学科：数学
专题：相似三角形有关的综合问题1
主讲教师：黄炜 北京四中数学教师
重难点易错点解析
题面：己知在平行四边形ABCD中，AD=6，点E在直线AD上，且DE=3，连接BE与对角线AC相交于点M，则= ．
金题精讲
题面：如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠CAB的角平分线分别交BC、CD于点E、F；过点E作EG⊥AB，垂足为G．
（1）求证：CF=CE；
（2）求证：CE：BE=AC：AB；
（3）若AB=10，AC=6，求CF的长．
满分冲刺
题面：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，ED⊥DF，且DE、DF分别交AC、BC于E、F．求证：．
课后练习详解
重难点易错点解析
答案：或．
详解：分两种情况：
（1）点E在线段AD上时，△AEM∽△CBM，则；
（2）点E在线段AD的延长线上时，△AME∽△CMB，则．
金题精讲
答案：（1）CF=CE；（2）CE：BE=AC：AB ；（3）3．
详解：（1）∵AE平分∠CAB，∠ACB=90°，EG⊥AB
∴EG=CE
∴△ACE≌△AGE
∴∠AEC=∠AEG
∵CD⊥AB，EG⊥AB
∴CD∥EG
∴∠GEF=∠CFE
∴∠CEF=∠CFE
∴CF=CE
（2）证明：∵∠ACB=90°，EG⊥AB，∠B=∠B
∴△ACB∽△EGB
∴AC：AB=EG：EB
∵EG=CE
∴CE：BE=AC：AB
（3）解：∵∠ACB=90°，AB=10，AC=6
∴CB=8
∵EC：EB=AC：AB=3：5
∴EC=3
∴CF=EC=3．
满分冲刺
答案：．
详解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠FCD+∠ACD=∠A+∠ACD=90°，
∴∠FCD=∠A，
同理可证∠CDF=∠ADE，
∴△ADE∽△CDF，
∴．学科：数学
专题：相似三角形有关的综合问题2
主讲教师：黄炜 北京四中数学教师
金题精讲
题一：
题面：在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx 2经过（2，1）和（6， 5）两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）设此抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，点P是在直线x=4右侧的抛物线上一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，若以A、P、M为顶点的三角形与△OCB相似，求点P的坐标．
满分冲刺
题一：
题面：如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，BC边上的高AM=4，E为BC边上的一个动点（不与B、C重合）．过E作直线AB的垂线，垂足为F．FE与DC的延长线相交于点G，连结DE，DF．
（1）求证：△BEF∽△CEG；
（2）当点E在线段BC上运动时，△BEF和△CEG的周长之间有什么关系？并说明你的理由．
题二：
题面：如图，已知抛物线y=x2﹣(b+1)x+(b是实数且b＞2)与x轴的正半轴分别交于点A、B(点A位于点B的左侧)，与y轴的正半轴交于点C．
（1）求点B的坐标，点C的坐标 (用含b的代数式表示)；
（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
课后练习详解
金题精讲
题一：
答案：（1）抛物线的解析式为y=x2+x 2；（2）点P的坐标为（8， 14）或（5， 2）．
详解：（1）把（2，1）和（6， 5）两点坐标代入得4a+2b 2=1，36a+6b 2= 5，
解这个方程组，得 a=，b=，
故抛物线的解析式为y=x2+x 2；
（2）令y=0，得x2+x 2=0，
解这个方程，得x1=1，x2=4．
∴A（1，0），B（4，0）．
令x=0，得y= 2．
∴C（0， 2）．
设P（m，），
∵∠COB=∠AMP=90°，
①当时，△OCB∽△MAP．
∴，
解这个方程，得m1=8，m2=1（舍）．
∴点P的坐标为（8， 14），
②当时，△OCB∽△MPA，
∴，
解这个方程，得m1=5，m2=1（舍）．
∴点P的坐标为（5， 2）．
∴综上，点P的坐标为（8， 14）或（5， 2）．
满分冲刺
题一：
答案：（1）△BEF∽△CEG；（2）24．
详解：（1）因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥DG，
所以∠B=∠GCE，∠G=∠BFE，
所以△BEF∽△CEG．
（2）△BEF与△CEG的周长之和为定值．过点C作FG的平行线交直线AB于H，
因为GF⊥AB，所以四边形FHCG为矩形．
所以FH=CG，FG=CH，
因此，△BEF与△CEG的周长之和等于BC+CH+BH，
∵∠B=∠B，∠AMB=∠BHC=90°
∴△ABM∽△CBH，
∴.
由BC=10，AB=5，AM=4，
可得CH=8，
∴BH=6，
所以BC+CH+BH=24．
题二：
答案：（1）（b，0），（0，）；（2）P的坐标为（，）；（3）存在点Q（1，2+）或Q（1，4），使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似．
详解：（1）令y=0，即y=x2﹣(b+1)x+=0，解得：x=1或b，∵b是实数且b＞2，点A位于点B的左侧，∴点B的坐标为（b，0），令x=0，解得：y=，∴点C的坐标为（0，），故答案为：（b，0），（0，）；（2）存在，假设存在这样的点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形．设点P的坐标为（x，y），连接OP．则S四边形POCB=S△PCO+S△POB= x+ b y=2b，∴x+4y=16．过P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，∴∠PEO=∠EOD=∠ODP=90°．∴四边形PEOD是矩形．∴∠EPO=90°．∴∠EPC=∠DPB．∴△PEC≌△PDB，∴PE=PD，即x=y．由解得由△PEC≌△PDB得EC=DB，即﹣=b﹣，解得b=＞2符合题意．∴P的坐标为（，）；（3）假设存在这样的点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似．∵∠QAB=∠AOQ+∠AQO，∴∠QAB＞∠AOQ，∠QAB＞∠AQO．∴要使△QOA与△QAB相似，只能∠QAO=∠BAQ=90°，即QA⊥x轴．∵b＞2，∴AB＞OA，∴∠QOA＞∠ABQ．∴只能∠AOQ=∠AQB．此时∠OQB=90°，由QA⊥x轴知QA∥y轴．∴∠COQ=∠OQA．∴要使△QOA与△OQC相似，只能∠QCO=90°或∠OQC=90°．（I）当∠OCQ=90°时，△CQO≌△QOA．∴AQ=CO=．由AQ2=OA AB得：()2=b﹣1．解得：b=8±4．∵b＞2，∴b=8+4．∴点Q的坐标是（1，2+）．（II）当∠OQC=90°时，△QCO∽△QOA，∴=，即OQ2=OC AQ．又OQ2=OA OB，∴OC AQ=OA OB．即 AQ=1×b．解得：AQ=4，此时b=17＞2符合题意，∴点Q的坐标是（1，4）．∴综上可知，存在点Q（1，2+）或Q（1，4），使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似．学科：数学
专题：相似三角形有关的综合问题1
主讲教师：黄炜 北京四中数学教师
重难点易错点解析
题面：如图，四边形ABCD是菱形，∠A=60°，直线EF经过点C，分别交AB、AD的延长线于E、F两点，连接ED、FB相交于点H．
（1）找出图中与△BEC相似的三角形，并选一对给予证明；
（2）如果菱形的边长是3，DF=2，求BE的长．
金题精讲
题面：如图，点D在△ABC的边BC上，DC=AC=BD，∠ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连接EF．
（1）求证：△AEF∽△ABD．
（2）若△AEF的面积为1，求△ABC的面积．
满分冲刺
题面：如图，Rt△ABC中，∠BCA=90°，AC=BC，点D是BC的中点，点F在线段AD上，DF=CD，BF交CA于E点，过点A作DA的垂线交CF的延长线于点G，下列结论：①CF2=EF BF；②AG=2DC；③AE=EF；④AF EC=EF EB．其中正确的结论有 ．
课后练习详解
重难点易错点解析
答案：（1）△BEC∽△AEF；（2）BE=4.5．
详解：（1）△BEC∽△DCF；△BEC∽△AEF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC∥AF，
∴△BEC∽△AEF；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴BC∥AD，
∴△BCE∽△AFE，
∴，
即 ，
即BE=4.5．
金题精讲
答案：（1）△AEF∽△ABD；（2）8．
详解：（1）证明：∵DC=AC，CF是∠ACB的平分线，
∴AF=DF，
∵点E是AB的中点，
即AE=BE，
∴EF是△ABD的中位线，
∴EF∥BD，
∴△AEF∽△ABD；
（2）∵△AEF∽△ABD，
∴，
∵AE=AB，S△AEF=1，
∴S△ABD=4，
∵BD=CD，
∴S△ABC=2S△ABD=8．
满分冲刺
答案：①②④．
详解：∵DF=CD，
∴∠DCF=∠DFC，
∵AC=BC，点D是BC的中点，
∴DF=DB=DC，
∴∠DBF=∠DFB，
又∵∠DBF+∠DFB+∠DFC+∠DCF=180°，
∴∠BFC=×180°=90°，
∴CF⊥BE，
∴Rt△BCF∽Rt△CEF，
∴，
∴CF2=EF BF，故①正确；
∵AG⊥AD，
∴∠G+∠AFG=90°，
又∵∠ACG+∠DCF=90°，∠DCF=∠DFC=∠AFG，
∴∠G=∠ACG，
∴AG=AC，
∵AC=BC，
∴AG=BC，
又∵∠CBE=∠ACG，
∴∠CBE=∠G，
在△BCE和△AGF中，
∵∠GAF＝∠BCE＝90°，∠CBE＝∠G， AG＝BC，
∴△BCE≌△AGF（AAS），
∴AG=BC，
∵点D是BC的中点，
∴BC=2DC，
∴AG=2DC，故②正确；
根据角的互余关系，∠EAF+∠ADC=90°，∠AFE+∠DFC=90°，
∵tan∠ADC=2，
∴∠ADC≠60°，
∵∠DCF=∠DFC，
∴∠FDC≠∠DFC，
∴∠EAF≠∠EFA，
∴AE≠EF，故③错误；
∵∠ACB=90°，CF⊥BE，
∴△CEF∽△BCE，
∴，
∴EC2=EF EB，
∵△BCE≌△AGF（已证），
∴AF=EC，
∴AF EC=EF EB，故④正确；
所以，正确的结论有①②④．学科：数学
专题：相似三角形有关的综合问题2
主讲教师：黄炜 北京四中数学教师
金题精讲
题一：
题面：在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=1，并且经过（ 2， 5）和（5， 12）两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）设此抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C 点，D是线段BC上一点（不与点B、C重合），若以B、O、D为顶点的三角形与△BAC相似，求点D的坐标．
满分冲刺
题一：
题面：如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=5，BC=10，高AG=4，E为BC边上的一个动点（不与B、C重合）．F是腰AB上的一点，且EF⊥AB，连接DE、DF．
（1）求证：△BEF∽△BAG；
（2）当点E在线段BC上运动时，设BE=x．△DEF的面积为y．①请你求出y和x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；②求当x为何值时，y有最大（小）值．
题二：
题面：如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（-3，0）、（0，4），抛物线经过点B，且顶点在直线上．
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，连结BD，已知在对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小，求出P点的坐标；
（4）在（2）、（3）条件下，若点M是线段OB上的一个动点（点M与点O、B不重合），过点M作MN∥BD交x轴于点N，连结PM、PN，设OM的长为t，△PMN的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M点的坐标；若不存在，说明理由．
课后练习详解
金题精讲
题一：
答案：（1）y= x2+2x+3；（2）(，)或（1，2）．
详解：（1）由题意，得，4a 2b+c＝ 5，25a+5b+c= 12.，
解这个方程组，得a= 1，b=2，c=3.，
∴抛物线的解析式为y= x2+2x+3．
（2）令y=0，得 x2+2x+3=0．
解这个方程，得x1= 1，x2=3．
∴A（ 1，0），B（3，0）．
令x=0，得y=3．
∴C（0，3）．
∴AB=4，OB=OC=3，∠OBC=45°．
∴BC=．
过点D作DE⊥x轴于点E．
∵∠OBC=45°，
∴BE=DE．
要使△BOD∽△BAC或△BDO∽△BAC，
已有∠ABC=∠OBD，则只需或成立．
若成立，
则有BD=．
在Rt△BDE中，由勾股定理，得BE2+DE2=2BE2=BD2=()2．
∴BE=DE=．
∴OE=OB BE=3 =．
∴点D的坐标为(，)．
若成立，则有BD=．
在Rt△BDE中，由勾股定理，得BE2+DE2=2BE2=BD2=()2．
∴BE=DE=2．
∴OE=OB BE=3 2=1．
∴点D的坐标为（1，2）．
∴点D的坐标为(，)或（1，2）．
满分冲刺：
题一：
答案：（1）△BEF∽△BAG；（2）当x=，y有最大值．
详解：（1）∵AG⊥BC，EF⊥AB，
∴∠AGB=∠EFB=90°，∠B=∠B，∴△BEF∽△BAG；
（2）∵△BEF∽△BAG， ∴BF=x，EF=x，
作DM⊥AB于M，得△BEF∽△ADM，
∴，∴DM=，∴S△DAF=8-，
∵S梯形ABCD=28，S△DEC=20-2x，
∴y=S梯形ABCD S△BEF S△DEC S△DAF=，
∵当点F与点A重合时BF最长，此时x=5，解得x=，
∴0＜x≤，∴当x=，y有最大值．
题二：
答案：（1）函数关系式为：；（2）点C和点D都在所求抛物线上；（3）点M的坐标为.
详解：（1）∵抛物线经过B（0，4），∴c=4
∵顶点在直线上，∴，
∴所求的函数关系式为：．
（2）在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，∴AB==5
∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD=DA=AB=5，
∴C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0），
当x=5时，
当x=2时，
∴点C和点D都在所求抛物线上；
（3）设CD与对称轴交于点P，则P为所求的点，
设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b，则，解得：，
∴
当时，， ∴
（4）∵MN∥BD， ∴△OMN∽△OBD，
∴,即，得
设对称轴交x轴于点F，则S梯形PFOM=
∵S△MON=
S△PNF=
S存在最大值．
由
∴当时，S取得最大值为
此时点M的坐标为.相似三角形有关的综合问题1
主讲教师：黄炜 北京四中数学教师
重难点易错点辨析
题一：已知菱形ABCD的边长是6，点E在直线AD上，DE＝3，连接BE，与对角线AC相交于点M，则的值是______．
考点：注意分类讨论的完整性
金题精讲
题一：如图1，在△ABC中，AB＝AC，．过点A作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D，连接CD．
(1)求证：；
(2)点为线段延长线上一点，将射线GC绕着点G逆时针旋转，与射线BD交于点E．
①若，，如图2所示，求证：；
②若，，请直接写出的值（用含的代数式表示）．
图1 图2
考点：相似三角形
满分冲刺
题一：在Rt△ABC中，∠A=90°，D、E分别为AB、AC上的点．
(1)如图1，CE=AB，BD=AE，过点C作CF∥EB，且CF=EB，连接DF交EB于点G，连接BF，请你直接写出的值；
(2)如图2，CE=kAB，BD=kAE，，求k的值．
考点：相似三角形
相似三角形有关的综合问题1
讲义参考答案
重难点易错点辨析
题一：2或．
提示 注意题中给出的“点E在直线AD上”这个条件，因此有两种情况．
(1)点E在线段AD上时，如图(a)，△CBM∽△AEM．∴；
(2)点E在AD的延长线上时，如图(b)，△CMB∽△AME，∴．
金题精讲
题一：(1) 如图，∵平分，∴．
∵∥，∴．∴．∴．
∵，∴．
(2)①证明：过作于点．∴．
∵，，∴．
∴．
由(1)得．
∴点、、在以为圆心，为半径的圆上．
∴．∴.
∵==，∴．
∴．∴△∽△．
∵，，∴=4．
∵∥，∴．
∴．
②．
满分冲刺
题一：(1)；
(2)过点C作CF∥EB且CF=EB，连接DF交EB于点G，连接BF．
∴四边形EBFC是平行四边形．
∴CE∥BF且CE=BF．∴∠ABF=∠A=90°．
∵BF=CE=kAB．∴．
∵BD=kAE，∴．∴．
∴∽．∴，∠GDB=∠AEB．
∴∠DGB=∠A=90°．∴∠GFC=∠BGF=90°．
∵．∴．∴k=．
- 1 -
PAGE
第 - 1 - 页相似三角形有关的综合问题2
主讲教师：黄炜 北京四中数学教师
金题精讲
题一：在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C(0，4)，D为OC的中点．
(1)求m的值；
(2)抛物线的对称轴与 x轴交于点E，在直线AD上是否存在点F，使得以点A、B、F为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点F的坐标，若不存在，请说明理由．
考点：二次函数、相似三角形
满分冲刺
题一：如图，平行四边形ABCD中，AB=4，BC=3，∠BAD＝120°，E为BC上一动点(不与B点重合)，作EF⊥AB于F，FE，DC的延长线交于点G，设BE=x，△DEF的面积为S．
(1)求证：△BEF∽△CEG；
(2)求用x表示S的函数表达式，并写出x的取值范围；
(3)当E点运动到何处时，S有最大值，最大值为多少．
考点：二次函数、相似三角形
题二：如图，二次函数图象的顶点坐标为C(1， 2)，直线的图象与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点坐标为(3，0)，B点在轴上．点P为线段AB上的一个动点（点P与点A、B不重合），过点P且垂直于轴的直线与这个二次函数的图象交于点E．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)设点P的横坐标为,求线段PE的长(用含x 的代数式表示)；
(3)点D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，若以点为顶点的三角形与△AOB相似，请求出P点的坐标．
考点：相似三角形代几综合
相似三角形有关的综合问题2
讲义参考答案
金题精讲
题一：(1)抛物线y=mx2+3m+5+m与y轴交于点C(0，4)，∴5+m=4．∴m= 1．
(2)抛物线的解析式为y= x2+3x+4．可求抛物线与x轴的交点A( 1，0)，B(4，0)．可求点E的坐标(，0)．
由图知，点F在x轴下方的直线AD上时，是钝角三角形，不可能与相似，所以点F一定在x轴上方．此时与有一个公共角，两个三角形相似存在两种情况：①当时，由于E为AB的中点，此时D为AF的中点，可求点F坐标为(1，4)．②当时，，解得．
如图(2)过点F作轴，垂足为H．可求F的坐标为(，5)．
满分冲刺
题一：(1)略；(2)(3)当x＝3时，S最大值．
题二：(1)设二次函数的解析式为，
∵A(3，0)在抛物线上，∴0=a(3 1)2 2，∴a=，∴y=(x 1)2 2．
(2)抛物线与y轴交点B的坐标为（0，）
设直线AB的解析式为y=kx+m，
∴，∴，
∴．
∵P为线段AB上的一个动点，
∴P点坐标为，(0由题意可知PE // y轴，∴E点坐标为．
∵0(3)由题意可知点横坐标为x=1，又点在直线上，∴点坐标(1 ， 1)．
①当∠EDP=90°时，△AOB∽△EDP，．
过点D作DQ⊥PE于Q，∴xQ= xP =x ，yQ = 1
∴△DQP∽△AOB∽△EDP ，又，
又 ∴
∴，解得（负舍）.
∴（如图中的P1 点）．
②当∠DEP=90°时，△AOB∽△DEP，．
由(2)得，．
∴，解得（负舍）．
∴P（如图中的P2 点）．
综上所述，P点坐标为或．
- 1 -
PAGE
第 - 3 - 页
