2014-2015学年人教A版选修2-1高中数学《2.2.2.1椭圆的简单几何性质》课时提升作业(含答案解析)

课时提升作业(十二)
椭圆的简单几何性质
(30分钟　50分)
一、选择题(每小题3分,共18分)
1.椭圆以两条坐标轴为对称轴,一个顶点是(0,13),另一个顶点是(-10,0),则焦点坐标为(　　)
A.(±13,0)　　　　　　 B.(0,±10)
C.(0,±13) D.(0,±)
【解析】选D.由条件知,椭圆的焦点在y轴上,且a=13,b=10,所以c2=a2-b2=169-100=69,所以焦点坐标为(0,±).
2.椭圆+=1与+=1(0A.有相等的长、短轴 B.有相等的焦距
C.有相同的焦点 D.有相等的离心率
【解析】选B.对于椭圆+=1(0c2=(25-k)-(9-k)=16,
焦点在y轴上,所以它们有相等的焦距.
3.(2014·孝感高二检测)若椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是(　　)
A.　　　　 B.　　　　 C.　　　　 D.
【解析】选B.由椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列,所以2×2b=2a+2c,即2b=a+c,所以5c2-3a2+2ac=0,等式两边同除以a2得5e2+2e-3=0,解得e=或e=-1(舍).
4.(2014·茂名高二检测)已知椭圆+=1及以下3个函数:①f(x)=x;
②f(x)=sinx;③f(x)=cosx,其中函数图象能等分该椭圆面积的函数个数有
(　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
【解析】选B.我们知道:①f(x)=x,②f(x)=sinx都是奇函数,其图象关于原点对称,而椭圆+=1的图象也关于原点对称,故①②函数图象能等分该椭圆面积;而③f(x)=cosx是偶函数,其图象不关于原点对称,故f(x)=cosx的图象不能等分该椭圆面积.
综上可知:只有①②满足条件.
5.设AB是椭圆+=1(a>b>0)的长轴,若把线段AB分为100等份,过每个分点作AB的垂线,分别交椭圆的上半部分于点P1,P2,…,P99,F1为椭圆的左焦点,则|F1A|+|F1P1|+|F1P2|+…+|F1P99|+|F1B|的值是(　　)
A.98a B.99a C.100a D.101a
【解析】选D.设F2为椭圆的右焦点,根据椭圆的定义及对称性有:|F1P1|=|F2P99|,|F1P2|=|F2P98|,…,|F1P49|=|F2P51|,
因此|F1P1|+|F1P99|=|F1P2|+|F1P98|=…=|F1P49|+|F1P51|=|F1A|+|F1B|=2a.
故结果应为50×2a+|F1P50|=101a.
【误区警示】本题在求解过程中,易忽视|F1P50|,结果选C而致错.
6.(2014·吉林高二检测)椭圆+=1的离心率为,则k的值为(　　)
A.-21 B.21
C.-或21 D.或21
【解析】选C.当椭圆的焦点在x轴上时,a2=9,b2=4+k,得c2=5-k,由==,得k=-;
当焦点在y轴上时,a2=4+k,b2=9,得c2=k-5,
由==,得k=21.
二、填空题(每小题4分,共12分)
7.(2014·荆州高二检测)已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在y轴上,且长轴长为12,离心率为,则椭圆方程为　　　　　.
【解析】因为椭圆的焦点在y轴上,
所以设椭圆的方程为+=1(a>b>0).
由得
由a2=b2+c2,得b2=32.
故椭圆的方程为:+=1.
答案:+=1
8.(2013·上海高考)设AB是椭圆Γ的长轴,点C在Γ上,且∠CBA=,若AB=4,BC=,则Γ的两个焦点之间的距离为　　　　.
【解析】如图所示.以AB的中点O为坐标原点,建立如图所示的坐标系.
设D在AB上,且CD⊥AB,AB=4,BC=,∠CBA=?CD=1,DB=1,AD=3?C(1,1)且2a=4,把C(1,1)代入椭圆标准方程得+=1,a2=b2+c2?b2=,c2=?2c=.
答案:
9.若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则·的最大值为　　　　.
【解题指南】设P(x0,y0),利用数量积的坐标运算,结合椭圆的范围解出.
【解析】由题意,F(-1,0),设点P(x0,y0),则有+=1,解得=3,因为=(x0+1,y0),=(x0,y0),所以·=x0(x0+1)+=x0(x0+1)+3=+x0+3,此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=-2,因为-2≤x0≤2,所以当x0=2时,·取得最大值+2+3=6.
答案:6
【误区警示】解题中容易不考虑x0的取值范围,而直接求出二次函数的最值,而导致错误.
三、解答题(每小题10分,共20分)
10.设椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率e=,已知点P到这个椭圆上的点的最远距离为,求这个椭圆方程.
【解题指南】先设椭圆方程为+=1(a>b>0),M(x,y)为椭圆上的点,
由离心率得a=2b,利用两点间的距离公式表示出|PM|2,若0【解析】设椭圆方程为+=1(a>b>0),M(x,y)为椭圆上的点,由=得a=2b,
|PM|2=x2+=-3+4b2+3(-b≤y≤b),
若0所以b=->,故矛盾.
若b≥,则当y=-时,4b2+3=7,b2=1,从而a2=4.所求方程为+y2=1.
11.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,∠F1PF2=60°.
(1)求椭圆离心率的范围.
(2)求证:△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.
【解析】(1)设椭圆方程为+=1(a>b>0),
|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=2a.
在△PF1F2中,由余弦定理可知,
4c2=m2+n2-2mncos60°=(m+n)2-3mn
=4a2-3mn≥4a2-3·
=4a2-3a2=a2(当且仅当m=n时取等号).
所以≥,即e≥.
又0(2)由(1)知mn=b2,
所以=mnsin60°=b2,
即△PF1F2的面积只与短轴长有关.
(30分钟　50分)
一、选择题(每小题4分,共16分)
1.已知椭圆2x2+y2=2的两个焦点为F1,F2,且B为短轴的一个端点,则△F1BF2的外接圆方程为(　　)
A.x2+y2=1 B.(x-1)2+y2=4
C.x2+y2=4 D.x2+(y-1)2=4
【解析】选A.由2x2+y2=2得x2+=1,所以b=1,c=1.F1(0,-1),F2(0,1),取B(1,0),故△F1BF2外接圆方程为x2+y2=1.
2.F,A分别为椭圆的一个焦点和顶点,若椭圆的长轴长是6,且cos∠OFA=,则椭圆的标准方程为(　　)
A.+=1
B.+=1
C.+=1或+=1
D.+=1或+=1
【解析】选D.当焦点在x轴上时,cos∠OFA====.
因为2a=6,所以a=3,c=2,
所以b2=a2-c2=9-4=5.
所以椭圆方程为+=1,
同理,当焦点在y轴上时,椭圆方程为+=1.
3.(2014·邯郸高二检测)已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率e=,右焦点为F(c,0),方程ax2+bx-c=0的两个实根x1,x2,则点P(x1,x2)(　　)
A.必在圆x2+y2=2内
B.必在圆x2+y2=2上
C.必在圆x2+y2=2外
D.以上三种情况都有可能
【解析】选A.因为x1,x2是方程ax2+bx-c=0的两个实根,所以x1+x2=-,x1·x2=-=-.
由+=(x1+x2)2-2x1x2=+1,
因为a>b,所以<1,所以+1<2,
故点P(x1,x2)在圆x2+y2=2内.
4.(2014·衡水高二检测)已知F1,F2是椭圆的两个焦点,满足·=0的点M总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是(　　)
A.(0,1) B.
C. D.
【解析】选C.设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为a,b,c,因为·=0,
所以M点的轨迹是以原点O为圆心,半焦距c为半径的圆.
又M点总在椭圆内部,
所以该圆内含于椭圆,即c故e2<,所以0二、填空题(每小题5分,共10分)
5.(2014·辽宁高考)已知椭圆C:+=1,点M与C的焦点不重合,若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则+=　　　　.
【解析】根据题意,椭圆的左右焦点分别为F1(-,0),F2(,0),由于点M的不确定性,不妨令其为椭圆的左顶点M(-3,0),线段MN的中点为椭圆的上顶点H(0,2),则M关于C的焦点的对称点分别为A(-2+3,0),B(2+3,0),而点N(3,4),
据两点间的距离公式得
+=+=12.
答案:12
6.已知F是椭圆C的一个焦点,B是短轴的一个端点,线段BF的延长线交椭圆C于点D,且=2,则椭圆C的离心率为　　　　　.
【解析】如图,不妨设椭圆方程为+=1(a>b>0),B(0,b)为上顶点,F(c,0)为右焦点,设D(x,y),
由=2,得(c,-b)=2(x-c,y),
即
解得
所以D.
因为点D在椭圆上,所以+=1,
解得a2=3c2,即e2=,所以e=.
答案:
【变式训练】(2013·江苏高考改编)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的标准方程为+=1(a>0,b>0),右焦点为F,直线l方程为:x=,短轴的一个端点为B,设原点到直线BF的距离为d1,F到l的距离为d2,若d2=d1,则椭圆C的离心率为　　　　.
【解题指南】利用d2=d1构建关于参数a,b,c的关系式.
【解析】由原点到直线BF的距离为d1得d1=,因F到l的距离为d2故d2=-c,
又d2=d1,所以-c=?a2-c2=
?1-e2=e2,又=,解得e=.
答案:
三、解答题(每小题12分,共24分)
7.已知椭圆x2+=1(0【解题指南】根据圆的性质,得圆心P为FC的垂直平分线与BC的垂直平分线的交点,因此分别算出FC,BC的垂直平分线方程,得到它们的交点为P,代入直线x+y=0解出b2=,即可得出此椭圆的方程.
【解析】设圆心P的坐标为(m,n),因为☉P过点F,B,C三点,所以圆心P既在FC的垂直平分线上,也在BC的垂直平分线上,
FC的垂直平分线方程为x=.　①
因为BC的中点为,kBC=-b,
所以BC的垂直平分线方程为y-=②
由①,②联立,得x=,y=,即m=,n=.
因为P(m,n)在直线x+y=0上,所以+=0,
可得(1+b)(b-c)=0,
因为1+b>0,所以b=c,结合b2=1-c2得b2=,
所以椭圆的方程为x2+=1,即x2+2y2=1.
8.已知椭圆+=1的焦点为F1,F2,点P是椭圆上的一个动点,求·的取值范围.
【解析】由+=1,得F1(-,0),F2(,0),
设P(x0,y0),则=(--x0,-y0),
=(-x0,-y0).
所以·=(-5)+.　①
又+=1,所以=4-,代入①,
所以·=-1,
因为0≤≤9,所以0≤≤5,
所以-1≤·≤4,
所以·∈[-1,4].
【误区警示】本题易出现只注意到≥0得出·≥-1的错误,错误的原因是忽视了点P(x0,y0)在椭圆上,x0应满足x0∈[-3,3].
【变式训练】已知椭圆+=1(a>b>0),若椭圆的离心率e满足≤e≤,且+=2,求椭圆长轴长的取值范围.
【解题指南】由+=2把b2用a2表示,代入关于离心率的不等式组中,求出2a的范围.
【解析】由+=2得b2=　①,
所以e2===1-,
又因为≤e≤,所以≤1-≤,
结合①b2=可得≤≤,
所以≤a2≤,≤a≤,即≤2a≤,
故长轴长的取值范围是[,].