内蒙古包头铁路第一中学2022-2023学年高二下学期期末考试数学（理）试题(含答案）

2022——2023学年度第二学期期末考试试卷
高二（理科）数学
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 已知，，，则( )
A. B. C. D.
2. 复数的共轭复数为( )
A. B. C. D.
3. 若函数在处取得极值，则的值为( )
A. B. C. D.
4. 计算( )
A. B. C. D.
5. 空间中，，，是三个互不重合的平面，是一条直线，则下列命题中正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
6. 已知命题，；命题，，则下列命题中为真命题的是( )
A. B. C. D.
7. 命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
8. 关于的不等式恒成立的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
9. 设函数，则( )
A. 为的极大值点 B. 为的极小值点
C. 为的极大值点 D. 为的极小值点
10. 为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是( )
A. 该地农户家庭年收入低于万元的农户比率估计为
B. 该地农户家庭年收入不低于万元的农户比率估计为
C. 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过万元
D. 估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于万元至万元之间
11. 从正五边形的五个顶点中，随机选择三个顶点连成三角形，记“这个三角形是等腰三角形”为事件，则下列推断正确的是( )
A. 事件发生的概率等于 B. 事件发生的概率等于
C. 事件是不可能事件 D. 事件是必然事件
12. 下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边，的三边所围成的区域记为，黑色部分记为，其余部分记为在整个图形中随机取一点，此点取自，，的概率分别记为，，，则．( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为，，，件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 件．
14. 函数在区间上的最小值为 ．
15. 函数的单调递增区间是 ．
16. 的展开式中，的系数是_________用数字作答
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17. 本小题分
甲乙丙三人进行兵兵球练习赛，约定练习赛规则如下：比赛前抽签决定先比赛的两个人，另一个人做裁判，每场比赛结束时，胜的一方在下一局与裁判进行比赛，负的一方在下一局做裁判，每局比赛的结果都相互独立，每场比赛双方获胜的概率都是，第一局通过抽签确定甲先当裁判．
求丙前局都不做裁判的概率；
求第局甲当裁判的概率；
记前局乙当裁判的次数为，求的概率分布和数学期望．
18. 本小题分
已知函数．
求函数的单调性
当时，记函数的最小值为，证明：
19. 本小题分
某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在某学院大一年级名学生中进行了抽样调查，发现喜欢甜品的占这名学生中南方学生共人，南方学生中有人不喜欢甜品．
完成下列列联表：
喜欢甜品 不喜欢甜品 合计
南方学生
北方学生
合计
根据表中数据，问是否有的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；
已知在被调查的南方学生中有名数学系的学生，其中名不喜欢甜品；有名物理系的学生，其中名不喜欢甜品现从这两个系的学生中，各随机抽取人，记抽出的人中不喜欢甜品的人数为，求的分布列和数学期望．
附：，．
20. 本小题分
某社区举办“环保我参与”有奖问答比赛活动，某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是若各家庭回答是否正确互不影响．
求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；
求甲、乙、丙三个家庭中不少于个家庭回答正确这道题的概率．
21. 本小题分
已知函数．
Ⅰ求曲线在点处的切线方程；
Ⅱ若函数，恰有个零点，求实数的取值范围．
22. 本小题分
某商场为了考查商场一个月的商品销售额单位：万元与广告费支出单位：万元之间的相关关系，绘制了如图散点图．
由散点图求出关于的经验回归直线方程；
统计表明，该商场的某款广告在平台发布后，其商品日销售额单位：万元近似地服从正态分布，商场对员工的奖励方案如下：若日销售额不超过万元，没有奖励；若日销售额超过万元但不超过万元，则每人奖励元；若日销售额超过万元，则每人奖励元，试求该商场每名员工单日获得奖金的数学期望．答案精确到整数
附：参考公式：经验回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，
若，则，，．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了并集与补集混合运算、解一元二次不等式、绝对值不等式，属基础题．
【解答】
解：因为，，
所以，，即得．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了复数代数形式的混合运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题．
首先利用复数的除法运算化简复数，则复数的共轭复数可求．
【解答】
解：因为
所以的共轭复数为
故选 C．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查利用导数根据函数的极值求参数，属于基本题型．
对函数求导，令导函数为，求得，再分析单调性进行验证即可．
【解答】
解：，
，．
可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以在处，取极值．
故选B．

4.【答案】
【解析】解：．
故选：．
根据微积分基本定理计算即可．
本题主要考查了微积分基本定理，关键是求出原函数，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：空间中，，，是三个互不重合的平面，是一条直线，
对于选项A：，，平面和有可能相交，故错误．
对于选项B：若，，也可能直线，故错误．
对于选项C：若，，则，正确．
对于选项D：若，，则可能在内，也可能平行，故错误．
故选：．
直接利用线面平行的判定和性质的应用，线面垂直的判定和性质的应用求出结果．
本题考查的知识要点：线面平行的判定和性质的应用，线面垂直的判定和性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了命题真假的判断，解题的关键是掌握全称命题和存在性命题真假的判断方法，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
先分别判断命题和命题的真假，然后由简单的复合命题的真假判断法则进行判断，即可得到答案．
【解答】
解：对于命题：，，
当时，，故命题为真命题，为假命题；
对于命题：，，
因为，又函数为单调递增函数，故，
故命题为真命题，为假命题，
所以为真命题，为假命题，为假命题，为假命题，
故选：．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题．
利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
【解答】
解：命题“，”的否定是，．
故选A．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了不等式恒成立问题，考查了充分条件、必要条件的判断，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
关于的不等式恒成立，时，可得：；时，可得：，解得范围，结合选项即可得到答案．
【解答】
解：关于的不等式恒成立，
时，可得：；
时，可得：，解得．
综上可得：．
关于的不等式恒成立的一个充分不必要条件是．
故选：．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数的极值的判断、函数的单调性的判断，属于基础题．
求出导函数，判断单调性与极值即可．
【解答】
解：函数，则，
令，可得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以为的极小值点，
故选D．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了频率分布直方图的应用，属于中档题．
利用频率分布直方图中频率的求解方法，通过求解频率即可判断选项A，，，利用平均值的计算方法，即可判断选项C．
【解答】
解：对于，该地农户家庭年收入低于万元的农户比率为，故选项A正确；
对于，该地农户家庭年收入不低于万元的农户比率为，故选项B正确；
对于，估计该地农户家庭年收入的平均值为万元，故选项C错误；
对于，家庭年收入介于万元至万元之间的频率为，
故估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于万元至万元之间，故选项D正确．
故选：．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查必然事件，不可能事件，随机事件的基本概念，属于基础题．
根据正五边形的性质，可知任取三个顶点连成的三角形一定是等腰三角形，可得答案．
【解答】
解：根据正五边形的性质，可知任取三个顶点连成的三角形一定是等腰三角形，
所以事件是必然事件．
故选D．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了几何概型的概率问题，关键是求出对应的面积，属于中档题
如图：设，，，分别求出Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ所对应的面积，即可得到答案
【解答】
解：如图：设，，，
，
，，
，
，
，
故选A．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了分层抽样，属于基础题．
由题意先求出抽样比例即为，再由此比例计算出应从丙种型号的产品中抽取的数目．
【解答】
解：产品总数为件，而抽取件进行检验，
抽样比例为，
则应从丙种型号的产品中抽取件．
故答案为．

14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查形如的函数的最值，属于基础题．
将函数化简成，由函数在区间上单调递增，可得函数在区间上的最小值为，代入求值即可．
【解答】
解：函数，
函数在区间上单调递增，
函数在区间上的最小值为．
故答案为：．

15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查复合函数的单调区间，属于基础题．
利用复合函数的单调性求解，先由，得出函数的定义域，再根据复合函数的单调性即可求解．
【解答】
解：函数的定义域为，得，
令，因为在定义域内为增函数，在 上为增函数，
所以函数的单调递增区间是 ，
故答案为 ．

16.【答案】
【解析】
【分析】
本题是一个二项展开式的特定项的求法．解本题时容易公式记不清楚导致计算错误，所以牢记公式．它是经常出现的一个客观题．
【解答】
解：写出通项，
要求展开式中的系数
令得，
．
故答案为．

17.【答案】解：当丙前三局全部取胜，即丙前局都不做裁判，
每场比赛双方获胜的概率都是，
丙前局都不做裁判的概率为．
第二局中可能是乙当裁判，其概率为，也可能是丙当裁判，其概率为，
第三局甲当裁判的概率为．
由题意的可能的取值为，，，
，
，
，
．
【解析】当丙前三局全部取胜，即丙前局都不做裁判，即可求解．
第二局中可能是乙当裁判，其概率为，也可能是丙当裁判，其概率为，且第二局甲为负的一方，即可求解．
根据已知条件，分别求出，，的概率，并结合期望公式，即可求解．
本题主要考查了离散型随机变量的概率与期望，需要学生有分类思想，以及能熟练运用期望公式，属于中档题．
18.【答案】解：由题知函数定义域为，求导得，
当时，恒成立，
所以在上单调递增
当时，当时，，
所以时，时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
综上所述：时，在上单调递增时，在上单调递减，在上单调递增
由得的最小值为，
设，，则，
令，得，
当时，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的最大值为，
所以

【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性和函数的最值，属于中档题型；
由题意知，，对进行分类讨论，即可求解；
由可得函数的最小值为，设，，求导判断其单调性即可求解．
19.【答案】解：由题可知，喜欢甜品的人数为人，
完成列联表如下：
喜欢甜品 不喜欢甜品 合计
南方学生
北方学生
合计
由题意，，
有的把握认为“南方学生和北方学生在选甜品的饮食习惯方面有差异”．
的所有可能取值为，，，，
，
，
，
，
则的分布列为
所以的数学期望．
【解析】本题考查独立性检验，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
由已知条件能完成列联表；
，对比临界值表即可得结论；
的所有可能取值为，，，，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望．
20.【答案】解：记“甲家庭答对这道题”、“乙家庭答对这道题”、“丙家庭答对这道题”分别为事件，，，则，
且有即
所以，．
有个家庭回答对的概率为，
有个家庭回答对的概率为，
所以不少于个家庭回答对这道题的概率为．

【解析】本题考查了相互独立事件的概率计算．
记“甲家庭答对这道题”、“乙家庭答对这道题”、“丙家庭答对这道题”分别为事件，，，由题意得可解出，．
先得出和，由相互独立事件概率可得结果．
21.【答案】解：Ⅰ，，．
故在点处的切线方程为：；
Ⅱ，，
由，解得：，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
故，
又，
结合题意得：，
解得：．
【解析】本题考查了利用导数求切线方程，利用导数研究函数的零点，是一道综合题．
Ⅰ求出函数的导数，计算，，求出切线方程即可；
Ⅱ求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，求出函数的极值和端点值，结合函数的零点个数列出关于的不等式组，解出即可．
22.【答案】解：，，
，
，所以线性回归方程是
因为，
所以，
，
因为，
所以，
所以，
设每位员工单日获得奖金为元，则的分布列为：
． ． ．
所以每位员工单日获得奖金的数学期望为：
元．
【解析】本题考查了线性回归方程的求解，正态分布的概率计算，离散型随机变量及其分布列及期望，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．
先求出样本中心，利用公式求出回归系数，即可得到回归方程，；
根据正态分布的概率求出销售额对应的概率，即可求得每位员工单日获得奖金为的分布列，进而可求得的期望．