股定理,得BE2+DE2=2BE2=BD2=()2.
∴BE=DE=2.
∴OE=OB BE=3 2=1.
∴点D的坐标为(1,2).
∴点D的坐标为(,)或(1,2).
满分冲刺:
题一:
答案:(1)△BEF∽△BAG;(2)当x=,y有最大值.
详解:(1)∵AG⊥BC,EF⊥AB,
∴∠AGB=∠EFB=90°,∠B=∠B,∴△BEF∽△BAG;
(2)∵△BEF∽△BAG, ∴BF=x,EF=x,
作DM⊥AB于M,得△BEF∽△ADM,
∴,∴DM=,∴S△DAF=8-,
∵S梯形ABCD=28,S△DEC=20-2x,
∴y=S梯形ABCD S△BEF S△DEC S△DAF=,
∵当点F与点A重合时BF最长,此时x=5,解得x=,
∴0<x≤,∴当x=,y有最大值.
题二:
答案:(1)函数关系式为:;(2)点C和点D都在所求抛物线上;(3)点M的坐标为.
详解:(1)∵抛物线经过B(0,4),∴c=4
∵顶点在直线上,∴,
∴所求的函数关系式为:.
(2)在Rt△ABO中,OA=3,OB=4,∴AB==5
∵四边形ABCD是菱形,∴BC=CD=DA=AB=5,
∴C、D两点的坐标分别是(5,4)、(2,0),
当x=5时,
当x=2时,
∴点C和点D都在所求抛物线上;
(3)设CD与对称轴交于点P,则P为所求的点,
设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b,则,解得:,

当时,, ∴
(4)∵MN∥BD, ∴△OMN∽△OBD,
∴,即,得
设对称轴交x轴于点F,则S梯形PFOM=
∵S△MON=
S△PNF=
S存在最大值.

∴当时,S取得最大值为
此时点M的坐标为.相似三角形有关的综合问题1
主讲教师:黄炜 北京四中数学教师
重难点易错点辨析
题一:已知菱形ABCD的边长是6,点E在直线AD上,DE=3,连接BE,与对角线AC相交于点M,则的值是______.
考点:注意分类讨论的完整性
金题精讲
题一:如图1,在△ABC中,AB=AC,.过点A作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D,连接CD.
(1)求证:;
(2)点为线段延长线上一点,将射线GC绕着点G逆时针旋转,与射线BD交于点E.
①若,,如图2所示,求证:;
②若,,请直接写出的值(用含的代数式表示).
图1 图2
考点:相似三角形
满分冲刺
题一:在Rt△ABC中,∠A=90°,D、E分别为AB、AC上的点.
(1)如图1,CE=AB,BD=AE,过点C作CF∥EB,且CF=EB,连接DF交EB于点G,连接BF,请你直接写出的值;
(2)如图2,CE=kAB,BD=kAE,,求k的值.
考点:相似三角形
相似三角形有关的综合问题1
讲义参考答案
重难点易错点辨析
题一:2或.
提示 注意题中给出的“点E在直线AD上”这个条件,因此有两种情况.
(1)点E在线段AD上时,如图(a),△CBM∽△AEM.∴;
(2)点E在AD的延长线上时,如图(b),△CMB∽△AME,∴.
金题精讲
题一:(1) 如图,∵平分,∴.
∵∥,∴.∴.∴.
∵,∴.
(2)①证明:过作于点.∴.
∵,,∴.
∴.
由(1)得.
∴点、、在以为圆心,为半径的圆上.
∴.∴.
∵==,∴.
∴.∴△∽△.
∵,,∴=4.
∵∥,∴.
∴.
②.
满分冲刺
题一:(1);
(2)过点C作CF∥EB且CF=EB,连接DF交EB于点G,连接BF.
∴四边形EBFC是平行四边形.
∴CE∥BF且CE=BF.∴∠ABF=∠A=90°.
∵BF=CE=kAB.∴.
∵BD=kAE,∴.∴.
∴∽.∴,∠GDB=∠AEB.
∴∠DGB=∠A=90°.∴∠GFC=∠BGF=90°.
∵.∴.∴k=.
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主讲教师:黄炜 北京四中数学教师
金题精讲
题一:在平面直角坐标系xOy中,抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C(0,4),D为OC的中点.
(1)求m的值;
(2)抛物线的对称轴与 x轴交于点E,在直线AD上是否存在点F,使得以点A、B、F为顶点的三角形与相似?若存在,请求出点F的坐标,若不存在,请说明理由.
考点:二次函数、相似三角形
满分冲刺
题一:如图,平行四边形ABCD中,AB=4,BC=3,∠BAD=120°,E为BC上一动点(不与B点重合),作EF⊥AB于F,FE,DC的延长线交于点G,设BE=x,△DEF的面积为S.
(1)求证:△BEF∽△CEG;
(2)求用x表示S的函数表达式,并写出x的取值范围;
(3)当E点运动到何处时,S有最大值,最大值为多少.
考点:二次函数、相似三角形
题二:如图,二次函数图象的顶点坐标为C(1, 2),直线的图象与该二次函数的图象交于A、B两点,其中A点坐标为(3,0),B点在轴上.点P为线段AB上的一个动点(点P与点A、B不重合),过点P且垂直于轴的直线与这个二次函数的图象交于点E.
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)设点P的横坐标为,求线段PE的长(用含x 的代数式表示);
(3)点D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点,若以点为顶点的三角形与△AOB相似,请求出P点的坐标.
考点:相似三角形代几综合
相似三角形有关的综合问题2
讲义参考答案
金题精讲
题一:(1)抛物线y=mx2+3m+5+m与y轴交于点C(0,4),∴5+m=4.∴m= 1.
(2)抛物线的解析式为y= x2+3x+4.可求抛物线与x轴的交点A( 1,0),B(4,0).可求点E的坐标(,0).
由图知,点F在x轴下方的直线AD上时,是钝角三角形,不可能与相似,所以点F一定在x轴上方.此时与有一个公共角,两个三角形相似存在两种情况:①当时,由于E为AB的中点,此时D为AF的中点,可求点F坐标为(1,4).②当时,,解得.
如图(2)过点F作轴,垂足为H.可求F的坐标为(,5).
满分冲刺
题一:(1)略;(2)(3)当x=3时,S最大值.
题二:(1)设二次函数的解析式为,
∵A(3,0)在抛物线上,∴0=a(3 1)2 2,∴a=,∴y=(x 1)2 2.
(2)抛物线与y轴交点B的坐标为(0,)
设直线AB的解析式为y=kx+m,
∴,∴,
∴.
∵P为线段AB上的一个动点,
∴P点坐标为,(0由题意可知PE // y轴,∴E点坐标为.
∵0(3)由题意可知点横坐标为x=1,又点在直线上,∴点坐标(1 , 1).
①当∠EDP=90°时,△AOB∽△EDP,.
过点D作DQ⊥PE于Q,∴xQ= xP =x ,yQ = 1
∴△DQP∽△AOB∽△EDP ,又,
又 ∴
∴,解得(负舍).
∴(如图中的P1 点).
②当∠DEP=90°时,△AOB∽△DEP,.
由(2)得,.
∴,解得(负舍).
∴P(如图中的P2 点).
综上所述,P点坐标为或.
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