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专题11.1 与三角形有关的线段
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在△ABC中，AB边上的高是（ ）
A．AD B．BE C．CF D．BF
2．课堂上，老师把教学用的两块三角板叠放在一起，得到如图所示的图形，其中三角形的个数为（ ）
A．6 B．5 C．3 D．2
3．如图，CM是△ABC的中线，AB＝10cm，则BM的长为（ ）
A．7cm B．6cm C．5cm D．4cm
4．如图，工具房有一个方形框架，小华发现它很容易变形，以下加固方案最好的是（ ）
A． B． C． D．
5．将锐角三角形三边扩大同样的倍数，得到的新三角形是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．任意三角形
6．在△ABC中，AB＝4cm，AC＝6cm，若BC的长为整数，则BC的长可能是（ ）
A．13cm B．8cm C．2cm D．1cm
7．如图，AD，BE，CF是△ABC的三条中线，则下列结论正确的是（ ）
A．BC＝2AD B．AB＝2AF C．AD＝CD D．BE＝CF
8．木工师傅要使一个四边形木架（用四根木条钉成）不变型，至少要再钉上n根木条，这里的n=（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
9．如图，为了估计池塘两岸A，B间的距离，在池塘的一侧选取点P，测得PA＝15米，PB＝10米，那么A，B间的距离不可能是（ ）
A．6米 B．8.7米 C．18米 D．27米
10．若△ABC边为a、b、c，则|a﹣b﹣c|+|b+c﹣a|﹣|c﹣a﹣b|＝（ ）
A．﹣3a﹣b﹣c B．a+3b+c C．a+b﹣3c D．﹣3a+b+3c
二、填空题
11．图中以AE为边的三角形共有 个．
12．如图所示的自行车架设计成三角形，这样做的依据是三角形具有 ．
13．如图，AD是△ABC的中线，AE是△ADC的中线，则有BD＝ CE．
14．如图，直线DE将△ABC分成等周长的两部分，若AD+AE＝2，则△ABC的周长为 ．
15．长度为2cm、3cm、4cm、5cm的四条线段，若以其中的三条线段为边构成三角形，可以构成不同的三角形共有 个．
16．观察图形规律：
（1）图①中一共有 个三角形，图②中共有 个三角形，图③中共有 个三角形．
（2）由以上规律进行猜想，第n个图形共有 个三角形．
17．如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，AB＝3，AC＝4，DF＝1.5，则DE＝ ．
18．已知△ABC的两条边a，b的长分别为1.5和7.5，则使△ABC周长最大时，第三边c的正整数值是 ．
19．如图△ABC中，AB＝21，AC＝20，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差＝ ．
20．如图，AD是△ABC的中线，E为线段AD的中点，过点E作EF⊥BC于点F．若S△ABC＝16，BD＝3，则EF长为 ．
三、解答题
21．一个三角形的两边b＝2，c＝7．
（1）当各边均为整数时，有几个三角形？
（2）若此三角形是等腰三角形，则其周长是多少？
22．（1）下列图形中具有稳定性是 ；（只填图形序号）
（2）对不具有稳定性的图形，请适当地添加线段，使之具有稳定性．
23．已知三角形的两边长分别是4和9，第三边长是偶数，求第三边的长．
24．如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝4，高BD＝3，试作出BC边上的高AE，并求AE的长．
25．在△ABC中，BC＝8，AB＝1；
（1）若AC是整数，求AC的长；
（2）已知BD是△ABC的中线，若△ABD的周长为17，求△BCD的周长．
26．已知在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．
（1）化简代数式：|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|＝ 2a ．
（2）若AB＝AC，AC边上的中线BD把三角形的周长分为15和6两部分，求腰长AB．
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专题11.1 与三角形有关的线段
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在△ABC中，AB边上的高是（ ）
A．AD B．BE C．CF D．BF
【答案】C
【解析】因为点C到AB边的垂线段是CF，所以AB边上的高是CF，
故选C．
2．课堂上，老师把教学用的两块三角板叠放在一起，得到如图所示的图形，其中三角形的个数为（ ）
A．6 B．5 C．3 D．2
【答案】B
【解析】图中三角形的个数是5个，
故选B．
3．如图，CM是△ABC的中线，AB＝10cm，则BM的长为（ ）
A．7cm B．6cm C．5cm D．4cm
【答案】C
【解析】∵CM是△ABC的中线，AB＝10cm，
∴BM＝AB＝5cm，
故选C．
4．如图，工具房有一个方形框架，小华发现它很容易变形，以下加固方案最好的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据三角形的稳定性可得D是最好的加固方案．
故选D．
5．将锐角三角形三边扩大同样的倍数，得到的新三角形是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．任意三角形
【答案】B
【解析】因为角的度数和它的两边的长短无关，所以得到的新三角形应该是锐角三角形，
故选B．
6．在△ABC中，AB＝4cm，AC＝6cm，若BC的长为整数，则BC的长可能是（ ）
A．13cm B．8cm C．2cm D．1cm
【答案】B
【解析】解：由三角形的三边关系定理得：AC﹣AB＜BC＜AC+AB，
∴6﹣4＜BC＜6+4，
∴2＜BC＜10，
∵BC的长为整数，
∴BC的长可能是8cm．
故选B．
7．如图，AD，BE，CF是△ABC的三条中线，则下列结论正确的是（ ）
A．BC＝2AD B．AB＝2AF C．AD＝CD D．BE＝CF
【答案】B
【解析】∵AD、BE、CF是△ABC的三条中线，
∴AC＝2AE＝2EC，AB＝2BF＝2AF，BC＝2BD＝2DC，
故A、C、D都不正确；B正确．
故选B．
8．木工师傅要使一个四边形木架（用四根木条钉成）不变型，至少要再钉上n根木条，这里的n=（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】四边形木架，至少要再钉上1根木条，使四边形变成两个三角形；
故选B．
9．如图，为了估计池塘两岸A，B间的距离，在池塘的一侧选取点P，测得PA＝15米，PB＝10米，那么A，B间的距离不可能是（ ）
A．6米 B．8.7米 C．18米 D．27米
【答案】D
【解析】设AB＝x米，
∵PA＝15米，PB＝10米，
∴由三角形三边关系定理得：15﹣10＜AB＜15+10，
∴5＜AB＜25，
所以选项D不符合，选项A、B、C符合，
故选D．
10．若△ABC边为a、b、c，则|a﹣b﹣c|+|b+c﹣a|﹣|c﹣a﹣b|＝（ ）
A．﹣3a﹣b﹣c B．a+3b+c C．a+b﹣3c D．﹣3a+b+3c
【答案】D
【解析】∵a、b、c是△ABC的三边，
∴a+b＞c，b+c＞a，
∴|a﹣b﹣c|+|b+c﹣a|﹣|c﹣a﹣b|
＝b+c﹣a+b+c﹣a+c﹣a﹣b
＝﹣3a+b+3c，
故选D．
二、填空题
11．图中以AE为边的三角形共有 个．
【答案】3
【解析】图中以AE为边的三角形有△AEC，△AED，△AEB共3个．
故答案为3．
12．如图所示的自行车架设计成三角形，这样做的依据是三角形具有 ．
【答案】稳定性
【解析】自行车的主框架采用了三角形结构，这样设计的依据是三角形具稳定性，
故答案为稳定性．
13．如图，AD是△ABC的中线，AE是△ADC的中线，则有BD＝ CE．
【答案】2
【解析】∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∵AE是△ADC的中线，
∴CD＝2CE，
∴BD＝2CE，
故答案为2．
14．如图，直线DE将△ABC分成等周长的两部分，若AD+AE＝2，则△ABC的周长为 ．
【答案】4
【解析】由题意得：AD+AE＝BD+CE+BC．
∵AD+AE＝2，
∴BD+CE+BC＝2．
∴C△ABC＝AB+AC+BC
＝（AD+BD）+（AE+CE）+BC
＝（AD+AE）+（BD+CD+BC）
＝2+2
＝4．
故答案为4．
15．长度为2cm、3cm、4cm、5cm的四条线段，若以其中的三条线段为边构成三角形，可以构成不同的三角形共有 个．
【答案】3
【解析】2cm，3cm，4cm可以构成三角形；
2cm，4cm，5cm可以构成三角形；
3cm，4cm，5cm可以构成三角形；
所以可以构成3个不同的三角形．
故答案为3．
16．观察图形规律：
（1）图①中一共有 个三角形，图②中共有 个三角形，图③中共有 个三角形．
（2）由以上规律进行猜想，第n个图形共有 个三角形．
【答案】（1）3，6，10
（2）
【解析】（1）如图所示：图①中一共有3个三角形，图②中共有6个三角形，图③中共有10个三角形．
故答案为：3，6，10；
（2）∵1+2＝3，1+2+3＝6，1+2+3+4＝10，
∴第n个图形共有：1+2+3+…+（n+1）．
故答案为：．
17．如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，AB＝3，AC＝4，DF＝1.5，则DE＝ ．
【答案】2
【解析】∵△ABC中，AD为中线，
∴BD＝DC，
∴S△ABD＝S△ADC，
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AB＝3，AC＝4，DF＝1.5，
∴ AB ED AC DF，
∴3×ED4×1.5，
∴ED＝2，
故答案为2．
18．已知△ABC的两条边a，b的长分别为1.5和7.5，则使△ABC周长最大时，第三边c的正整数值是 ．
【答案】8
【解析】∵△ABC的两条边a，b的长分别为1.5和7.5，
∴7.5﹣1.5＜c＜7.5+1.5，即6＜c＜9，
∴c的正整数值是7或8，
∵△ABC周长最大，
∴c＝8．
故答案为8．
19．如图△ABC中，AB＝21，AC＝20，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差＝ ．
【答案】1
【解析】∵AD为△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∴△ABD的周长﹣△ACD的周长＝（AB+BD+AD）﹣（AC+CD+AD）＝AB﹣AC＝1，
故答案为1．
20．如图，AD是△ABC的中线，E为线段AD的中点，过点E作EF⊥BC于点F．若S△ABC＝16，BD＝3，则EF长为 ．
【答案】2
【解析】连接BE，
∵线段AD是△ABC的中线，
∴S△ABD＝S△ACDS△ABC，
∵S△ABC＝16，
∴S△ABD＝8，
∵E为线段AD的中点，
∴线段BE是△ABD的中线，
∴S△BDE＝S△BAES△ABD＝4，
∴，
∴EF＝2，
故答案为2．
三、解答题
21．一个三角形的两边b＝2，c＝7．
（1）当各边均为整数时，有几个三角形？
（2）若此三角形是等腰三角形，则其周长是多少？
【解析】（1）设第三边长为a，则5＜a＜9，
由于三角形的各边均为整数，则a＝6或7或8，因此有三个三角形；
（2）当a＝7时，有a＝7＝c，所以周长为7+7+2＝16．
22．（1）下列图形中具有稳定性是 ；（只填图形序号）
（2）对不具有稳定性的图形，请适当地添加线段，使之具有稳定性．
【解析】（1）具有稳定性的是①④⑥三个．
（2）如图所示：
23．已知三角形的两边长分别是4和9，第三边长是偶数，求第三边的长．
【解析】设第三边长为xcm，根据三角形的三边关系定理可得：
9﹣4＜x＜9+4，
解得：5＜x＜13；
∵第三边长是偶数，
∴x＝6，8，10，12；
所以第三边的长是6或8或10或12．
24．如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝4，高BD＝3，试作出BC边上的高AE，并求AE的长．
【解析】如图，过点A作BC边上的高线AE，交CB延长线于点E．∵BC AE＝AC BD，AC＝8，BC＝4，高BD＝3，
∴×4AE＝×8×3，
则AE＝6．
25．在△ABC中，BC＝8，AB＝1；
（1）若AC是整数，求AC的长；
（2）已知BD是△ABC的中线，若△ABD的周长为17，求△BCD的周长．
【解析】（1）由题意得：BC﹣AB＜AC＜BC+AB，
∴7＜AC＜9，
∵AC是整数，
∴AC＝8；
（2）∵BD是△ABC的中线，
∴AD＝CD，
∵△ABD的周长为17，
∴AB+AD+BD＝17，
∵AB＝1，
∴AD+BD＝16，
∴△BCD的周长＝BC+BD+CD＝BC+AD+CD＝8+16＝24．
26．已知在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．
（1）化简代数式：|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|＝ 2a ．
（2）若AB＝AC，AC边上的中线BD把三角形的周长分为15和6两部分，求腰长AB．
【解析】（1）由题意得：a+b＞c，a+c＞b，
∴a+b﹣c＞0，b﹣a﹣c＜0，
∴|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|
＝a+b﹣c+（﹣b+a+c）
＝a+b﹣c﹣b+a+c
＝2a．
故答案为：2a；
（2）设AB＝AC＝2x，BC＝y，则AD＝CD＝x，
∵AC上的中线BD将这个三角形的周长分成15和6两部分，
①当3x＝15，且x+y＝6，
解得，x＝5，y＝1，
∴三边长分别为10，10，1；
②当x+y＝15且3x＝6时，
解得，x＝2，y＝13，此时腰为4，
根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，而4+4＝8＜13，故这种情况不存在．
∴△ABC的腰长AB为10．
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